WEBVTT 00:00:00.900 --> 00:00:04.280 Willkommen. Ich zeige dir nun die letzten beiden Logarithmus-Eigenschaften. 00:00:04.280 --> 00:00:08.600 Diese Eigenschaft ist für mich die offensichtlichste. 00:00:08.600 --> 00:00:12.720 Aber es ist okay, wenn sie das für dich nicht ist, vielleicht muss man etwas darüber nachdenken. 00:00:12.720 --> 00:00:15.520 Und ich ermutige dich, mit allen Logarithmus-Eigenschaften zu experimentieren, 00:00:15.520 --> 00:00:18.460 denn das ist der einzige Weg, um sie richtig zu lernen. 00:00:18.460 --> 00:00:22.700 Und der Sinn der Mathematik ist nicht nur, eine 1 in der nächsten Klausur zu bekommen. 00:00:22.700 --> 00:00:26.940 Der Sinn der Mathematik ist, sie so zu verstehen, dass du sie später in deinem Leben anwenden kannst, 00:00:26.940 --> 00:00:29.700 und nicht wieder alles neu lernen musst. 00:00:29.700 --> 00:00:41.060 Bei der nächsten Logarithmus- Eigenschaft habe ich A ⋅ log_B (C). 00:00:41.060 --> 00:00:59.180 A ⋅ log_B (C) ist dasselbe wie log_B (C)^A. 00:00:59.180 --> 00:01:00.520 Faszinierend. 00:01:00.530 --> 00:01:02.300 Schauen wir, ob es funktioniert. 00:01:02.300 --> 00:01:17.220 Nehmen wir 3 ⋅ log_2 (8). 00:01:17.220 --> 00:01:30.120 Diese Eigenschaft sagt aus, dass wir dasselbe erhalten, wie bei log_2 (8)^3. 00:01:30.120 --> 00:01:32.200 Es ist dasselbe. 00:01:32.200 --> 00:01:39.340 Wir rechnen es aus. 00:01:39.340 --> 00:01:55.040 Was ergibt log_2 (8)? 00:01:55.040 --> 00:01:59.100 Welchen Exponenten muss 2 haben, um 8 zu ergeben? 00:01:59.110 --> 00:02:00.570 2^3 = 8. 00:02:00.570 --> 00:02:01.890 Also ist das 3. 00:02:01.890 --> 00:02:05.060 Wir haben hier diese 3, also rechnen wir 3 ⋅ 3. 00:02:05.060 --> 00:02:09.310 Das hier sollte also 9 ergeben. 00:02:09.310 --> 00:02:13.100 Wenn das 9 ergibt, dann wissen wir, dass diese Eigenschaft zumindest in diesem Beispiel stimmt. 00:02:13.100 --> 00:02:14.940 Wir wissen nicht, ob es für alle Beispiele gilt, 00:02:14.940 --> 00:02:18.640 deswegen willst du dir vielleicht den Beweis anschauen, den ich in anderen Videos behandele. 00:02:18.640 --> 00:02:20.960 Das ist aber ein fortgeschritteneres Thema. 00:02:20.960 --> 00:02:24.580 Zuerst einmal ist es am wichtigsten, die Anwendung zu verstehen. 00:02:24.580 --> 00:02:27.770 Was ergibt 2^9? 00:02:27.770 --> 00:02:29.250 Auf jeden Fall eine große Zahl. 00:02:29.250 --> 00:02:38.320 Im letzten Video haben wir herausgefunden, dass 2^8 = 256 ist. 00:02:38.320 --> 00:02:44.940 2^9 ergibt dann also 512. 00:02:44.940 --> 00:02:50.820 Wenn 8^3 ebenfalls 512 ist, dann würde es stimmen, 00:02:50.820 --> 00:02:57.780 weil log_2 (512) = 9 ist. 00:02:57.780 --> 00:02:58.690 Was ist 8^3? 00:02:58.690 --> 00:03:02.780 8^2 = 64. 00:03:02.780 --> 00:03:08.820 Jetzt rechnen wir 64 ⋅ 8. 00:03:08.820 --> 00:03:12.140 Es ergibt 512. Korrekt. 00:03:12.150 --> 00:03:13.660 Es gibt auch andere Lösungswege, 00:03:13.660 --> 00:03:17.020 denn 8^3 ist dasselbe wie 2^9. 00:03:17.020 --> 00:03:18.140 Woher wissen wir das? 00:03:18.140 --> 00:03:25.360 Nun ja, 8^3 = (2^3)^3, richtig? 00:03:25.360 --> 00:03:28.030 Ich habe die 8 einfach nur umgeformt. 00:03:28.030 --> 00:03:35.300 Und wir wissen von unseren Exponentialregeln, dass (2^3)^3 dasselbe ist wie 2^9. 00:03:35.300 --> 00:03:41.120 Und diese Exponenteneigenschaft, bei der du einen Exponenten hast und dann nochmal potenzierst, 00:03:41.120 --> 00:03:44.000 dann beide Exponenten einfach miteinander multiplizieren kannst, 00:03:44.000 --> 00:03:50.700 das ist die Exponenteneigenschaft, die zu dieser Logarithmus-Eigenschaft führt. 00:03:50.700 --> 00:03:54.140 Aber darum geht es in diesem Video nicht. 00:03:54.140 --> 00:03:58.600 In einem anderen Video wird das etwas formaler bewiesen. 00:03:58.600 --> 00:04:04.680 Ich zeige dir noch eine Logarithmus-Eigenschaft, dann wiederhole ich alles und mache noch ein paar Beispiele. 00:04:04.680 --> 00:04:11.660 Das ist wahrscheinlich die nützlichste Logarithmus-Eigenschaft, wenn du taschenrechnersüchtig bist. 00:04:11.660 --> 00:04:13.700 Ich zeige dir, warum. 00:04:13.700 --> 00:04:40.620 Wir nehmen log_B (A) = log_C (A) / log_C (B). 00:04:40.620 --> 00:04:45.160 Warum ist das eine nützliche Eigenschaft, wenn du taschenrechnersüchtig bist? 00:04:45.160 --> 00:04:48.040 Sagen wir, du sitzt in der Schule und es gibt einen Test. 00:04:48.040 --> 00:04:52.460 Der Lehrer sagt, dass du deinen Taschenrechner benutzen darfst, 00:04:52.460 --> 00:05:03.390 um herauszufinden, was log_17 (357) ergibt. 00:05:03.390 --> 00:05:09.660 Und du suchst nach der log_17-Taste auf deinem Tachenrechner, und findest sie nicht. 00:05:09.660 --> 00:05:14.140 Denn es gibt keine log_17-Taste auf deinem Taschenrechner. 00:05:14.140 --> 00:05:19.180 Du hast wahrscheinlich entweder eine log-Taste oder eine ln-Taste. 00:05:19.180 --> 00:05:24.720 Die log-Taste auf deinem Taschenrechner hat wahrscheinlich die Basis 10. 00:05:24.720 --> 00:05:29.380 Und die ln-Taste auf deinem Taschenrechner hat die Basis e. 00:05:29.380 --> 00:05:34.120 Keine Sorge, falls du e nicht kennst, es ist ungefähr 2,71. 00:05:34.120 --> 00:05:34.920 Es ist eine Zahl. 00:05:34.920 --> 00:05:41.180 Es ist eine erstaunliche Zahl, aber darüber reden wir in späteren Videos. 00:05:41.180 --> 00:05:44.580 Es gibt also nur zwei Basen auf deinem Taschenrechner. 00:05:44.580 --> 00:05:48.370 Wenn du also einen Logarithmus mit einer anderen Basis herausfinden willst, 00:05:48.370 --> 00:05:50.020 wendest du einfach diese Eigenschaft an. 00:05:50.020 --> 00:05:54.170 Wenn du diese Aufgabe also in einem Test bekommst, 00:05:54.170 --> 00:06:15.860 weißt du, dass es dasselbe ist wie z.B. log_10 (357) / log_10 (17). 00:06:15.860 --> 00:06:19.740 Du könntest also einfach 357 in deinen Taschenrechner eintippen, 00:06:19.740 --> 00:06:22.380 die log-Taste drücken und würdest etwas erhalten. 00:06:22.380 --> 00:06:29.480 Dann könntest du 17 eintippen, die log- Taste drücken und würdest etwas erhalten. 00:06:29.480 --> 00:06:31.400 Dann dividierst du die Werte und erhältst die Antwort. 00:06:31.400 --> 00:06:37.540 Das ist also eine sehr nützliche Eigenschaft für taschenrechnersüchtige Leute. 00:06:37.540 --> 00:06:40.920 Wie gesagt, ich gehe nicht sehr ins Detail. 00:06:40.930 --> 00:06:46.280 Für mich ist es die nützlichste Eigenschaft, 00:06:46.280 --> 00:06:49.980 sie ergibt sich, offensichtlich, aus den Exponentialeigenschaften. 00:06:49.980 --> 00:06:53.940 Aber es ist schwierig, die Intuition einfach zu beschreiben, 00:06:53.940 --> 00:06:58.540 also solltest du dir den Beweis dafür ansehen, falls du nicht glaubst, warum das passiert. 00:06:58.540 --> 00:07:03.220 Das ist aber wahrscheinlich die Eigenschaft, die du in deinem Alltag am meisten anwenden wirst. 00:07:03.220 --> 00:07:05.840 Ich verwende sie immer noch in meinem Job. 00:07:05.850 --> 00:07:09.400 Damit du weißt, dass Logarithmen nützlich sind. 00:07:09.400 --> 00:07:13.740 Kommen wir zu ein paar Beispielen. 00:07:13.740 --> 00:07:19.380 Ich forme ein paar in eine einfachere Schreibweise um. 00:07:19.380 --> 00:07:54.200 Ich habe den Logarithmus log_2 (√(32/√8)). 00:07:54.200 --> 00:08:00.360 Wie forme ich ihn um, damit er einfacher ist? 00:08:00.360 --> 00:08:17.820 Es ist dasselbe wie log_2 (32/√8)^(1/2). 00:08:17.820 --> 00:08:21.360 Und wir wissen durch unsere dritte Logarithmus-Eigenschaft, 00:08:21.360 --> 00:08:33.980 dass es dasselbe ist wie 1/2 ⋅ log_2 (32/√8). 00:08:33.980 --> 00:08:36.760 Ich habe einfach den Exponenten genommen und ihn zum Koeffizienten des gesamten Ausdrucks gemacht. 00:08:36.760 --> 00:08:39.400 Das haben wir zu Beginn dieses Videos gelernt. 00:08:39.410 --> 00:08:41.650 Jetzt haben wir hier einen kleinen Quotienten, richtig? 00:08:41.650 --> 00:08:48.240 log_2 (32/√8). 00:08:48.240 --> 00:09:13.520 Wir schreiben also 1/2 ⋅ (log_2 (32) - log_2 (√8)). Wir benutzen Minus, weil das in einem Quotienten ist. 00:09:13.520 --> 00:09:15.700 Hier haben wir wieder eine Quadratwurzel, 00:09:15.700 --> 00:09:23.420 also können wir das als 1/2 (log_2 (32) - 1/2 ⋅ log_2 (8)) schreiben. 00:09:23.420 --> 00:09:28.980 8^(1/2) ist dasselbe wie 1/2 ⋅ log_2 (8). 00:09:28.980 --> 00:09:31.380 Diese Eigenschaft haben wir zu Beginn des Videos kennengelernt. 00:09:31.390 --> 00:09:33.750 Dann könnten wir diese 1/2 vom Anfang ausmultiplizieren. 00:09:33.750 --> 00:09:46.760 Es ergibt 1/2 ⋅ log_2 (32) - 1/4 ⋅ log_2 (8)). 00:09:46.760 --> 00:09:52.500 Das ergibt 5/2. Das ergibt 3. 00:09:52.500 --> 00:09:55.120 3 ⋅ (-1/4) = -3/4. 00:09:55.120 --> 00:09:59.440 Oder 10/4 - 3/4 = 7/4. 00:09:59.440 --> 00:10:03.150 Ich hab wahrscheinlich Rechenfehler gemacht, aber du verstehst, was ich meine. 00:10:03.150 --> 00:10:04.730 Bis bald!