[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.90,0:00:04.28,Default,,0000,0000,0000,,Willkommen. Ich zeige dir nun die letzten\Nbeiden Logarithmus-Eigenschaften.
Dialogue: 0,0:00:04.28,0:00:08.60,Default,,0000,0000,0000,,Diese Eigenschaft ist für mich die offensichtlichste.
Dialogue: 0,0:00:08.60,0:00:12.72,Default,,0000,0000,0000,,Aber es ist okay, wenn sie das für dich nicht ist,\Nvielleicht muss man etwas darüber nachdenken.
Dialogue: 0,0:00:12.72,0:00:15.52,Default,,0000,0000,0000,,Und ich ermutige dich, mit allen Logarithmus-Eigenschaften zu experimentieren,
Dialogue: 0,0:00:15.52,0:00:18.46,Default,,0000,0000,0000,,denn das ist der einzige Weg, um sie richtig zu lernen.
Dialogue: 0,0:00:18.46,0:00:22.70,Default,,0000,0000,0000,,Und der Sinn der Mathematik ist nicht nur,\Neine 1 in der nächsten Klausur zu bekommen.
Dialogue: 0,0:00:22.70,0:00:26.94,Default,,0000,0000,0000,,Der Sinn der Mathematik ist, sie so zu verstehen,\Ndass du sie später in deinem Leben anwenden kannst,
Dialogue: 0,0:00:26.94,0:00:29.70,Default,,0000,0000,0000,,und nicht wieder alles neu lernen musst.
Dialogue: 0,0:00:29.70,0:00:41.06,Default,,0000,0000,0000,,Bei der nächsten Logarithmus-\NEigenschaft habe ich A ⋅ log_B (C).
Dialogue: 0,0:00:41.06,0:00:59.18,Default,,0000,0000,0000,,A ⋅ log_B (C) ist dasselbe wie log_B (C)^A.
Dialogue: 0,0:00:59.18,0:01:00.52,Default,,0000,0000,0000,,Faszinierend.
Dialogue: 0,0:01:00.53,0:01:02.30,Default,,0000,0000,0000,,Schauen wir, ob es funktioniert.
Dialogue: 0,0:01:02.30,0:01:17.22,Default,,0000,0000,0000,,Nehmen wir 3 ⋅ log_2 (8).
Dialogue: 0,0:01:17.22,0:01:30.12,Default,,0000,0000,0000,,Diese Eigenschaft sagt aus, dass wir\Ndasselbe erhalten, wie bei log_2 (8)^3.
Dialogue: 0,0:01:30.12,0:01:32.20,Default,,0000,0000,0000,,Es ist dasselbe.
Dialogue: 0,0:01:32.20,0:01:39.34,Default,,0000,0000,0000,,Wir rechnen es aus.
Dialogue: 0,0:01:39.34,0:01:55.04,Default,,0000,0000,0000,,Was ergibt log_2 (8)?
Dialogue: 0,0:01:55.04,0:01:59.10,Default,,0000,0000,0000,,Welchen Exponenten muss 2 haben, um 8 zu ergeben?
Dialogue: 0,0:01:59.11,0:02:00.57,Default,,0000,0000,0000,,2^3 = 8.
Dialogue: 0,0:02:00.57,0:02:01.89,Default,,0000,0000,0000,,Also ist das 3.
Dialogue: 0,0:02:01.89,0:02:05.06,Default,,0000,0000,0000,,Wir haben hier diese 3, also rechnen wir 3 ⋅ 3.
Dialogue: 0,0:02:05.06,0:02:09.31,Default,,0000,0000,0000,,Das hier sollte also 9 ergeben.
Dialogue: 0,0:02:09.31,0:02:13.10,Default,,0000,0000,0000,,Wenn das 9 ergibt, dann wissen wir, dass diese Eigenschaft zumindest in diesem Beispiel stimmt.
Dialogue: 0,0:02:13.10,0:02:14.94,Default,,0000,0000,0000,,Wir wissen nicht, ob es für alle Beispiele gilt,
Dialogue: 0,0:02:14.94,0:02:18.64,Default,,0000,0000,0000,,deswegen willst du dir vielleicht den Beweis\Nanschauen, den ich in anderen Videos behandele.
Dialogue: 0,0:02:18.64,0:02:20.96,Default,,0000,0000,0000,,Das ist aber ein fortgeschritteneres Thema.
Dialogue: 0,0:02:20.96,0:02:24.58,Default,,0000,0000,0000,,Zuerst einmal ist es am wichtigsten,\Ndie Anwendung zu verstehen.
Dialogue: 0,0:02:24.58,0:02:27.77,Default,,0000,0000,0000,,Was ergibt 2^9?
Dialogue: 0,0:02:27.77,0:02:29.25,Default,,0000,0000,0000,,Auf jeden Fall eine große Zahl.
Dialogue: 0,0:02:29.25,0:02:38.32,Default,,0000,0000,0000,,Im letzten Video haben wir\Nherausgefunden, dass 2^8 = 256 ist.
Dialogue: 0,0:02:38.32,0:02:44.94,Default,,0000,0000,0000,,2^9 ergibt dann also 512.
Dialogue: 0,0:02:44.94,0:02:50.82,Default,,0000,0000,0000,,Wenn 8^3 ebenfalls 512 ist, dann würde es stimmen,
Dialogue: 0,0:02:50.82,0:02:57.78,Default,,0000,0000,0000,,weil log_2 (512) = 9 ist.
Dialogue: 0,0:02:57.78,0:02:58.69,Default,,0000,0000,0000,,Was ist 8^3?
Dialogue: 0,0:02:58.69,0:03:02.78,Default,,0000,0000,0000,,8^2 = 64.
Dialogue: 0,0:03:02.78,0:03:08.82,Default,,0000,0000,0000,,Jetzt rechnen wir 64 ⋅ 8.
Dialogue: 0,0:03:08.82,0:03:12.14,Default,,0000,0000,0000,,Es ergibt 512. Korrekt.
Dialogue: 0,0:03:12.15,0:03:13.66,Default,,0000,0000,0000,,Es gibt auch andere Lösungswege,
Dialogue: 0,0:03:13.66,0:03:17.02,Default,,0000,0000,0000,,denn 8^3 ist dasselbe wie 2^9.
Dialogue: 0,0:03:17.02,0:03:18.14,Default,,0000,0000,0000,,Woher wissen wir das?
Dialogue: 0,0:03:18.14,0:03:25.36,Default,,0000,0000,0000,,Nun ja, 8^3 = (2^3)^3, richtig?
Dialogue: 0,0:03:25.36,0:03:28.03,Default,,0000,0000,0000,,Ich habe die 8 einfach nur umgeformt.
Dialogue: 0,0:03:28.03,0:03:35.30,Default,,0000,0000,0000,,Und wir wissen von unseren Exponentialregeln,\Ndass (2^3)^3 dasselbe ist wie 2^9.
Dialogue: 0,0:03:35.30,0:03:41.12,Default,,0000,0000,0000,,Und diese Exponenteneigenschaft, bei der du einen\NExponenten hast und dann nochmal potenzierst,
Dialogue: 0,0:03:41.12,0:03:44.00,Default,,0000,0000,0000,,dann beide Exponenten einfach\Nmiteinander multiplizieren kannst,
Dialogue: 0,0:03:44.00,0:03:50.70,Default,,0000,0000,0000,,das ist die Exponenteneigenschaft,\Ndie zu dieser Logarithmus-Eigenschaft führt.
Dialogue: 0,0:03:50.70,0:03:54.14,Default,,0000,0000,0000,,Aber darum geht es in diesem Video nicht.
Dialogue: 0,0:03:54.14,0:03:58.60,Default,,0000,0000,0000,,In einem anderen Video wird\Ndas etwas formaler bewiesen.
Dialogue: 0,0:03:58.60,0:04:04.68,Default,,0000,0000,0000,,Ich zeige dir noch eine Logarithmus-Eigenschaft, dann wiederhole ich alles und mache noch ein paar Beispiele.
Dialogue: 0,0:04:04.68,0:04:11.66,Default,,0000,0000,0000,,Das ist wahrscheinlich die nützlichste Logarithmus-Eigenschaft, wenn du taschenrechnersüchtig bist.
Dialogue: 0,0:04:11.66,0:04:13.70,Default,,0000,0000,0000,,Ich zeige dir, warum.
Dialogue: 0,0:04:13.70,0:04:40.62,Default,,0000,0000,0000,,Wir nehmen log_B (A) = log_C (A) / log_C (B).
Dialogue: 0,0:04:40.62,0:04:45.16,Default,,0000,0000,0000,,Warum ist das eine nützliche Eigenschaft,\Nwenn du taschenrechnersüchtig bist?
Dialogue: 0,0:04:45.16,0:04:48.04,Default,,0000,0000,0000,,Sagen wir, du sitzt in der Schule und es gibt einen Test.
Dialogue: 0,0:04:48.04,0:04:52.46,Default,,0000,0000,0000,,Der Lehrer sagt, dass du deinen\NTaschenrechner benutzen darfst,
Dialogue: 0,0:04:52.46,0:05:03.39,Default,,0000,0000,0000,,um herauszufinden, was log_17 (357) ergibt.
Dialogue: 0,0:05:03.39,0:05:09.66,Default,,0000,0000,0000,,Und du suchst nach der log_17-Taste auf\Ndeinem Tachenrechner, und findest sie nicht.
Dialogue: 0,0:05:09.66,0:05:14.14,Default,,0000,0000,0000,,Denn es gibt keine log_17-Taste\Nauf deinem Taschenrechner.
Dialogue: 0,0:05:14.14,0:05:19.18,Default,,0000,0000,0000,,Du hast wahrscheinlich entweder\Neine log-Taste oder eine ln-Taste.
Dialogue: 0,0:05:19.18,0:05:24.72,Default,,0000,0000,0000,,Die log-Taste auf deinem Taschenrechner\Nhat wahrscheinlich die Basis 10.
Dialogue: 0,0:05:24.72,0:05:29.38,Default,,0000,0000,0000,,Und die ln-Taste auf deinem\NTaschenrechner hat die Basis e.
Dialogue: 0,0:05:29.38,0:05:34.12,Default,,0000,0000,0000,,Keine Sorge, falls du e nicht kennst, es ist ungefähr 2,71.
Dialogue: 0,0:05:34.12,0:05:34.92,Default,,0000,0000,0000,,Es ist eine Zahl.
Dialogue: 0,0:05:34.92,0:05:41.18,Default,,0000,0000,0000,,Es ist eine erstaunliche Zahl, aber\Ndarüber reden wir in späteren Videos.
Dialogue: 0,0:05:41.18,0:05:44.58,Default,,0000,0000,0000,,Es gibt also nur zwei Basen\Nauf deinem Taschenrechner.
Dialogue: 0,0:05:44.58,0:05:48.37,Default,,0000,0000,0000,,Wenn du also einen Logarithmus mit\Neiner anderen Basis herausfinden willst,
Dialogue: 0,0:05:48.37,0:05:50.02,Default,,0000,0000,0000,,wendest du einfach diese Eigenschaft an.
Dialogue: 0,0:05:50.02,0:05:54.17,Default,,0000,0000,0000,,Wenn du diese Aufgabe also in einem Test bekommst,
Dialogue: 0,0:05:54.17,0:06:15.86,Default,,0000,0000,0000,,weißt du, dass es dasselbe ist\Nwie z.B. log_10 (357) / log_10 (17).
Dialogue: 0,0:06:15.86,0:06:19.74,Default,,0000,0000,0000,,Du könntest also einfach 357 in\Ndeinen Taschenrechner eintippen,
Dialogue: 0,0:06:19.74,0:06:22.38,Default,,0000,0000,0000,,die log-Taste drücken und würdest etwas erhalten.
Dialogue: 0,0:06:22.38,0:06:29.48,Default,,0000,0000,0000,,Dann könntest du 17 eintippen, die log-\NTaste drücken und würdest etwas erhalten.
Dialogue: 0,0:06:29.48,0:06:31.40,Default,,0000,0000,0000,,Dann dividierst du die Werte und erhältst die Antwort.
Dialogue: 0,0:06:31.40,0:06:37.54,Default,,0000,0000,0000,,Das ist also eine sehr nützliche\NEigenschaft für taschenrechnersüchtige Leute.
Dialogue: 0,0:06:37.54,0:06:40.92,Default,,0000,0000,0000,,Wie gesagt, ich gehe nicht sehr ins Detail.
Dialogue: 0,0:06:40.93,0:06:46.28,Default,,0000,0000,0000,,Für mich ist es die nützlichste Eigenschaft,
Dialogue: 0,0:06:46.28,0:06:49.98,Default,,0000,0000,0000,,sie ergibt sich, offensichtlich, aus den Exponentialeigenschaften.
Dialogue: 0,0:06:49.98,0:06:53.94,Default,,0000,0000,0000,,Aber es ist schwierig, die Intuition\Neinfach zu beschreiben,
Dialogue: 0,0:06:53.94,0:06:58.54,Default,,0000,0000,0000,,also solltest du dir den Beweis dafür ansehen,\Nfalls du nicht glaubst, warum das passiert.
Dialogue: 0,0:06:58.54,0:07:03.22,Default,,0000,0000,0000,,Das ist aber wahrscheinlich die Eigenschaft,\Ndie du in deinem Alltag am meisten anwenden wirst.
Dialogue: 0,0:07:03.22,0:07:05.84,Default,,0000,0000,0000,,Ich verwende sie immer noch in meinem Job.
Dialogue: 0,0:07:05.85,0:07:09.40,Default,,0000,0000,0000,,Damit du weißt, dass Logarithmen nützlich sind.
Dialogue: 0,0:07:09.40,0:07:13.74,Default,,0000,0000,0000,,Kommen wir zu ein paar Beispielen.
Dialogue: 0,0:07:13.74,0:07:19.38,Default,,0000,0000,0000,,Ich forme ein paar in eine einfachere Schreibweise um.
Dialogue: 0,0:07:19.38,0:07:54.20,Default,,0000,0000,0000,,Ich habe den Logarithmus log_2 (√(32/√8)).
Dialogue: 0,0:07:54.20,0:08:00.36,Default,,0000,0000,0000,,Wie forme ich ihn um, damit er einfacher ist?
Dialogue: 0,0:08:00.36,0:08:17.82,Default,,0000,0000,0000,,Es ist dasselbe wie log_2 (32/√8)^(1/2).
Dialogue: 0,0:08:17.82,0:08:21.36,Default,,0000,0000,0000,,Und wir wissen durch unsere\Ndritte Logarithmus-Eigenschaft,
Dialogue: 0,0:08:21.36,0:08:33.98,Default,,0000,0000,0000,,dass es dasselbe ist wie 1/2 ⋅ log_2 (32/√8).
Dialogue: 0,0:08:33.98,0:08:36.76,Default,,0000,0000,0000,,Ich habe einfach den Exponenten genommen und ihn zum Koeffizienten des gesamten Ausdrucks gemacht.
Dialogue: 0,0:08:36.76,0:08:39.40,Default,,0000,0000,0000,,Das haben wir zu Beginn dieses Videos gelernt.
Dialogue: 0,0:08:39.41,0:08:41.65,Default,,0000,0000,0000,,Jetzt haben wir hier einen kleinen Quotienten, richtig?
Dialogue: 0,0:08:41.65,0:08:48.24,Default,,0000,0000,0000,,log_2 (32/√8).
Dialogue: 0,0:08:48.24,0:09:13.52,Default,,0000,0000,0000,,Wir schreiben also 1/2 ⋅ (log_2 (32) - log_2 (√8)).\NWir benutzen Minus, weil das in einem Quotienten ist.
Dialogue: 0,0:09:13.52,0:09:15.70,Default,,0000,0000,0000,,Hier haben wir wieder eine Quadratwurzel,
Dialogue: 0,0:09:15.70,0:09:23.42,Default,,0000,0000,0000,,also können wir das als\N1/2 (log_2 (32) - 1/2 ⋅ log_2 (8)) schreiben.
Dialogue: 0,0:09:23.42,0:09:28.98,Default,,0000,0000,0000,,8^(1/2) ist dasselbe wie 1/2 ⋅ log_2 (8).
Dialogue: 0,0:09:28.98,0:09:31.38,Default,,0000,0000,0000,,Diese Eigenschaft haben wir zu\NBeginn des Videos kennengelernt.
Dialogue: 0,0:09:31.39,0:09:33.75,Default,,0000,0000,0000,,Dann könnten wir diese 1/2\Nvom Anfang ausmultiplizieren.
Dialogue: 0,0:09:33.75,0:09:46.76,Default,,0000,0000,0000,,Es ergibt 1/2 ⋅ log_2 (32) - 1/4 ⋅ log_2 (8)).
Dialogue: 0,0:09:46.76,0:09:52.50,Default,,0000,0000,0000,,Das ergibt 5/2. Das ergibt 3.
Dialogue: 0,0:09:52.50,0:09:55.12,Default,,0000,0000,0000,,3 ⋅ (-1/4) = -3/4.
Dialogue: 0,0:09:55.12,0:09:59.44,Default,,0000,0000,0000,,Oder 10/4 - 3/4 = 7/4.
Dialogue: 0,0:09:59.44,0:10:03.15,Default,,0000,0000,0000,,Ich hab wahrscheinlich Rechenfehler\Ngemacht, aber du verstehst, was ich meine.
Dialogue: 0,0:10:03.15,0:10:04.73,Default,,0000,0000,0000,,Bis bald!