1
00:00:00,900 --> 00:00:04,280
Willkommen. Ich zeige dir nun die letzten
beiden Logarithmus-Eigenschaften.

2
00:00:04,280 --> 00:00:08,600
Diese Eigenschaft ist für mich die offensichtlichste.

3
00:00:08,600 --> 00:00:12,720
Aber es ist okay, wenn sie das für dich nicht ist,
vielleicht muss man etwas darüber nachdenken.

4
00:00:12,720 --> 00:00:15,520
Und ich ermutige dich, mit allen Logarithmus-Eigenschaften zu experimentieren,

5
00:00:15,520 --> 00:00:18,460
denn das ist der einzige Weg, um sie richtig zu lernen.

6
00:00:18,460 --> 00:00:22,700
Und der Sinn der Mathematik ist nicht nur,
eine 1 in der nächsten Klausur zu bekommen.

7
00:00:22,700 --> 00:00:26,940
Der Sinn der Mathematik ist, sie so zu verstehen,
dass du sie später in deinem Leben anwenden kannst,

8
00:00:26,940 --> 00:00:29,700
und nicht wieder alles neu lernen musst.

9
00:00:29,700 --> 00:00:41,060
Bei der nächsten Logarithmus-
Eigenschaft habe ich A ⋅ log_B (C).

10
00:00:41,060 --> 00:00:59,180
A ⋅ log_B (C) ist dasselbe wie log_B (C)^A.

11
00:00:59,180 --> 00:01:00,520
Faszinierend.

12
00:01:00,530 --> 00:01:02,300
Schauen wir, ob es funktioniert.

13
00:01:02,300 --> 00:01:17,220
Nehmen wir 3 ⋅ log_2 (8).

14
00:01:17,220 --> 00:01:30,120
Diese Eigenschaft sagt aus, dass wir
dasselbe erhalten, wie bei log_2 (8)^3.

15
00:01:30,120 --> 00:01:32,200
Es ist dasselbe.

16
00:01:32,200 --> 00:01:39,340
Wir rechnen es aus.

17
00:01:39,340 --> 00:01:55,040
Was ergibt log_2 (8)?

18
00:01:55,040 --> 00:01:59,100
Welchen Exponenten muss 2 haben, um 8 zu ergeben?

19
00:01:59,110 --> 00:02:00,570
2^3 = 8.

20
00:02:00,570 --> 00:02:01,890
Also ist das 3.

21
00:02:01,890 --> 00:02:05,060
Wir haben hier diese 3, also rechnen wir 3 ⋅ 3.

22
00:02:05,060 --> 00:02:09,310
Das hier sollte also 9 ergeben.

23
00:02:09,310 --> 00:02:13,100
Wenn das 9 ergibt, dann wissen wir, dass diese Eigenschaft zumindest in diesem Beispiel stimmt.

24
00:02:13,100 --> 00:02:14,940
Wir wissen nicht, ob es für alle Beispiele gilt,

25
00:02:14,940 --> 00:02:18,640
deswegen willst du dir vielleicht den Beweis
anschauen, den ich in anderen Videos behandele.

26
00:02:18,640 --> 00:02:20,960
Das ist aber ein fortgeschritteneres Thema.

27
00:02:20,960 --> 00:02:24,580
Zuerst einmal ist es am wichtigsten,
die Anwendung zu verstehen.

28
00:02:24,580 --> 00:02:27,770
Was ergibt 2^9?

29
00:02:27,770 --> 00:02:29,250
Auf jeden Fall eine große Zahl.

30
00:02:29,250 --> 00:02:38,320
Im letzten Video haben wir
herausgefunden, dass 2^8 = 256 ist.

31
00:02:38,320 --> 00:02:44,940
2^9 ergibt dann also 512.

32
00:02:44,940 --> 00:02:50,820
Wenn 8^3 ebenfalls 512 ist, dann würde es stimmen,

33
00:02:50,820 --> 00:02:57,780
weil log_2 (512) = 9 ist.

34
00:02:57,780 --> 00:02:58,690
Was ist 8^3?

35
00:02:58,690 --> 00:03:02,780
8^2 = 64.

36
00:03:02,780 --> 00:03:08,820
Jetzt rechnen wir 64 ⋅ 8.

37
00:03:08,820 --> 00:03:12,140
Es ergibt 512. Korrekt.

38
00:03:12,150 --> 00:03:13,660
Es gibt auch andere Lösungswege,

39
00:03:13,660 --> 00:03:17,020
denn 8^3 ist dasselbe wie 2^9.

40
00:03:17,020 --> 00:03:18,140
Woher wissen wir das?

41
00:03:18,140 --> 00:03:25,360
Nun ja, 8^3 = (2^3)^3, richtig?

42
00:03:25,360 --> 00:03:28,030
Ich habe die 8 einfach nur umgeformt.

43
00:03:28,030 --> 00:03:35,300
Und wir wissen von unseren Exponentialregeln,
dass (2^3)^3 dasselbe ist wie 2^9.

44
00:03:35,300 --> 00:03:41,120
Und diese Exponenteneigenschaft, bei der du einen
Exponenten hast und dann nochmal potenzierst,

45
00:03:41,120 --> 00:03:44,000
dann beide Exponenten einfach
miteinander multiplizieren kannst,

46
00:03:44,000 --> 00:03:50,700
das ist die Exponenteneigenschaft,
die zu dieser Logarithmus-Eigenschaft führt.

47
00:03:50,700 --> 00:03:54,140
Aber darum geht es in diesem Video nicht.

48
00:03:54,140 --> 00:03:58,600
In einem anderen Video wird
das etwas formaler bewiesen.

49
00:03:58,600 --> 00:04:04,680
Ich zeige dir noch eine Logarithmus-Eigenschaft, dann wiederhole ich alles und mache noch ein paar Beispiele.

50
00:04:04,680 --> 00:04:11,660
Das ist wahrscheinlich die nützlichste Logarithmus-Eigenschaft, wenn du taschenrechnersüchtig bist.

51
00:04:11,660 --> 00:04:13,700
Ich zeige dir, warum.

52
00:04:13,700 --> 00:04:40,620
Wir nehmen log_B (A) = log_C (A) / log_C (B).

53
00:04:40,620 --> 00:04:45,160
Warum ist das eine nützliche Eigenschaft,
wenn du taschenrechnersüchtig bist?

54
00:04:45,160 --> 00:04:48,040
Sagen wir, du sitzt in der Schule und es gibt einen Test.

55
00:04:48,040 --> 00:04:52,460
Der Lehrer sagt, dass du deinen
Taschenrechner benutzen darfst,

56
00:04:52,460 --> 00:05:03,390
um herauszufinden, was log_17 (357) ergibt.

57
00:05:03,390 --> 00:05:09,660
Und du suchst nach der log_17-Taste auf
deinem Tachenrechner, und findest sie nicht.

58
00:05:09,660 --> 00:05:14,140
Denn es gibt keine log_17-Taste
auf deinem Taschenrechner.

59
00:05:14,140 --> 00:05:19,180
Du hast wahrscheinlich entweder
eine log-Taste oder eine ln-Taste.

60
00:05:19,180 --> 00:05:24,720
Die log-Taste auf deinem Taschenrechner
hat wahrscheinlich die Basis 10.

61
00:05:24,720 --> 00:05:29,380
Und die ln-Taste auf deinem
Taschenrechner hat die Basis e.

62
00:05:29,380 --> 00:05:34,120
Keine Sorge, falls du e nicht kennst, es ist ungefähr 2,71.

63
00:05:34,120 --> 00:05:34,920
Es ist eine Zahl.

64
00:05:34,920 --> 00:05:41,180
Es ist eine erstaunliche Zahl, aber
darüber reden wir in späteren Videos.

65
00:05:41,180 --> 00:05:44,580
Es gibt also nur zwei Basen
auf deinem Taschenrechner.

66
00:05:44,580 --> 00:05:48,370
Wenn du also einen Logarithmus mit
einer anderen Basis herausfinden willst,

67
00:05:48,370 --> 00:05:50,020
wendest du einfach diese Eigenschaft an.

68
00:05:50,020 --> 00:05:54,170
Wenn du diese Aufgabe also in einem Test bekommst,

69
00:05:54,170 --> 00:06:15,860
weißt du, dass es dasselbe ist
wie z.B. log_10 (357) / log_10 (17).

70
00:06:15,860 --> 00:06:19,740
Du könntest also einfach 357 in
deinen Taschenrechner eintippen,

71
00:06:19,740 --> 00:06:22,380
die log-Taste drücken und würdest etwas erhalten.

72
00:06:22,380 --> 00:06:29,480
Dann könntest du 17 eintippen, die log-
Taste drücken und würdest etwas erhalten.

73
00:06:29,480 --> 00:06:31,400
Dann dividierst du die Werte und erhältst die Antwort.

74
00:06:31,400 --> 00:06:37,540
Das ist also eine sehr nützliche
Eigenschaft für taschenrechnersüchtige Leute.

75
00:06:37,540 --> 00:06:40,920
Wie gesagt, ich gehe nicht sehr ins Detail.

76
00:06:40,930 --> 00:06:46,280
Für mich ist es die nützlichste Eigenschaft,

77
00:06:46,280 --> 00:06:49,980
sie ergibt sich, offensichtlich, aus den Exponentialeigenschaften.

78
00:06:49,980 --> 00:06:53,940
Aber es ist schwierig, die Intuition
einfach zu beschreiben,

79
00:06:53,940 --> 00:06:58,540
also solltest du dir den Beweis dafür ansehen,
falls du nicht glaubst, warum das passiert.

80
00:06:58,540 --> 00:07:03,220
Das ist aber wahrscheinlich die Eigenschaft,
die du in deinem Alltag am meisten anwenden wirst.

81
00:07:03,220 --> 00:07:05,840
Ich verwende sie immer noch in meinem Job.

82
00:07:05,850 --> 00:07:09,400
Damit du weißt, dass Logarithmen nützlich sind.

83
00:07:09,400 --> 00:07:13,740
Kommen wir zu ein paar Beispielen.

84
00:07:13,740 --> 00:07:19,380
Ich forme ein paar in eine einfachere Schreibweise um.

85
00:07:19,380 --> 00:07:54,200
Ich habe den Logarithmus log_2 (√(32/√8)).

86
00:07:54,200 --> 00:08:00,360
Wie forme ich ihn um, damit er einfacher ist?

87
00:08:00,360 --> 00:08:17,820
Es ist dasselbe wie log_2 (32/√8)^(1/2).

88
00:08:17,820 --> 00:08:21,360
Und wir wissen durch unsere
dritte Logarithmus-Eigenschaft,

89
00:08:21,360 --> 00:08:33,980
dass es dasselbe ist wie 1/2 ⋅ log_2 (32/√8).

90
00:08:33,980 --> 00:08:36,760
Ich habe einfach den Exponenten genommen und ihn zum Koeffizienten des gesamten Ausdrucks gemacht.

91
00:08:36,760 --> 00:08:39,400
Das haben wir zu Beginn dieses Videos gelernt.

92
00:08:39,410 --> 00:08:41,650
Jetzt haben wir hier einen kleinen Quotienten, richtig?

93
00:08:41,650 --> 00:08:48,240
log_2 (32/√8).

94
00:08:48,240 --> 00:09:13,520
Wir schreiben also 1/2 ⋅ (log_2 (32) - log_2 (√8)).
Wir benutzen Minus, weil das in einem Quotienten ist.

95
00:09:13,520 --> 00:09:15,700
Hier haben wir wieder eine Quadratwurzel,

96
00:09:15,700 --> 00:09:23,420
also können wir das als
1/2 (log_2 (32) - 1/2 ⋅ log_2 (8)) schreiben.

97
00:09:23,420 --> 00:09:28,980
8^(1/2) ist dasselbe wie 1/2 ⋅ log_2 (8).

98
00:09:28,980 --> 00:09:31,380
Diese Eigenschaft haben wir zu
Beginn des Videos kennengelernt.

99
00:09:31,390 --> 00:09:33,750
Dann könnten wir diese 1/2
vom Anfang ausmultiplizieren.

100
00:09:33,750 --> 00:09:46,760
Es ergibt 1/2 ⋅ log_2 (32) - 1/4 ⋅ log_2 (8)).

101
00:09:46,760 --> 00:09:52,500
Das ergibt 5/2. Das ergibt 3.

102
00:09:52,500 --> 00:09:55,120
3 ⋅ (-1/4) = -3/4.

103
00:09:55,120 --> 00:09:59,440
Oder 10/4 - 3/4 = 7/4.

104
00:09:59,440 --> 00:10:03,150
Ich hab wahrscheinlich Rechenfehler
gemacht, aber du verstehst, was ich meine.

105
00:10:03,150 --> 00:10:04,730
Bis bald!