0:00:00.900,0:00:04.280
Willkommen. Ich zeige dir nun die letzten[br]beiden Logarithmus-Eigenschaften.

0:00:04.280,0:00:08.600
Diese Eigenschaft ist für mich die offensichtlichste.

0:00:08.600,0:00:12.720
Aber es ist okay, wenn sie das für dich nicht ist,[br]vielleicht muss man etwas darüber nachdenken.

0:00:12.720,0:00:15.520
Und ich ermutige dich, mit allen Logarithmus-Eigenschaften zu experimentieren,

0:00:15.520,0:00:18.460
denn das ist der einzige Weg, um sie richtig zu lernen.

0:00:18.460,0:00:22.700
Und der Sinn der Mathematik ist nicht nur,[br]eine 1 in der nächsten Klausur zu bekommen.

0:00:22.700,0:00:26.940
Der Sinn der Mathematik ist, sie so zu verstehen,[br]dass du sie später in deinem Leben anwenden kannst,

0:00:26.940,0:00:29.700
und nicht wieder alles neu lernen musst.

0:00:29.700,0:00:41.060
Bei der nächsten Logarithmus-[br]Eigenschaft habe ich A ⋅ log_B (C).

0:00:41.060,0:00:59.180
A ⋅ log_B (C) ist dasselbe wie log_B (C)^A.

0:00:59.180,0:01:00.520
Faszinierend.

0:01:00.530,0:01:02.300
Schauen wir, ob es funktioniert.

0:01:02.300,0:01:17.220
Nehmen wir 3 ⋅ log_2 (8).

0:01:17.220,0:01:30.120
Diese Eigenschaft sagt aus, dass wir[br]dasselbe erhalten, wie bei log_2 (8)^3.

0:01:30.120,0:01:32.200
Es ist dasselbe.

0:01:32.200,0:01:39.340
Wir rechnen es aus.

0:01:39.340,0:01:55.040
Was ergibt log_2 (8)?

0:01:55.040,0:01:59.100
Welchen Exponenten muss 2 haben, um 8 zu ergeben?

0:01:59.110,0:02:00.570
2^3 = 8.

0:02:00.570,0:02:01.890
Also ist das 3.

0:02:01.890,0:02:05.060
Wir haben hier diese 3, also rechnen wir 3 ⋅ 3.

0:02:05.060,0:02:09.310
Das hier sollte also 9 ergeben.

0:02:09.310,0:02:13.100
Wenn das 9 ergibt, dann wissen wir, dass diese Eigenschaft zumindest in diesem Beispiel stimmt.

0:02:13.100,0:02:14.940
Wir wissen nicht, ob es für alle Beispiele gilt,

0:02:14.940,0:02:18.640
deswegen willst du dir vielleicht den Beweis[br]anschauen, den ich in anderen Videos behandele.

0:02:18.640,0:02:20.960
Das ist aber ein fortgeschritteneres Thema.

0:02:20.960,0:02:24.580
Zuerst einmal ist es am wichtigsten,[br]die Anwendung zu verstehen.

0:02:24.580,0:02:27.770
Was ergibt 2^9?

0:02:27.770,0:02:29.250
Auf jeden Fall eine große Zahl.

0:02:29.250,0:02:38.320
Im letzten Video haben wir[br]herausgefunden, dass 2^8 = 256 ist.

0:02:38.320,0:02:44.940
2^9 ergibt dann also 512.

0:02:44.940,0:02:50.820
Wenn 8^3 ebenfalls 512 ist, dann würde es stimmen,

0:02:50.820,0:02:57.780
weil log_2 (512) = 9 ist.

0:02:57.780,0:02:58.690
Was ist 8^3?

0:02:58.690,0:03:02.780
8^2 = 64.

0:03:02.780,0:03:08.820
Jetzt rechnen wir 64 ⋅ 8.

0:03:08.820,0:03:12.140
Es ergibt 512. Korrekt.

0:03:12.150,0:03:13.660
Es gibt auch andere Lösungswege,

0:03:13.660,0:03:17.020
denn 8^3 ist dasselbe wie 2^9.

0:03:17.020,0:03:18.140
Woher wissen wir das?

0:03:18.140,0:03:25.360
Nun ja, 8^3 = (2^3)^3, richtig?

0:03:25.360,0:03:28.030
Ich habe die 8 einfach nur umgeformt.

0:03:28.030,0:03:35.300
Und wir wissen von unseren Exponentialregeln,[br]dass (2^3)^3 dasselbe ist wie 2^9.

0:03:35.300,0:03:41.120
Und diese Exponenteneigenschaft, bei der du einen[br]Exponenten hast und dann nochmal potenzierst,

0:03:41.120,0:03:44.000
dann beide Exponenten einfach[br]miteinander multiplizieren kannst,

0:03:44.000,0:03:50.700
das ist die Exponenteneigenschaft,[br]die zu dieser Logarithmus-Eigenschaft führt.

0:03:50.700,0:03:54.140
Aber darum geht es in diesem Video nicht.

0:03:54.140,0:03:58.600
In einem anderen Video wird[br]das etwas formaler bewiesen.

0:03:58.600,0:04:04.680
Ich zeige dir noch eine Logarithmus-Eigenschaft, dann wiederhole ich alles und mache noch ein paar Beispiele.

0:04:04.680,0:04:11.660
Das ist wahrscheinlich die nützlichste Logarithmus-Eigenschaft, wenn du taschenrechnersüchtig bist.

0:04:11.660,0:04:13.700
Ich zeige dir, warum.

0:04:13.700,0:04:40.620
Wir nehmen log_B (A) = log_C (A) / log_C (B).

0:04:40.620,0:04:45.160
Warum ist das eine nützliche Eigenschaft,[br]wenn du taschenrechnersüchtig bist?

0:04:45.160,0:04:48.040
Sagen wir, du sitzt in der Schule und es gibt einen Test.

0:04:48.040,0:04:52.460
Der Lehrer sagt, dass du deinen[br]Taschenrechner benutzen darfst,

0:04:52.460,0:05:03.390
um herauszufinden, was log_17 (357) ergibt.

0:05:03.390,0:05:09.660
Und du suchst nach der log_17-Taste auf[br]deinem Tachenrechner, und findest sie nicht.

0:05:09.660,0:05:14.140
Denn es gibt keine log_17-Taste[br]auf deinem Taschenrechner.

0:05:14.140,0:05:19.180
Du hast wahrscheinlich entweder[br]eine log-Taste oder eine ln-Taste.

0:05:19.180,0:05:24.720
Die log-Taste auf deinem Taschenrechner[br]hat wahrscheinlich die Basis 10.

0:05:24.720,0:05:29.380
Und die ln-Taste auf deinem[br]Taschenrechner hat die Basis e.

0:05:29.380,0:05:34.120
Keine Sorge, falls du e nicht kennst, es ist ungefähr 2,71.

0:05:34.120,0:05:34.920
Es ist eine Zahl.

0:05:34.920,0:05:41.180
Es ist eine erstaunliche Zahl, aber[br]darüber reden wir in späteren Videos.

0:05:41.180,0:05:44.580
Es gibt also nur zwei Basen[br]auf deinem Taschenrechner.

0:05:44.580,0:05:48.370
Wenn du also einen Logarithmus mit[br]einer anderen Basis herausfinden willst,

0:05:48.370,0:05:50.020
wendest du einfach diese Eigenschaft an.

0:05:50.020,0:05:54.170
Wenn du diese Aufgabe also in einem Test bekommst,

0:05:54.170,0:06:15.860
weißt du, dass es dasselbe ist[br]wie z.B. log_10 (357) / log_10 (17).

0:06:15.860,0:06:19.740
Du könntest also einfach 357 in[br]deinen Taschenrechner eintippen,

0:06:19.740,0:06:22.380
die log-Taste drücken und würdest etwas erhalten.

0:06:22.380,0:06:29.480
Dann könntest du 17 eintippen, die log-[br]Taste drücken und würdest etwas erhalten.

0:06:29.480,0:06:31.400
Dann dividierst du die Werte und erhältst die Antwort.

0:06:31.400,0:06:37.540
Das ist also eine sehr nützliche[br]Eigenschaft für taschenrechnersüchtige Leute.

0:06:37.540,0:06:40.920
Wie gesagt, ich gehe nicht sehr ins Detail.

0:06:40.930,0:06:46.280
Für mich ist es die nützlichste Eigenschaft,

0:06:46.280,0:06:49.980
sie ergibt sich, offensichtlich, aus den Exponentialeigenschaften.

0:06:49.980,0:06:53.940
Aber es ist schwierig, die Intuition[br]einfach zu beschreiben,

0:06:53.940,0:06:58.540
also solltest du dir den Beweis dafür ansehen,[br]falls du nicht glaubst, warum das passiert.

0:06:58.540,0:07:03.220
Das ist aber wahrscheinlich die Eigenschaft,[br]die du in deinem Alltag am meisten anwenden wirst.

0:07:03.220,0:07:05.840
Ich verwende sie immer noch in meinem Job.

0:07:05.850,0:07:09.400
Damit du weißt, dass Logarithmen nützlich sind.

0:07:09.400,0:07:13.740
Kommen wir zu ein paar Beispielen.

0:07:13.740,0:07:19.380
Ich forme ein paar in eine einfachere Schreibweise um.

0:07:19.380,0:07:54.200
Ich habe den Logarithmus log_2 (√(32/√8)).

0:07:54.200,0:08:00.360
Wie forme ich ihn um, damit er einfacher ist?

0:08:00.360,0:08:17.820
Es ist dasselbe wie log_2 (32/√8)^(1/2).

0:08:17.820,0:08:21.360
Und wir wissen durch unsere[br]dritte Logarithmus-Eigenschaft,

0:08:21.360,0:08:33.980
dass es dasselbe ist wie 1/2 ⋅ log_2 (32/√8).

0:08:33.980,0:08:36.760
Ich habe einfach den Exponenten genommen und ihn zum Koeffizienten des gesamten Ausdrucks gemacht.

0:08:36.760,0:08:39.400
Das haben wir zu Beginn dieses Videos gelernt.

0:08:39.410,0:08:41.650
Jetzt haben wir hier einen kleinen Quotienten, richtig?

0:08:41.650,0:08:48.240
log_2 (32/√8).

0:08:48.240,0:09:13.520
Wir schreiben also 1/2 ⋅ (log_2 (32) - log_2 (√8)).[br]Wir benutzen Minus, weil das in einem Quotienten ist.

0:09:13.520,0:09:15.700
Hier haben wir wieder eine Quadratwurzel,

0:09:15.700,0:09:23.420
also können wir das als[br]1/2 (log_2 (32) - 1/2 ⋅ log_2 (8)) schreiben.

0:09:23.420,0:09:28.980
8^(1/2) ist dasselbe wie 1/2 ⋅ log_2 (8).

0:09:28.980,0:09:31.380
Diese Eigenschaft haben wir zu[br]Beginn des Videos kennengelernt.

0:09:31.390,0:09:33.750
Dann könnten wir diese 1/2[br]vom Anfang ausmultiplizieren.

0:09:33.750,0:09:46.760
Es ergibt 1/2 ⋅ log_2 (32) - 1/4 ⋅ log_2 (8)).

0:09:46.760,0:09:52.500
Das ergibt 5/2. Das ergibt 3.

0:09:52.500,0:09:55.120
3 ⋅ (-1/4) = -3/4.

0:09:55.120,0:09:59.440
Oder 10/4 - 3/4 = 7/4.

0:09:59.440,0:10:03.150
Ich hab wahrscheinlich Rechenfehler[br]gemacht, aber du verstehst, was ich meine.

0:10:03.150,0:10:04.730
Bis bald!