-
หากผมเดินเจอคุณตามถนนแล้วบอกคุณว่า ช่วยบอกผมที
ว่า -- ผมไม่อยากเขียนตัวหนา -- ช่วยบอกผม
หน่อยว่าไซน์ของ ไพ ส่วน 4 เป็นเท่าไหร่
แน่นอนว่าเราถือว่า เรากำลังใช้หน่วยเรเดียน
คุณอาจจำเอา หรือคุณอาจวาด
วงกลมหน่วยตรงนี้
มันไม่ใช่วงกลมหน่วยที่ดีที่สุด
แต่คุณคงพอเจ้าใจ
คุณก็ไปที่ไพ ส่วน 4 เรเดียน
ซึ่งก็เหมือนกับ 45 องศา
คุณก็วาดรัศมีหนึ่งหน่วยออกมา
แล้วไซน์นิยามว่าพิกัด y
บนวงกลมหน่วย
แล้วคุณอยากรู้ค่านี่ตรงนี้
คุณก็บอกทันทีว่าโอเค
นี่คือ 45 องศา
ขอผมวาดสามเหลี่ยมให้ใหญ่ขึ้นหน่อยนะ
สามเหลี่ยมเป็นแบบนี้
นี่คือ 45
นั่นคือ 45
นี่คือ 90
และคุณก็แก้สามเหลี่ยม 45 45 90
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 1
นี่คือ x
นี่ก็ x
มันจะมีค่าเท่ากัน
นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว, จริงไหม?
เพราะมุมฐานมันเท่ากัน
คุณก็บอกว่า ดูสิ x กำลังสอง บวก x กำลังสองเท่ากับ 1
กำลังสอง, ซึ่งก็แค่ 1
2x กำลังสองเท่ากับ 1
x กำลังสองเท่ากับ 1/2
x เท่ากับสแควร์รูทของ 1/2 ซึ่งก็คือหนึ่งส่วน
สแควร์รูทของ 2
ผมก็เขียนในรูปส่วนเป็นตรรกยะ โดยคูณมัน
ด้วยสแควร์รูท 2 ส่วน 2
-
ผมก็ได้ x เท่ากับสแควร์รูทของ 2 ส่วน 2
แล้วความสูงตรงนี้คือ สแควร์รูทของ 2 ส่วน 2
และหากคุณอยากรู้ระยะตรงนี้ด้วย, มัน
ก็ออกมาเหมือนกัน
แต่เราสนแค่ความสูง
เพราะค่าไซน์, ไซน์ของเจ้านี่, ก็แค่
ความสูงตรงนี้
พิกัด y
และเราได้เป็นสแควร์รูทของ 2 ส่วน 2
นี่คือการทวนเรื่องเดิม
เราเรียนไปแล้วในวิดีโอเรื่องวงกลมหน่วย
แต่หากมีคนอื่น -- สมมุติว่าวันต่อมา
คุณเจอคุณแล้วบอกว่า คุณช่วยบอกทีว่า
อาร์คไซน์ของสแควร์รูทของ 2 ส่วน 2 คืออะไร
อาร์คไซน์คืออะไร?
คุณอาจตะลึง
คุณก็แบบว่า ฉันรู้ว่าไซน์ของมุมคืออะไร แต่เจ้า
นี่เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติอันใหม่ที่ซาลตั้งขึ้น
สิ่งที่คุณต้องสังเกตเวลาเขามีคำว่า อาร์ค
อยู่ข้างหน้า -- นี่หมายถึง
อินเวอร์สไซน์
นี่เลยเขียนง่ายๆ ว่า อินเวอร์ส
ไซน์ของสแควร์รูท 2 ส่วน 2 เป็นเท่าไหร่?
ที่เขาถามคือว่า มุมอะไรที่ผมต้องใส่ลงไป
ในไซน์เพื่อให้ได้ค่าสแควร์รูท 2 ส่วน 2
นี่ก็เหมือนกับถามว่าผมต้องใช้มุมอะไรลงใน
ไซน์เพื่อให้ได้สแควร์รูทของ 2 ส่วน 2
ผมอาจเขียนประโยคเหล่านี้ใหม่ว่า
สแควร์ -- ขอผมลองดูนะ
ผมอาจเขียนประโยคนี้ใหม่ว่าไซน์
ของอะไรเท่ากับสแควร์รูท 2 ส่วน 2
และนี่ผมว่าเป็นคำถามที่คุณ
หาคำตอบได้ง่ายกว่า
ไซน์ของอะไรเท่ากับสแควร์รูท 2 ส่วน 2?
ตรงนี้ผมหาไปแล้วว่าไซน์ของ ไพ ส่วน 4 คือ
สแควร์รูทของ 2 ส่วน 2
ดังนั้นในกรณีนี้ ผมรู้ว่าไซน์ของไพส่วน 4 เท่ากับ
สแควร์รูทของ 2 ส่วน 2
ดังนั้นเครื่องหมายคำถามของผม เท่ากับไพส่วน 4
หรือผมอาจเขียนมันใหม่ว่า อาร์คไซน์ -- โทษที
-- อาร์คไซน์ของสแควร์รูท 2 ส่วน 2 เท่ากับไพ ส่วน 4
ทีนี้คุณอาจบอกว่า ฉันจะบอกตัวเลข
แล้วให้คุณบอกมุม โดยเมื่อแทนมุม
แล้วจะได้ตัวเลขนั้น
แต่คุณบอกว่า เฮ้ ซาล
ดูสิ
ฉันไปตรงนี้
คุณก็บอกว่า ไพ ส่วน 2 ใช้ได้ เอ้ย
45 องศาใช้ได้
แต่ถ้าฉันบวก 360 องศาหรือฉัน
บวก 2 ไพไปเรื่อยๆ
เลขพวกนั้นก็เป็นคำตอบอยู่นี้ เพราะค่าเหล่านั้น
ให้จุดเดียวกันบนวงกลมหน่วย, จริงไหม?
และคุณก็ถูกแล้ว
งั้นค่าทั้งหมดพวกนั้น คุณคงคิดว่าเป็น
คำตอบทั้งหมด, จริงไหม?
เพราะถ้าคุณหาไซน์ของมุมพวกนั้น -- คุณ
แค่บวก 360 องศาไปเรื่อยๆ
ถ้าคุณหาค่าไซน์ของมุมใดๆ เหล่านั้น คุณจะได้
สแควร์รูทของ 2 ส่วน 2
และนั่นเป็นปัญหา
คุณไม่สามารถมีฟังก์ชันที่ผมเอาฟังก์ชันมา -- ผมไม่สามารถ
มีฟังก์ชัน, f ของ x, ที่โยง
ไปได้หลายค่า, จริงไหม?
มันโยงไปยังไพส่วน 4, หรือมันโยงไปยังไพส่วน 4 บวก 2 ไพ
หรือ ไพส่วน 4 บวก 4 ไพ
ดังนั้นเพื่อให้มันเป็นฟังก์ชันจริงๆ -- เพื่อให้
อินเวอร์สไซน์เป็นฟังก์ชันที่แท้จริง, ผมต้อง
กำหนดเรนจ์
วิธีที่ผม -- เราจะจำกัดเรนจ์มัน
ในช่วงที่เป็นธรรมชาติที่สุด
ลองมากำหนดเรนจ์ของฟังก์ชันกัน
ที่จริง คิดเล่นๆ ดู โดเมนถูกกำหนด
ว่ามีค่าเป็นอะไรบ้าง?
หากผมหาอาร์คไซน์ของอะไรสักอย่าง
หากผมหาอาร์คไซน์ของ x ผมกำลังบอกว่ามันเท่ากับ
ทีต้า, แล้วโดเมนถูกจำกัดให้เป็นอะไร?
ค่า x ที่เหมาะสมมีอะไรบ้าง?
x เท่ากับอะไรได้บ้าง?
ตรงนี้ถ้าผมหาไซน์ของมุมใดๆ, ผมจะได้ค่า
แค่ระหว่าง 1 กับลบ 1, จริงไหม?
ดังนั้น x จะมากกว่าเท่ากับลบ 1 และ
น้อยกว่าเท่ากับ 1
นั่นคือโดเมน
ทีนี้, เพื่อทำให้มันเป็นพังก์ชันที่ถูกต้อง, ผมต้อง
จำกัดเรนจ์
คือค่าที่เป็นไปได้
ผมต้องกำหนดเรนจ์
ทีนี้สำหรับอาร์คไซน์, ข้อตกลงคือจำกัดมันไว้
ในจตุภาคที่ 1 กับ 4
บังคับมุมที่เป็นไปได้ให้อยู่ในพื้นที่
ตรงนี้ตามวงกลมหน่วย
ดังนั้นทีต้าถูกจำกัดให้น้อยกว่าหรือเท่ากับไพส่วน
2 แล้วก็มากกว่าหรือเท่ากับลบไพ ส่วน 2
เมื่อนั้น เราก็รู้แล้วว่าอาร์คไซน์คืออะไร
ลองทำโจทย์อีกข้อนึง
หาที่ว่างตรงนี้หน่อย
ขอผมหาอาร์คไซน์อีกตัว
สมมุติว่าผมถามคุณว่าอาร์คไซน์ของลบ
สแควร์รูท 3 ส่วน 2 คืออะไร
-
ทีนี้คุณอาจต้องจำหน่อย
แล้วบอกว่า, ฉันรู้เลยว่าไซน์ของ x หรือไซน์
ของทีต้าเท่ากับสแควร์รูท 3 ส่วน 2
คุณก็จบแล้ว
แต่ผมไม่ได้จำ
งั้นผมขอวาดวงกลมหน่วยนะ
ตอนผมยุ่งกับอาร์คไซน์, ผมต้อง
วาดวงกลมหน่วยในจตุภาคที่ 1 กับ 4 เสมอ
นั่นคือแกน y
นั่นคือแกน x
x กับ y
แล้วผมอยู่ตรงไน
ถ้าไซน์ของอะไรสักอย่างเป็นลบสแควร์รูทของ 3 ส่วน 2
นั่นหมายความว่าพิกัด y ของวงกลมหน่วยเป็นลบ
สแควร์รูท 3 ส่วน 2
มันเลยหมายความว่าเราอยู่ประมาณตรงนี้
นี่ก็คือลบสแควร์รูท 3 ส่วน 2
เราอยู่ตรงนี้
แล้วมุมอะไรให้ค่านั้น?
ลองคิดสักหน่อย
พิกัด y คือลบสแควร์รูท 3 ส่วน 2
นี่คือมุม
มันจะเป็นมุมลบเพราะเรากำลัง
อยู่ใต้แกน x ในทิศตามเข็มนาฬิกา
เพื่อหาค่ามัน -- ขอผมวาดสามเหลี่ยมเล็กๆ ตรงนี้
ขอผมเลือกสีดีกว่านั้นหน่อย
นั่นคือสามเหลี่ยม
ขอผมใช้สีฟ้านี่นะ
ผมจะซูมสามเหลี่ยมนั้นเข้า
แบบนั้น
นี่คือทีต้า
นั่นคือทีต้า
แล้วความยาวตรงนี้เป็นเท่าไหร่?
นั่นก็คือความสูง y, ผมเรียก
มันอย่างนั้นก็ได้
ซึ่งก็คือสแควร์รูท 3 ส่วน 2
มันเป็นลบเพราะเราอยู่ข้างล่าง
แต่ลองมุมนี้ดู
เรารู้ว่ามันลบอยู่แล้ว
ทีนี้ตอนคุณเห็นสแควร์รูท 3 ส่วน 2, หวังว่าคุณ
คงจำได้ว่าเป็นสามเหลี่ยมแบบ 30 60 90
สแควร์รูทของ 3 ส่วน 2
ด้านนี้คือ 1/2
แล้วก็แน่นอนด้านนี้ยาว 1
เพราะนี่คือวงกลมหน่วย
รัศมีของมันเลยเป็น 1
ในสามเหลี่ยม 30 60 90 นั้น, ด้านตรงข้ามกับ
สแควร์รูท 3 ส่วน 2 คือ 60 องศา
ส่วนด้านนี่ตรงนี้คือ 30 องศา
เราเลยรู้ว่าทีต้าของเรา -- นี่คือ 60 องศา
นั่นคือขนาดของมุม
แต่มันอยู่ข้างล่าง
มันเลยเป็น ลบ 60 องศา
ดังนั้นทีต้าเท่ากับ ลบ 60 องศา
แต่หากเราคิดเป็นเรเดียน, มัน
ยังใช้ไม่ได้
เราก็คูณด้วย 100 -- ขอโทษที -- ไพ เรเดียน
ทุกๆ 180 องศา
องศาตัดกัน
เราก็เหลือทีต้าเท่ากับ ลบ
ไพ ส่วน 3 เรเดียน
เราเลยบอกได้ว่า -- เรากล่าวได้แล้วว่า
อาร์คไซน์ของลบสแควร์รูท 3 ส่วน 2 เท่ากับ
ลบไพ ส่วน 3 เรเดียน
หรือเราอาจบอกว่าอินเวอร์สไซน์ของลบสแควร์รูท
3 ส่วน 2 เท่ากับลบไพ ส่วน 3 เรเดียน
เพื่อตรวจสอบดู, ลอง -- ขอผม
เอาเครื่องคิดเลขอออกมา
ผมตั้งค่าในหน่วยเรเดียนพร้อมแล้ว
คุณตรวจดูได้
ตั้งค่าแบบต่อวินาที
ผมอยู่ในแบบเรเดียนแล้ว
ผมรู้ว่าผมจะได้คำตอบที่ถูกต้อง หวังว่านะ
ผมอยากหาอินเวอร์สไซน์
ดังนั้นอินเวอร์ไซน์ -- กดปุ่มชั้นสอง และปุ่มไซน์
-- ของลบสแควร์รูท 3 ส่วน 2
มันเท่ากับ 1.04
มันก็บอกเราว่านี่เท่ากับ ลบ 1.04 เรเดียน
ไพส่วน 3 เลยต้องเท่ากับ 1.04
ลองดูว่าเรายืนยันได้ไหม
หากผมเขียนลบไพ หารด้วย 3, ผมจะได้อะไร?
ได้ค่าเท่ากันเป๊ะเลย
เครื่องคิดเลขผมให้ค่าเท่ากันเป๊ะ แต่มัน
ไม่เจ๋งเท่าไหร่เพราะเครื่องคิดเลขไม่บอก
ว่ามันเท่ากับลบไพส่วน 3
-