WEBVTT

00:00:00.340 --> 00:00:03.360
Ja es tev pieietu uz ielas un pajautātu –

00:00:03.360 --> 00:00:07.450
tik treknā šriftā negribēju rakstīt –

00:00:07.450 --> 00:00:11.710
saki, lūdzu, cik ir sīnuss
no pī dalīts ar 4, –

00:00:11.710 --> 00:00:14.950
un mēs, protams, runājam
par vērtību radiānos –

00:00:14.950 --> 00:00:17.510
tu to būsi vai nu iemācījies no galvas,

00:00:17.510 --> 00:00:19.920
vai uzzīmēsi vienības riņķi,
lai atrastu atbildi.

00:00:19.920 --> 00:00:21.360
Nav pats skaistākais vienības riņķis,
bet priekšstatam derēs.

00:00:21.360 --> 00:00:23.080


00:00:23.080 --> 00:00:26.960
Tu atliktu leņķi ar platumu
pī dalīts ar 4 radiāni,

00:00:26.960 --> 00:00:29.760
kas ir tas pats, kas 45 grādu leņķis.

00:00:29.760 --> 00:00:31.840
Atbilstošajā riņķa vietā
tu novilktu rādiusu.

00:00:31.840 --> 00:00:35.130
Un sinuss ir šī punkta y koordināta
vienības riņķī.

00:00:35.130 --> 00:00:36.250


00:00:36.250 --> 00:00:38.910
Tātad mēs gribam noskaidrot šo te vērtību.

00:00:38.910 --> 00:00:40.210
Mums tātad ir dots,
ka šis ir 45 grādu leņķis.

00:00:40.210 --> 00:00:42.630


00:00:42.630 --> 00:00:45.530
Pārzīmēšu šo trijstūri mazliet lielāku.

00:00:45.530 --> 00:00:47.530
Trijstūris izskatās šādi.

00:00:47.530 --> 00:00:49.210
Šis ir 45 grādu leņķis,

00:00:49.210 --> 00:00:50.900
tas ir 45 grādu leņķis,

00:00:50.900 --> 00:00:53.790
un šeit ir 90 grādi.

00:00:53.790 --> 00:00:57.330
Nu varam vajadzīgo aprēķināt
45, 45 un 90 grādu trijstūrī.

00:00:57.330 --> 00:00:59.040
Hipotenūza ir 1 vienību gara.

00:00:59.040 --> 00:01:00.380
Šī mala ir x. Šī mala ir x.

00:01:00.380 --> 00:01:00.640


00:01:00.640 --> 00:01:04.430
Abas malas ir vienāda garuma,
jo šis ir vienādsānu trijstūris.

00:01:04.430 --> 00:01:04.920


00:01:04.920 --> 00:01:06.960
Leņķi pie pamata ir vienādi.

00:01:06.960 --> 00:01:10.690
Tātad x kvadrātā plus x kvadrātā

00:01:10.690 --> 00:01:12.960
ir vienāds ar 1 kvadrātā, kas ir 1.

00:01:12.960 --> 00:01:15.200
2 x kvadrātā ir vienāds ar 1;

00:01:15.200 --> 00:01:17.440
x kvadrātā ir vienāds ar 1/2.

00:01:17.440 --> 00:01:20.840
X ir vienāds ar kvadrāsakni no 1/2,

00:01:20.840 --> 00:01:22.780
un tas ir 1 dalīts ar kvadrātsakni no 2.

00:01:22.780 --> 00:01:24.500
Varam to izteikt racionālā formā,

00:01:24.500 --> 00:01:27.330
skaitītāju un saucēju pareizinot
ar kvadrātsakni no 2
dalīts ar kvadrātsakni no 2.

00:01:31.230 --> 00:01:34.950
Iegūstam, ka x ir vienāds
ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2.

00:01:34.950 --> 00:01:38.770
Tātad šis augstums ir
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:01:38.770 --> 00:01:41.460
Un tikpat garš būs arī šis attālums.

00:01:41.460 --> 00:01:41.710


00:01:41.710 --> 00:01:43.200
Taču mums vajag tikai augstumu,

00:01:43.200 --> 00:01:46.600
jo sinusa vērtība, šī leņķa sinuss,

00:01:46.600 --> 00:01:47.920
atbilst šim augstumam – y koordinātai.

00:01:47.920 --> 00:01:49.180


00:01:49.180 --> 00:01:52.960
Un mēs noskaidrojām,
ka tas ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:01:52.960 --> 00:01:53.890
Šis viss ir atkārtojums –

00:01:53.890 --> 00:02:00.210
mēs to apguvām vienības riņķa video.

00:02:00.210 --> 00:02:04.020
Bet ja nu kādu citu dienu
pienāktu tev klāt un pajautātu:

00:02:04.020 --> 00:02:06.740
"Saki, lūdzu, –

00:02:06.740 --> 00:02:14.930
saki, lūdzu, cik ir arksinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2?"

00:02:14.930 --> 00:02:16.190
Kas ir arksinuss?

00:02:16.190 --> 00:02:18.710
Tu, iespējams, apjuktu –
tu zini, kas ir leņķa sinuss,

00:02:18.710 --> 00:02:18.970


00:02:18.970 --> 00:02:24.480
bet te Salmans runā par kaut kādu
jaunu trigonometrisko funkciju.

00:02:24.480 --> 00:02:28.220
Taču patiesībā vienīgais, kas jāzina,
ja vārda sākumā ir šī "ark" daļa...

00:02:28.220 --> 00:02:30.560
to reizēm dēvē
arī par inversā sinusa funkciju.

00:02:30.560 --> 00:02:30.810


00:02:30.810 --> 00:02:33.590
To varētu pierakstīt arī šādi:

00:02:33.590 --> 00:02:38.420
kāds ir inversais sinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2?

00:02:38.420 --> 00:02:42.900
Būtībā tiek jautāts,
kādam leņķim jānosaka sinuss,

00:02:42.900 --> 00:02:48.310
lai iegūtā vērtība būtu
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:02:48.310 --> 00:02:52.000
Tātad tiek jautāts,
kādam leņķim jānosaka sinuss,

00:02:52.000 --> 00:02:54.610
lai iegūtu kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2.

00:02:54.610 --> 00:03:00.220
Abas šīs izteiksmes varam pārrakstīt –

00:03:00.220 --> 00:03:02.260
un to arī darīsim –

00:03:02.260 --> 00:03:06.890
abas šīs izteiksmes varam pārrakstīt šādi:

00:03:06.890 --> 00:03:11.200
kāda leņķa sinuss ir vienāds
ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2?

00:03:11.200 --> 00:03:14.910
Uz šo jautājumu, manuprāt,
ir daudz vieglāk atbildēt.

00:03:14.910 --> 00:03:15.820


00:03:15.820 --> 00:03:18.400
Kāda leņķa sinuss
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2?

00:03:18.400 --> 00:03:21.950
Pirms brīža noskaidrojām,
ka sinuss no pī dalīts ar 4

00:03:21.950 --> 00:03:24.080
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:03:24.080 --> 00:03:28.560
Tātad šajā gadījumā zinām,
ka sinuss no pī dalīts ar 4

00:03:28.560 --> 00:03:30.630
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2

00:03:30.630 --> 00:03:35.760
un mūsu jautājuma zīme
ir vienāda ar pī dalīts ar 4.

00:03:35.760 --> 00:03:42.400
Vai arī varam šo pārrakstīt šādi – 
atvaino –

00:03:42.400 --> 00:03:51.940
arksinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2
ir vienāds ar pī dalīts ar 4.

00:03:51.940 --> 00:03:56.120
Atkārtosim vēlreiz –

00:03:56.120 --> 00:03:58.630
es nosaucu vērtību un jautāju,
no kāda leņķa tā iegūstama,

00:03:58.630 --> 00:04:01.490
kāda leņķa sinuss dos šādu vērtību.

00:04:01.490 --> 00:04:03.030
Bet tu saki: "Klau, Salman... –

00:04:03.030 --> 00:04:03.950


00:04:03.950 --> 00:04:05.120
tas būs šajā vietā –

00:04:05.120 --> 00:04:06.960
šī atbilde der leņķim pī dalīts ar 4,

00:04:06.960 --> 00:04:08.540
tā der 45 grādu leņķim.

00:04:08.540 --> 00:04:11.560
Bet es varētu pieskaitīt 360 grādus

00:04:11.560 --> 00:04:13.130
jeb 2 pī radiānus,

00:04:13.130 --> 00:04:15.330
un arī tiem leņķiem derētu šī atbilde,

00:04:15.330 --> 00:04:18.870
jo es nonāktu tajā pašā
vienības riņķa vietā, vai ne?"

00:04:18.870 --> 00:04:19.960
Tev taisnība.

00:04:19.960 --> 00:04:23.350
Tātad sanāk, ka atbildē
var būt visi šie leņķi?

00:04:23.350 --> 00:04:25.290


00:04:25.290 --> 00:04:27.700
Jo ikvienam no šiem leņķiem sinuss būtu...

00:04:27.700 --> 00:04:29.720
Atliek tikai pieskaitīt vēl 360 grādus,

00:04:29.720 --> 00:04:31.740
un katra šāda leņķa sinuss būtu

00:04:31.740 --> 00:04:33.540
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:04:33.540 --> 00:04:34.370
Rodas problēma.

00:04:34.370 --> 00:04:37.070
Nepastāv funkcija –

00:04:37.070 --> 00:04:40.340
nepastāv funkcija f no x,

00:04:40.340 --> 00:04:42.230
kur x atbilst vairākām vērtībām,

00:04:42.230 --> 00:04:47.490
kur tas atbilst pī dalīts ar 4,
pī dalīts ar 4 plus 2 pī,

00:04:47.490 --> 00:04:52.280
pī dalīts ar 4 plus 4 pī.

00:04:52.280 --> 00:04:55.320
Lai funkcija būtu patiesa,

00:04:55.320 --> 00:04:57.880
lai šī inversā sinusa funkcija
būtu patiesa,

00:04:57.880 --> 00:05:00.340
mums jāierobežo
funkcijas vērtību apgabals.

00:05:00.340 --> 00:05:02.660
Ierobežosim to visdabiskākajā veidā.

00:05:02.660 --> 00:05:04.710


00:05:04.710 --> 00:05:06.990
Ierobežosim tātad
funkcijas vērtību apgabalu.

00:05:06.990 --> 00:05:09.870
Un maza atkāpīte – kāds ir
šīs funkcijas definīcijas apgabals?

00:05:09.870 --> 00:05:10.120


00:05:10.120 --> 00:05:13.160
Ja es nosaku kāda leņķa arksinusu –

00:05:13.160 --> 00:05:18.320
ja es nosaku kāda leņķa arksinusu
un saku, ka tas ir vienāds ar tētu,

00:05:18.320 --> 00:05:21.900
kāds būs šīs funkcijas
definīcijas apgabals?

00:05:21.900 --> 00:05:24.502
Kādas ir iespējamās x vērtības?

00:05:24.502 --> 00:05:27.310
Ar ko var būt vienāds x?

00:05:27.310 --> 00:05:30.770
Jebkuram leņķim

00:05:30.770 --> 00:05:33.840
sinusa iespējamās vērtības
ir starp 1 un mīnus 1, vai ne?

00:05:33.840 --> 00:05:37.680
Tātad x būs lielāks vai vienāds ar mīnus 1

00:05:37.680 --> 00:05:39.310
un mazāks vai vienāds ar 1.

00:05:39.310 --> 00:05:41.570
Tas ir funkcijas definīcijas apgabals.

00:05:41.570 --> 00:05:43.700
Tālāk, lai šī funkcija būtu patiesa,

00:05:43.700 --> 00:05:45.180
jāierobežo tās vērtību apgabals

00:05:45.180 --> 00:05:46.390
jeb iespējamās vērtības.

00:05:46.390 --> 00:05:47.790
Jāierobežo vērtību apgabals.

00:05:47.790 --> 00:05:51.660
Par arksinusa vērtību apgabalu
pieņem pirmo un ceturto kvadrantu,

00:05:51.660 --> 00:05:52.630


00:05:52.630 --> 00:05:55.240
tātad iespējamie leņķi

00:05:55.240 --> 00:05:58.750
atrodas šajā vienības riņķa daļā –

00:05:58.750 --> 00:06:03.840
tēta ir mazāka vai vienāda
ar pī dalīts ar 2

00:06:03.840 --> 00:06:11.180
un lielāka vai vienāda
ar mīnus pī dalīts ar 2.

00:06:11.180 --> 00:06:14.150
Ņemot šo vērā, mēs tagad saprotam,
kas ir arksinuss.

00:06:14.150 --> 00:06:17.110
Atrisināsim vēl vienu uzdevumu.

00:06:17.110 --> 00:06:20.280
Atradīsim brīvu vietu pierakstiem
un atrisināsim vēl vienu arksinusu.

00:06:20.280 --> 00:06:21.430


00:06:21.430 --> 00:06:30.450
Es varētu pajautāt, piemēram,
cik ir arksinuss –
cik ir arksinuss

00:06:30.450 --> 00:06:32.390
no mīnus kvadrātsaknes no 3
dalīts ar 2.

00:06:36.480 --> 00:06:38.490
Varbūt tu jau zini no galvas,

00:06:38.490 --> 00:06:41.720
ka sinuss no x vai sinuss no tētas
ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:06:41.720 --> 00:06:41.970


00:06:41.970 --> 00:06:42.220


00:06:42.220 --> 00:06:44.730
Bet es to nezinu no galvas,

00:06:44.730 --> 00:06:46.990
tāpēc uzzīmēšu vienības riņķi.

00:06:46.990 --> 00:06:48.480
Ja runa ir par arksinusu,

00:06:48.480 --> 00:06:53.550
pietiek uzzīmēt tikai pirmo
un ceturto vienības riņķa kvadrantu.

00:06:53.550 --> 00:06:54.810
Lūk, y ass,

00:06:54.810 --> 00:06:56.890
un te – x ass.

00:06:56.890 --> 00:06:59.690
Atzīmējam x un y.

00:06:59.690 --> 00:07:01.300
Tātad – ko mēs zinām?

00:07:01.300 --> 00:07:04.360
Ja leņķa sinuss ir
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2,

00:07:04.360 --> 00:07:06.933
tas nozīmē, ka y koordināta
uz vienības riņķa līnijas

00:07:06.933 --> 00:07:09.320
ir mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:07:09.320 --> 00:07:15.020
Tas būs aptuveni –
tas būs aptuveni šeit.

00:07:15.020 --> 00:07:18.800
Tātad te būs
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:07:18.800 --> 00:07:20.440
Tik tālu mēs būtu tikuši.

00:07:20.440 --> 00:07:24.160
Kādam leņķim atbilst šī vērtība?

00:07:24.160 --> 00:07:26.090
Padomāsim.

00:07:26.090 --> 00:07:31.600
Mūsu y koordināta ir
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:07:31.600 --> 00:07:33.460
Lūk, arī leņķis.

00:07:33.460 --> 00:07:36.110
Tas būs negatīvs leņķis,

00:07:36.110 --> 00:07:39.130
jo tas ir zem x ass,
pulksteņrādītāja virzienā.

00:07:39.130 --> 00:07:44.240
Lai šo atrisinātu, uzzīmēsim trijstūrīti –

00:07:44.240 --> 00:07:45.520
atradīšu labāku krāsu –

00:07:45.520 --> 00:07:48.040
lūk, trijstūris.

00:07:48.040 --> 00:07:52.740
Zīmēšu ar zilu.

00:07:52.740 --> 00:07:55.568
Uzzīmēsim šeit
šo trijstūri lielākā izmērā – šādi.

00:07:55.568 --> 00:07:56.210


00:07:56.210 --> 00:07:57.950
Te ir tēta.

00:07:57.950 --> 00:07:58.530


00:07:58.530 --> 00:08:00.660
Un kāds būs šīs malas garums?

00:08:00.660 --> 00:08:03.120
Tas atbilst y augstumam,
ja varam to tā nosaukt,

00:08:03.120 --> 00:08:03.890


00:08:03.890 --> 00:08:06.020
un tas ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:08:06.020 --> 00:08:08.600
Zem x ass tas ir ar mīnus zīmi,
bet pagaidām izrēķināsim leņķi.

00:08:08.600 --> 00:08:08.850


00:08:08.850 --> 00:08:11.960
Mēs zinām, ka tas būs negatīvs.

00:08:11.960 --> 00:08:14.540
Ceru, ka, redzot kvadrātsakni no 3
dalīts ar 2,

00:08:14.540 --> 00:08:16.870
tu atpazīsti trijstūri
ar 30,60,90 grādu leņķiem.

00:08:16.870 --> 00:08:19.700
Šī mala ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2,
tā ir 1/2,

00:08:19.700 --> 00:08:19.950


00:08:19.950 --> 00:08:21.250
un šī mala, protams, ir 1,

00:08:21.250 --> 00:08:22.880
jo šis ir vienības riņķis

00:08:22.880 --> 00:08:24.630
un tā rādiuss ir 1.

00:08:24.630 --> 00:08:26.515
Trijstūrī ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem

00:08:26.515 --> 00:08:30.500
kvadrātsaknei no 3 dalīts ar 2
pretī atrodas 60 grādu leņķis.

00:08:30.500 --> 00:08:32.610
Un šeit ir 30 grādu leņķis.

00:08:32.610 --> 00:08:35.140
Tātad mūsu tētas lielums ir 60 grādi.

00:08:35.140 --> 00:08:36.100


00:08:36.100 --> 00:08:37.325
Taču tas ir lejupvērsts,

00:08:37.325 --> 00:08:39.970
tāpēc tie būs mīnus 60 grādi.

00:08:39.970 --> 00:08:43.180
Tātad leņķis tēta ir mīnu 60 grādi.

00:08:43.180 --> 00:08:44.630
Bet grādi mums vēl jāpārvērš radiānos –

00:08:44.630 --> 00:08:45.210


00:08:45.210 --> 00:08:52.350
jāsareizina šis ar 180 –
atvaino, kļūdījos –

00:08:52.350 --> 00:08:54.540
ar pī radiāniem uz katriem 180 grādiem.

00:08:54.540 --> 00:08:56.070
Grādus varam noīsināt,

00:08:56.070 --> 00:08:59.500
un rezultātā iegūstam,

00:08:59.500 --> 00:09:04.090
ka tēta ir vienāda
ar mīnus pī dalīts ar 3 radiāniem.

00:09:04.090 --> 00:09:10.630
Tātad tagad varam apgalvot,

00:09:10.630 --> 00:09:16.780
ka arksinuss
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2

00:09:16.780 --> 00:09:19.980
ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 3 radiāniem.

00:09:19.980 --> 00:09:24.680
Varam arī teikt, ka inversais sinuss
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2

00:09:24.680 --> 00:09:30.840
ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 3 radiāniem.

00:09:30.840 --> 00:09:34.290
Lai pārliecinātos, ka atbilde ir pareiza,
ņemsim talkā kalkulatoru.

00:09:34.290 --> 00:09:35.310


00:09:35.310 --> 00:09:38.200
Es jau esmu iestatījis radiānus.

00:09:38.200 --> 00:09:40.700
Tu vari to pārbaudīt,
nospiežot "2nd" un "Mode".

00:09:40.700 --> 00:09:41.060


00:09:41.060 --> 00:09:43.040
Mans kalkulators ir radiānu režīmā.

00:09:43.040 --> 00:09:45.490
Cerams, ka varēšu apstiprināt
atbildes pareizību.

00:09:45.490 --> 00:09:47.840
Es tātad gribu noskaidrot inverso sinusu –

00:09:47.840 --> 00:09:51.610
"2nd" un tad "sin" podziņa –

00:09:51.610 --> 00:09:59.790
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2.

00:09:59.790 --> 00:10:03.800
Tas ir vienāds ar mīnus 1,04.

00:10:03.800 --> 00:10:11.040
Kalkulators saka,
ka šis ir vienāds ar mīnus 1,04 radiāniem.

00:10:11.040 --> 00:10:13.970
Tātad pī dalīts ar 3
jābūt vienādam ar 1,04.

00:10:13.970 --> 00:10:16.030
Pārbaudīsim.

00:10:16.030 --> 00:10:25.180
Ja pārbaudu mīnus pī dalīts 3, cik sanāks?

00:10:25.180 --> 00:10:26.670
Sanāk tieši tikpat.

00:10:26.670 --> 00:10:28.710
Tātad ar kalkulatoru
ieguvām tieši to pašu vērtību,

00:10:28.710 --> 00:10:31.240
taču kalkulators nedod atbildi
mīnus pī dalīts ar 3 formā.

00:10:31.240 --> 00:10:34.520