1
00:00:00,340 --> 00:00:03,360
Ja es tev pieietu uz ielas un pajautātu –

2
00:00:03,360 --> 00:00:07,450
tik treknā šriftā negribēju rakstīt –

3
00:00:07,450 --> 00:00:11,710
saki, lūdzu, cik ir sīnuss
no pī dalīts ar 4, –

4
00:00:11,710 --> 00:00:14,950
un mēs, protams, runājam
par vērtību radiānos –

5
00:00:14,950 --> 00:00:17,510
tu to būsi vai nu iemācījies no galvas,

6
00:00:17,510 --> 00:00:19,920
vai uzzīmēsi vienības riņķi,
lai atrastu atbildi.

7
00:00:19,920 --> 00:00:21,360
Nav pats skaistākais vienības riņķis,
bet priekšstatam derēs.

8
00:00:21,360 --> 00:00:23,080


9
00:00:23,080 --> 00:00:26,960
Tu atliktu leņķi ar platumu
pī dalīts ar 4 radiāni,

10
00:00:26,960 --> 00:00:29,760
kas ir tas pats, kas 45 grādu leņķis.

11
00:00:29,760 --> 00:00:31,840
Atbilstošajā riņķa vietā
tu novilktu rādiusu.

12
00:00:31,840 --> 00:00:35,130
Un sinuss ir šī punkta y koordināta
vienības riņķī.

13
00:00:35,130 --> 00:00:36,250


14
00:00:36,250 --> 00:00:38,910
Tātad mēs gribam noskaidrot šo te vērtību.

15
00:00:38,910 --> 00:00:40,210
Mums tātad ir dots,
ka šis ir 45 grādu leņķis.

16
00:00:40,210 --> 00:00:42,630


17
00:00:42,630 --> 00:00:45,530
Pārzīmēšu šo trijstūri mazliet lielāku.

18
00:00:45,530 --> 00:00:47,530
Trijstūris izskatās šādi.

19
00:00:47,530 --> 00:00:49,210
Šis ir 45 grādu leņķis,

20
00:00:49,210 --> 00:00:50,900
tas ir 45 grādu leņķis,

21
00:00:50,900 --> 00:00:53,790
un šeit ir 90 grādi.

22
00:00:53,790 --> 00:00:57,330
Nu varam vajadzīgo aprēķināt
45, 45 un 90 grādu trijstūrī.

23
00:00:57,330 --> 00:00:59,040
Hipotenūza ir 1 vienību gara.

24
00:00:59,040 --> 00:01:00,380
Šī mala ir x. Šī mala ir x.

25
00:01:00,380 --> 00:01:00,640


26
00:01:00,640 --> 00:01:04,430
Abas malas ir vienāda garuma,
jo šis ir vienādsānu trijstūris.

27
00:01:04,430 --> 00:01:04,920


28
00:01:04,920 --> 00:01:06,960
Leņķi pie pamata ir vienādi.

29
00:01:06,960 --> 00:01:10,690
Tātad x kvadrātā plus x kvadrātā

30
00:01:10,690 --> 00:01:12,960
ir vienāds ar 1 kvadrātā, kas ir 1.

31
00:01:12,960 --> 00:01:15,200
2 x kvadrātā ir vienāds ar 1;

32
00:01:15,200 --> 00:01:17,440
x kvadrātā ir vienāds ar 1/2.

33
00:01:17,440 --> 00:01:20,840
X ir vienāds ar kvadrāsakni no 1/2,

34
00:01:20,840 --> 00:01:22,780
un tas ir 1 dalīts ar kvadrātsakni no 2.

35
00:01:22,780 --> 00:01:24,500
Varam to izteikt racionālā formā,

36
00:01:24,500 --> 00:01:27,330
skaitītāju un saucēju pareizinot
ar kvadrātsakni no 2
dalīts ar kvadrātsakni no 2.

37
00:01:31,230 --> 00:01:34,950
Iegūstam, ka x ir vienāds
ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2.

38
00:01:34,950 --> 00:01:38,770
Tātad šis augstums ir
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

39
00:01:38,770 --> 00:01:41,460
Un tikpat garš būs arī šis attālums.

40
00:01:41,460 --> 00:01:41,710


41
00:01:41,710 --> 00:01:43,200
Taču mums vajag tikai augstumu,

42
00:01:43,200 --> 00:01:46,600
jo sinusa vērtība, šī leņķa sinuss,

43
00:01:46,600 --> 00:01:47,920
atbilst šim augstumam – y koordinātai.

44
00:01:47,920 --> 00:01:49,180


45
00:01:49,180 --> 00:01:52,960
Un mēs noskaidrojām,
ka tas ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

46
00:01:52,960 --> 00:01:53,890
Šis viss ir atkārtojums –

47
00:01:53,890 --> 00:02:00,210
mēs to apguvām vienības riņķa video.

48
00:02:00,210 --> 00:02:04,020
Bet ja nu kādu citu dienu
pienāktu tev klāt un pajautātu:

49
00:02:04,020 --> 00:02:06,740
"Saki, lūdzu, –

50
00:02:06,740 --> 00:02:14,930
saki, lūdzu, cik ir arksinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2?"

51
00:02:14,930 --> 00:02:16,190
Kas ir arksinuss?

52
00:02:16,190 --> 00:02:18,710
Tu, iespējams, apjuktu –
tu zini, kas ir leņķa sinuss,

53
00:02:18,710 --> 00:02:18,970


54
00:02:18,970 --> 00:02:24,480
bet te Salmans runā par kaut kādu
jaunu trigonometrisko funkciju.

55
00:02:24,480 --> 00:02:28,220
Taču patiesībā vienīgais, kas jāzina,
ja vārda sākumā ir šī "ark" daļa...

56
00:02:28,220 --> 00:02:30,560
to reizēm dēvē
arī par inversā sinusa funkciju.

57
00:02:30,560 --> 00:02:30,810


58
00:02:30,810 --> 00:02:33,590
To varētu pierakstīt arī šādi:

59
00:02:33,590 --> 00:02:38,420
kāds ir inversais sinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2?

60
00:02:38,420 --> 00:02:42,900
Būtībā tiek jautāts,
kādam leņķim jānosaka sinuss,

61
00:02:42,900 --> 00:02:48,310
lai iegūtā vērtība būtu
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

62
00:02:48,310 --> 00:02:52,000
Tātad tiek jautāts,
kādam leņķim jānosaka sinuss,

63
00:02:52,000 --> 00:02:54,610
lai iegūtu kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2.

64
00:02:54,610 --> 00:03:00,220
Abas šīs izteiksmes varam pārrakstīt –

65
00:03:00,220 --> 00:03:02,260
un to arī darīsim –

66
00:03:02,260 --> 00:03:06,890
abas šīs izteiksmes varam pārrakstīt šādi:

67
00:03:06,890 --> 00:03:11,200
kāda leņķa sinuss ir vienāds
ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2?

68
00:03:11,200 --> 00:03:14,910
Uz šo jautājumu, manuprāt,
ir daudz vieglāk atbildēt.

69
00:03:14,910 --> 00:03:15,820


70
00:03:15,820 --> 00:03:18,400
Kāda leņķa sinuss
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2?

71
00:03:18,400 --> 00:03:21,950
Pirms brīža noskaidrojām,
ka sinuss no pī dalīts ar 4

72
00:03:21,950 --> 00:03:24,080
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

73
00:03:24,080 --> 00:03:28,560
Tātad šajā gadījumā zinām,
ka sinuss no pī dalīts ar 4

74
00:03:28,560 --> 00:03:30,630
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2

75
00:03:30,630 --> 00:03:35,760
un mūsu jautājuma zīme
ir vienāda ar pī dalīts ar 4.

76
00:03:35,760 --> 00:03:42,400
Vai arī varam šo pārrakstīt šādi – 
atvaino –

77
00:03:42,400 --> 00:03:51,940
arksinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2
ir vienāds ar pī dalīts ar 4.

78
00:03:51,940 --> 00:03:56,120
Atkārtosim vēlreiz –

79
00:03:56,120 --> 00:03:58,630
es nosaucu vērtību un jautāju,
no kāda leņķa tā iegūstama,

80
00:03:58,630 --> 00:04:01,490
kāda leņķa sinuss dos šādu vērtību.

81
00:04:01,490 --> 00:04:03,030
Bet tu saki: "Klau, Salman... –

82
00:04:03,030 --> 00:04:03,950


83
00:04:03,950 --> 00:04:05,120
tas būs šajā vietā –

84
00:04:05,120 --> 00:04:06,960
šī atbilde der leņķim pī dalīts ar 4,

85
00:04:06,960 --> 00:04:08,540
tā der 45 grādu leņķim.

86
00:04:08,540 --> 00:04:11,560
Bet es varētu pieskaitīt 360 grādus

87
00:04:11,560 --> 00:04:13,130
jeb 2 pī radiānus,

88
00:04:13,130 --> 00:04:15,330
un arī tiem leņķiem derētu šī atbilde,

89
00:04:15,330 --> 00:04:18,870
jo es nonāktu tajā pašā
vienības riņķa vietā, vai ne?"

90
00:04:18,870 --> 00:04:19,960
Tev taisnība.

91
00:04:19,960 --> 00:04:23,350
Tātad sanāk, ka atbildē
var būt visi šie leņķi?

92
00:04:23,350 --> 00:04:25,290


93
00:04:25,290 --> 00:04:27,700
Jo ikvienam no šiem leņķiem sinuss būtu...

94
00:04:27,700 --> 00:04:29,720
Atliek tikai pieskaitīt vēl 360 grādus,

95
00:04:29,720 --> 00:04:31,740
un katra šāda leņķa sinuss būtu

96
00:04:31,740 --> 00:04:33,540
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

97
00:04:33,540 --> 00:04:34,370
Rodas problēma.

98
00:04:34,370 --> 00:04:37,070
Nepastāv funkcija –

99
00:04:37,070 --> 00:04:40,340
nepastāv funkcija f no x,

100
00:04:40,340 --> 00:04:42,230
kur x atbilst vairākām vērtībām,

101
00:04:42,230 --> 00:04:47,490
kur tas atbilst pī dalīts ar 4,
pī dalīts ar 4 plus 2 pī,

102
00:04:47,490 --> 00:04:52,280
pī dalīts ar 4 plus 4 pī.

103
00:04:52,280 --> 00:04:55,320
Lai funkcija būtu patiesa,

104
00:04:55,320 --> 00:04:57,880
lai šī inversā sinusa funkcija
būtu patiesa,

105
00:04:57,880 --> 00:05:00,340
mums jāierobežo
funkcijas vērtību apgabals.

106
00:05:00,340 --> 00:05:02,660
Ierobežosim to visdabiskākajā veidā.

107
00:05:02,660 --> 00:05:04,710


108
00:05:04,710 --> 00:05:06,990
Ierobežosim tātad
funkcijas vērtību apgabalu.

109
00:05:06,990 --> 00:05:09,870
Un maza atkāpīte – kāds ir
šīs funkcijas definīcijas apgabals?

110
00:05:09,870 --> 00:05:10,120


111
00:05:10,120 --> 00:05:13,160
Ja es nosaku kāda leņķa arksinusu –

112
00:05:13,160 --> 00:05:18,320
ja es nosaku kāda leņķa arksinusu
un saku, ka tas ir vienāds ar tētu,

113
00:05:18,320 --> 00:05:21,900
kāds būs šīs funkcijas
definīcijas apgabals?

114
00:05:21,900 --> 00:05:24,502
Kādas ir iespējamās x vērtības?

115
00:05:24,502 --> 00:05:27,310
Ar ko var būt vienāds x?

116
00:05:27,310 --> 00:05:30,770
Jebkuram leņķim

117
00:05:30,770 --> 00:05:33,840
sinusa iespējamās vērtības
ir starp 1 un mīnus 1, vai ne?

118
00:05:33,840 --> 00:05:37,680
Tātad x būs lielāks vai vienāds ar mīnus 1

119
00:05:37,680 --> 00:05:39,310
un mazāks vai vienāds ar 1.

120
00:05:39,310 --> 00:05:41,570
Tas ir funkcijas definīcijas apgabals.

121
00:05:41,570 --> 00:05:43,700
Tālāk, lai šī funkcija būtu patiesa,

122
00:05:43,700 --> 00:05:45,180
jāierobežo tās vērtību apgabals

123
00:05:45,180 --> 00:05:46,390
jeb iespējamās vērtības.

124
00:05:46,390 --> 00:05:47,790
Jāierobežo vērtību apgabals.

125
00:05:47,790 --> 00:05:51,660
Par arksinusa vērtību apgabalu
pieņem pirmo un ceturto kvadrantu,

126
00:05:51,660 --> 00:05:52,630


127
00:05:52,630 --> 00:05:55,240
tātad iespējamie leņķi

128
00:05:55,240 --> 00:05:58,750
atrodas šajā vienības riņķa daļā –

129
00:05:58,750 --> 00:06:03,840
tēta ir mazāka vai vienāda
ar pī dalīts ar 2

130
00:06:03,840 --> 00:06:11,180
un lielāka vai vienāda
ar mīnus pī dalīts ar 2.

131
00:06:11,180 --> 00:06:14,150
Ņemot šo vērā, mēs tagad saprotam,
kas ir arksinuss.

132
00:06:14,150 --> 00:06:17,110
Atrisināsim vēl vienu uzdevumu.

133
00:06:17,110 --> 00:06:20,280
Atradīsim brīvu vietu pierakstiem
un atrisināsim vēl vienu arksinusu.

134
00:06:20,280 --> 00:06:21,430


135
00:06:21,430 --> 00:06:30,450
Es varētu pajautāt, piemēram,
cik ir arksinuss –
cik ir arksinuss

136
00:06:30,450 --> 00:06:32,390
no mīnus kvadrātsaknes no 3
dalīts ar 2.

137
00:06:36,480 --> 00:06:38,490
Varbūt tu jau zini no galvas,

138
00:06:38,490 --> 00:06:41,720
ka sinuss no x vai sinuss no tētas
ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

139
00:06:41,720 --> 00:06:41,970


140
00:06:41,970 --> 00:06:42,220


141
00:06:42,220 --> 00:06:44,730
Bet es to nezinu no galvas,

142
00:06:44,730 --> 00:06:46,990
tāpēc uzzīmēšu vienības riņķi.

143
00:06:46,990 --> 00:06:48,480
Ja runa ir par arksinusu,

144
00:06:48,480 --> 00:06:53,550
pietiek uzzīmēt tikai pirmo
un ceturto vienības riņķa kvadrantu.

145
00:06:53,550 --> 00:06:54,810
Lūk, y ass,

146
00:06:54,810 --> 00:06:56,890
un te – x ass.

147
00:06:56,890 --> 00:06:59,690
Atzīmējam x un y.

148
00:06:59,690 --> 00:07:01,300
Tātad – ko mēs zinām?

149
00:07:01,300 --> 00:07:04,360
Ja leņķa sinuss ir
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2,

150
00:07:04,360 --> 00:07:06,933
tas nozīmē, ka y koordināta
uz vienības riņķa līnijas

151
00:07:06,933 --> 00:07:09,320
ir mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

152
00:07:09,320 --> 00:07:15,020
Tas būs aptuveni –
tas būs aptuveni šeit.

153
00:07:15,020 --> 00:07:18,800
Tātad te būs
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

154
00:07:18,800 --> 00:07:20,440
Tik tālu mēs būtu tikuši.

155
00:07:20,440 --> 00:07:24,160
Kādam leņķim atbilst šī vērtība?

156
00:07:24,160 --> 00:07:26,090
Padomāsim.

157
00:07:26,090 --> 00:07:31,600
Mūsu y koordināta ir
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

158
00:07:31,600 --> 00:07:33,460
Lūk, arī leņķis.

159
00:07:33,460 --> 00:07:36,110
Tas būs negatīvs leņķis,

160
00:07:36,110 --> 00:07:39,130
jo tas ir zem x ass,
pulksteņrādītāja virzienā.

161
00:07:39,130 --> 00:07:44,240
Lai šo atrisinātu, uzzīmēsim trijstūrīti –

162
00:07:44,240 --> 00:07:45,520
atradīšu labāku krāsu –

163
00:07:45,520 --> 00:07:48,040
lūk, trijstūris.

164
00:07:48,040 --> 00:07:52,740
Zīmēšu ar zilu.

165
00:07:52,740 --> 00:07:55,568
Uzzīmēsim šeit
šo trijstūri lielākā izmērā – šādi.

166
00:07:55,568 --> 00:07:56,210


167
00:07:56,210 --> 00:07:57,950
Te ir tēta.

168
00:07:57,950 --> 00:07:58,530


169
00:07:58,530 --> 00:08:00,660
Un kāds būs šīs malas garums?

170
00:08:00,660 --> 00:08:03,120
Tas atbilst y augstumam,
ja varam to tā nosaukt,

171
00:08:03,120 --> 00:08:03,890


172
00:08:03,890 --> 00:08:06,020
un tas ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

173
00:08:06,020 --> 00:08:08,600
Zem x ass tas ir ar mīnus zīmi,
bet pagaidām izrēķināsim leņķi.

174
00:08:08,600 --> 00:08:08,850


175
00:08:08,850 --> 00:08:11,960
Mēs zinām, ka tas būs negatīvs.

176
00:08:11,960 --> 00:08:14,540
Ceru, ka, redzot kvadrātsakni no 3
dalīts ar 2,

177
00:08:14,540 --> 00:08:16,870
tu atpazīsti trijstūri
ar 30,60,90 grādu leņķiem.

178
00:08:16,870 --> 00:08:19,700
Šī mala ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2,
tā ir 1/2,

179
00:08:19,700 --> 00:08:19,950


180
00:08:19,950 --> 00:08:21,250
un šī mala, protams, ir 1,

181
00:08:21,250 --> 00:08:22,880
jo šis ir vienības riņķis

182
00:08:22,880 --> 00:08:24,630
un tā rādiuss ir 1.

183
00:08:24,630 --> 00:08:26,515
Trijstūrī ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem

184
00:08:26,515 --> 00:08:30,500
kvadrātsaknei no 3 dalīts ar 2
pretī atrodas 60 grādu leņķis.

185
00:08:30,500 --> 00:08:32,610
Un šeit ir 30 grādu leņķis.

186
00:08:32,610 --> 00:08:35,140
Tātad mūsu tētas lielums ir 60 grādi.

187
00:08:35,140 --> 00:08:36,100


188
00:08:36,100 --> 00:08:37,325
Taču tas ir lejupvērsts,

189
00:08:37,325 --> 00:08:39,970
tāpēc tie būs mīnus 60 grādi.

190
00:08:39,970 --> 00:08:43,180
Tātad leņķis tēta ir mīnu 60 grādi.

191
00:08:43,180 --> 00:08:44,630
Bet grādi mums vēl jāpārvērš radiānos –

192
00:08:44,630 --> 00:08:45,210


193
00:08:45,210 --> 00:08:52,350
jāsareizina šis ar 180 –
atvaino, kļūdījos –

194
00:08:52,350 --> 00:08:54,540
ar pī radiāniem uz katriem 180 grādiem.

195
00:08:54,540 --> 00:08:56,070
Grādus varam noīsināt,

196
00:08:56,070 --> 00:08:59,500
un rezultātā iegūstam,

197
00:08:59,500 --> 00:09:04,090
ka tēta ir vienāda
ar mīnus pī dalīts ar 3 radiāniem.

198
00:09:04,090 --> 00:09:10,630
Tātad tagad varam apgalvot,

199
00:09:10,630 --> 00:09:16,780
ka arksinuss
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2

200
00:09:16,780 --> 00:09:19,980
ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 3 radiāniem.

201
00:09:19,980 --> 00:09:24,680
Varam arī teikt, ka inversais sinuss
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2

202
00:09:24,680 --> 00:09:30,840
ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 3 radiāniem.

203
00:09:30,840 --> 00:09:34,290
Lai pārliecinātos, ka atbilde ir pareiza,
ņemsim talkā kalkulatoru.

204
00:09:34,290 --> 00:09:35,310


205
00:09:35,310 --> 00:09:38,200
Esmu jau iestatījis radiānus.

206
00:09:38,200 --> 00:09:39,370


207
00:09:39,370 --> 00:09:41,060


208
00:09:41,060 --> 00:09:43,040


209
00:09:43,040 --> 00:09:45,490


210
00:09:45,490 --> 00:09:47,840


211
00:09:47,840 --> 00:09:51,610


212
00:09:51,610 --> 00:09:59,790


213
00:09:59,790 --> 00:10:03,800


214
00:10:03,800 --> 00:10:11,040


215
00:10:11,040 --> 00:10:13,970


216
00:10:13,970 --> 00:10:16,030


217
00:10:16,030 --> 00:10:25,180


218
00:10:25,180 --> 00:10:26,670


219
00:10:26,670 --> 00:10:28,710


220
00:10:28,710 --> 00:10:31,240


221
00:10:31,240 --> 00:10:34,520