...
אם הייתי פוגש אותך ברחוב ואומר לך:
בבקשה ספר לי -- לא רציתי לכתוב את זה כל כך עבה--
בבקשה ספר לי מה הסינוס של פאי חלקי 4.
וכמובן אנחנו מניחים שאנו מתעסקים ברדיאנים.
או ששיננת את זה או שתצייר את
מעגל היחידה כאן.
זה לא מעגל יחידה כל כך יפה,
אבל אתה מבין את הרעיון.
אתה תלך לפאי חלקי 4 ברדיאנים, שזה.
אותו דבר כמו 45 מעלות.
אתה תצייר את רדיוס היחידה.
והסינוס יהיה מוגדר כערך הY
על מעגל היחידה.
אז אתה רק תרצה לדעת את הערך הזה כאן.
ומיד תאמר אוקיי.
זה 45 מעלות.
תן לי לצייר את המשולש קצת יותר גדול.
המשלוש נראה כך.
זה 45 .
זה 45.
זה 90.
ואתה יכול לפתור משולש 45 45 90.
היתר הוא 1.
זה x.
הם הולכים להיות באותו הערך.
זה משולש שווה שוקיים, נכון?
זוויות הבסיס שלו שוות.
אז אתה אומר: x בריבוע ועוד x בריבוע שווה ל 1
בריבוע, שזה בעצם 1.
שני x בריבוע שווה ל 1.
x בריבוע שווה ל 1/2.
x שווה לשורש הריבוע של 1/2, שזה 1 חלקי
השורש הריבועי של 2.
אני יכול להפוך את זה לצורה ראציונלית על ידי כפילה ב
שורש ריבועי של 2 חלקי שורש ריבועי של 2.
אני מכפיל זאת בשורש 2 חלקי שורש 2,
ואני מקבל ש x שווה לשורש ריבועי של 2 חלקי 2.
אז הגובה כאן הוא שורש ריבועי של 2 חלקי 2.
ואם רצית לדעת גם את המרחק, זה יהיה
אותו הדבר.
אבל לנו אכפת רק מהגובה.
כי הסינוס, הסינוס של זה, יהיה רק
הגובה כאן.
ערך הy.
ואנחנו קיבלנו שזה שורש 2 חלקי 2.
כל זה היה רק סקירה.
למדנו את זה בסרטון על מעגל היחידה.
אבל מה אם מישהו אחר -- בואו נגיד שביום אחר, אני
פוגש אותך ואומר לך: בבקשה אמור לי מהו ה
arcsine (ארק סינוס) של שורש 2 חלקי 2.
מהו הארק סינוס?
ואתה מבולבל.
אתה אומר לעצמך: אני יודע מהו סינוס של זווית, אבל זו
איזו פונקציה טריגונומטרית חדשה שסאל המציא.
וכל מה שאתה צריך להבין הוא שכאשר שמים את המילה 'arc'
לפניו -- זה נקרא גם לעיתים
הפונקציה ההפוכה לסינוס.
זה היה יכול להיכתב גם כך: מהו
הסינוס ההפוך של שורש 2 חלקי 2?
כל מה שנשאל כאן הוא איזה סינוס של זווית
אני אצטרך לקחת על מנת שהתוצאה תהיה שורש 2 חלקי 2.
זה גם שואל לאיזו זווית אצטרך לעשות סינוס
על מנת לקבל שורש 2 חלקי 2.
אני יכול לשכתב כל אחת מההכרזות הללו על ידי לומר
שורש -- תן לי לעשות את זה
אני יכול לשכתב כל אחת מההכרזות הללו על ידי לומר: סינוס
של מה שווה ל שורש 2 חלקי 2.
וזו, אני חושב, היא שאלה הרבה יותר פשוטה
בשבילך לענות עליה.
סינוס של מה הוא שורש 2 חלקי 2?
טוב, אני הרגע הראיתי שסינוס של פאי חלקי 4 שווה ל
שורש 2 חלקי 2
אז, במקרה זה, אני יודע שסינוס של פאי חלקי 4 שווה
לשורש 2 חלקי 2.
אז סימן השאלה שלי שווה ל פאי חלקי 4.
או, יכולתי לכתוב את זה כ: הארקסינוס -- סליחה
הארקסינוס של שורש 2 חלקי 2 שווה ל פאי חלקי 4.
עכשיו אתה יכול לומר: רק כסקירה, אני נותן לך ערך
ואני אומר תן לי זוועת שנותנת, כאשר אני לוקח את ה
סינוס שלה, את הערך הזה.
אבל אתה אומר: "רגע, סאל!"
ראה.
תן לי רק לעבור לכאן.
אתה אומר: ראה, פאי חלקי 4 עבד.
45 מעלות עבדו.
אבל אני יכול פשוט להוסיף 360 מעלות או פשוט
להוסיף 2 פאי.
וכל אלו יעבדו גם מכיוון שהם מגיעים
לאותה נקודה על מעגל היחידה, נכון?
ואתה תהיה צודק.
וכל הערכים הללו, אתה תחשוב, יהיו תשובות
נכונות לזה, נכון?
מכיוון שאם אתה לוקח את הסינוס של כל אחת מהזוויות הללו, אתה תוכל
פשוט להמשיך להוסיף 360 מעלות.
אם תיקח את הסינוס של כל אחת מהן, אתה תקבל
שורש 2 חלקי 2.
וזו בעיה.
לא יכולה להיות פונקציה שאם אני לוקח את הפונקציה...
לא יכולה להיות פונקציה, f של x, שמראה
מספר ערכים, נכון?
שמראה פאי חלקי 4, או שמראה פאי חלקי 4 ועוד 2
פאי, או פאי חלקי 4 ועוד 4*פאי.
אז בשביל שהפונקציה תהיה ברת תוקף -- בשביל ש
הפונקציה סינוס הפוך תהיה קבילה, אני חייב
להגביל את הטווח שלה.
והדרך שבה -- אנחנו פשוט נגביל אאת הטווח שלה
למקום הכי טבעי.
אז בואו נגביל את הטווח שלה.
למען האמת, רק כהערת שוליים, מהו
תחום ההגדרה של הפונקציה?
אז אם אני לוקח את הארקסינוס של משהו.
אז אם אני לוקח את הארקסינוס של x, ואני אומר שזה
שווה לתטה, מה תחום ההגדרה שלה?
מה הם ערכים ברי תוקף עבור x?
x יכול להיות שווה למה?
אם אני לוקח סינוס של כל זווית, אני יכול לקבל רק
ערכים בין 1 ל 1- , נכון?
אז x יהיה גדול או שווה ל 1- וגם
קטן או שווה ל 1.
זה תחום ההגדרה.
כעת, בשביל לגרום לפונקציה להיות תקפה, אני צריך
להגביל את הטווח שלה.
את הערכים האפשריים.
אני צריך להגביל את הטווח.
בשביל ארקסינוס, מקובל להגביל את הטווח ל
רבעים הראשון והרביעי.
להגביל את הזוויות האפשריות לשטח הזה
במעגל היחידה.
אז תטה מוגבלת להיות קטנה או שווה ל פאי חלקי
2, וגדולה או שווה ל מינוס פאי חלקי 2.
כעת, אנו מבינים מהו ארקסינוס.
בואו נפתור עוד תרגיל.
אני אפנה כאן קצת מקום.
תן לי לעשות עוד ארקסינוס.
אז בואו נאמר שאשאל אותך מהו הארקסינוס של
מינוס שורש 3 חלקי 2.
יכול להיות ששיננת את זה.
ותאמר, אני מיד יודע שסינוס x, או סינוס
של תטה שווה ל שורש 3 חלקי 2.
ואתה תסיים כאן.
אבל אני לא שיננתי את זה.
אז תן לי רק לצייר את מעגל היחידה.
וכאשר אני מתעסק עם ארקסינוס, אני צריך לצייר רק את
הרבעים הראשון והרביעי במעגל היחידה.
זה ציר הy.
זה ציר הx.
x ו y
ואיפה אני?
אם סינוס של משהו הוא מינוס שורש 3 חלקי 2,
זה אומר שערך הy על מעגל היחידה הוא
מינוס שורש 3 חלקי 2.
אז זה אומר שאנחנו בערך כאן.
אז זה מינוס שורש 3 חלקי 2.
אנחנו כאן.
כעת, איזו זווית נותנת לי את זה?
בוא נחשוב על זה קצת.
ערך הy שלי הוא מינוס שורש 3 חלקי 2.
זו הזווית.
זו הולכת להיות זווית שלילית כי אנחנו נמצאים
מתחת לציר הx בכיוון השעון.
ובשביל להבין -- תן לי רק לצייר כאן משולש קטן.
אני אבחר צבע יותר טוב מזה.
זה משולש.
אני אעשה אותו בצבע כחול.
אני אגדיל את המשולש
ככה.
זו תטה.
ומה האורך הזה כאן?
טוב, זה אותו דבר כמו גובה הy, אני מניח
שנוכל להבין את זה.
שהוא שורש 3 חלקי 2.
זה מינוס מכיוון שאנחנו הולכים למטה.
אבל בואו נגלה את הזווית הזו.
אנחנו יודעים שזו זווית שלילית.
אז כשאתם רואים שורש 3 חלקי 2, בתקווה אתם
מזהים שזהו משולש 30 60 90.
השורש 3 חלקי 2.
הבסיס הזה הוא 1/2.
וזה, כמובן, 1.
מכיוון שזהו מעגל היחידה.
אז הרדיוס הוא 1.
אז במשולש 30 60 90, הזווית שממול
לשורש שלוש חלקי 2 היא 60 מעלות.
הזווית כאן היא 30 מעלות.
אז אנחנו יודעים שהתטה שלנו -- זה 60 מעלות.
זה הגודל שלה.
אבל זה הולך למטה.
אז זה מינוס 60 מעלות.
אז תטה שווה ל מינוס 60 מעלות.
אבל אם אנחנו ברדיאנים, זה
לא מספיק טוב.
אנחנו יכולים להכפיל את זה ב100, סליחה, ב פאי רדיאנים
עבור כל 180 מעלות.
המעלות מצטמצמות.
ומה שנשאר לנו הוא שתטה שווה ל מינוס
פאי חלקי 3 רדיאנים.
אז אנו יכולים לומר -- אנו יכולים לומר את הטענה ש
הארקסינוס של מינוס שורש 3 חלקי 2 שווה ל
מינוס פאי חלקי 3 רדיאנים.
יכולנו לומר גם שהסינוס ההפוך של מינוס שורש
3 חלקי 2 הוא מינוס פאי חלקי 3 רדיאנים.
וכדי לוודא זאת.. אני אקח
מחשבון.
אני כבר שם את זה ברדיאנים.
אתם יכולים לבדוק זאת.
(נמצא זאת בשנייה)
אני מכוון על רדיאנים.
אז אני יודע שאני הולך לקבל, בתקווה, את התשובה הנכונה.
ואני רוצה לברר את הסינוס ההפוך.
אז הסינוס ההפוך...
של מינוס שורש 3 חלקי 2
שווה ל מינוס 1.04 .
אז זה אומר לי שזה שווה למינוס 1.04 רדיאנים.
אז פאי חלקי 3 כנראה שווה ל 1.04 .
בואו נראה אם אוכל לאשר זאת.
אז אם אכתוב מינוס פאי חלקי 3, מה אקבל?
אני מקבל בדיוק את אותו הערך.
אז המחשבון שלי נתן לי בדיוק את אותו הערך, אבל זה
לא כל כך עזר, כי המחשבון שלי לא
אמר לי שזה שווה ל פאי חלקי 3.
...