WEBVTT

00:00:00.340 --> 00:00:04.000
Hvis jeg kommer hen til dig
på gaden og siger fortæl mig

00:00:04.000 --> 00:00:07.200
-- det skal vist ikke være så tykt --

00:00:07.200 --> 00:00:11.710
hvad er sin(π/4)?

00:00:11.710 --> 00:00:14.950
Naturligvis antager vi,
at vi snakker om radianer.

00:00:14.950 --> 00:00:19.590
Du ved allerede, hvad svaret er,
eller du kan tegne en enhedscirkel.

00:00:19.590 --> 00:00:21.590
Det er måske ikke den pæneste enhedscirkel

00:00:21.590 --> 00:00:23.080
men du kan se, hvad jeg mener.

00:00:23.080 --> 00:00:26.620
Du finder π/4 radianer,

00:00:26.620 --> 00:00:29.760
som er det samme som 45 grader.

00:00:29.760 --> 00:00:31.840
Du kan tegne retningspunktet.

00:00:31.840 --> 00:00:36.250
Sinus er defineret som
y-koordinaten på enhedscirklen.

00:00:36.250 --> 00:00:38.910
Så du skal finde denne værdi.

00:00:38.910 --> 00:00:40.210
Du svarer med det samme,

00:00:40.210 --> 00:00:42.630
okay, det er 45 grader.

00:00:42.630 --> 00:00:45.530
Lad mig tegne trekanten en smule større.

00:00:45.530 --> 00:00:47.530
Trekanten ser således ud.

00:00:47.530 --> 00:00:49.210
Dette er 45.

00:00:49.210 --> 00:00:50.900
Dette er 45 grader.

00:00:50.900 --> 00:00:53.790
Dette er 90.

00:00:53.790 --> 00:00:57.330
Du kan løse for en 45 45 90 trekant.

00:00:57.330 --> 00:00:59.040
Hypotenusen er 1.

00:00:59.040 --> 00:00:59.920
Dette er x.

00:00:59.920 --> 00:01:00.640
Dette er x.

00:01:00.640 --> 00:01:01.930
De har den samme værdi.

00:01:01.930 --> 00:01:04.920
Dette er en ligebenet trekant.

00:01:04.920 --> 00:01:06.960
Disse to grundvinkler er ens.

00:01:06.960 --> 00:01:12.960
Du får x² + x² er lig 1²,
som jo blot er 1.

00:01:12.960 --> 00:01:15.200
2x² = 1.

00:01:15.200 --> 00:01:17.440
x² = 1/2.

00:01:17.440 --> 00:01:20.310
x er lig kvadratroden af 1/2,

00:01:20.310 --> 00:01:22.780
som er 1 over kvadratroden af 2.

00:01:22.780 --> 00:01:31.230
Jeg kan omskrive det ved at gange med
√2 / √2.

00:01:31.230 --> 00:01:34.950
Så får jeg x er lig
√2 / 2.

00:01:34.950 --> 00:01:38.770
Højden er √2 / 2.

00:01:38.770 --> 00:01:41.710
Hvis du vil finde denne afstand,
så er den det samme.

00:01:41.710 --> 00:01:43.140
Men vi skal blot finde højden.

00:01:43.140 --> 00:01:49.180
Da sinus til dette blot svarer til højden,
altså y-koordinaten.

00:01:49.180 --> 00:01:52.890
Vi fik √2 / 2.

00:01:52.890 --> 00:01:53.990
Dette er en gennemgang.

00:01:53.990 --> 00:02:00.210
VI har lært dette i en
video om enhedscirklen.

00:02:00.210 --> 00:02:07.980
En anden dag kommer jeg hen
til dig og siger fortæl mig

00:02:07.980 --> 00:02:14.820
hvad er arcsin til
√2 / 2?

00:02:14.820 --> 00:02:16.190
Hvad er arcsin?

00:02:16.190 --> 00:02:16.970
Du er overrasket

00:02:16.970 --> 00:02:19.240
Du tænker, jeg ved,
hvad sinus til en vinkel er,

00:02:19.240 --> 00:02:24.480
men dette er en ny trigonometrisk funktion
som Sal har fundet på.

00:02:24.480 --> 00:02:28.320
Alt hvad du behøver at vide er,
når der står arc foran sin,

00:02:28.320 --> 00:02:30.810
som også nogle gange
hedder den inverse sinus

00:02:30.810 --> 00:02:33.960
-- der kunne lige så godt have stået

00:02:33.960 --> 00:02:38.420
den inverse sinus til
√2 / 2 --

00:02:38.420 --> 00:02:42.900
er at dette betyder,
hvilken vinkel skal jeg

00:02:42.900 --> 00:02:48.310
finde sinusværdien til og få
√2 / 2.

00:02:48.310 --> 00:02:54.610
Det siger, hvilken vinkel har sinusværdien
√2 / 2?

00:02:54.610 --> 00:03:05.535
Jeg kan omskrive begge disse udsagn som

00:03:05.535 --> 00:03:11.200
sinus til hvilken vinkel er lig
√2 / 2.

00:03:11.200 --> 00:03:15.820
Og jeg tror, at dette er
nemmere for dig at svare på.

00:03:15.820 --> 00:03:18.400
Sinus til hvilken vinkel er
√2 / 2?

00:03:18.400 --> 00:03:24.080
Vi har jo lige set, at sinus til π/4
er √2 / 2.

00:03:24.080 --> 00:03:30.630
Så jeg ved, at sinus til π/4 er lig
√2 / 2.

00:03:30.630 --> 00:03:35.760
Mit spørgsmålstegn er lig π/4.

00:03:35.760 --> 00:03:51.940
Jeg kan omskrive dette til arcsin til
√2 / 2 er lig π/4.

00:03:51.940 --> 00:03:58.120
Jeg giver dig en værdi og 
beder dig angive den vinkel,

00:03:58.120 --> 00:04:01.490
som sinus til giver denne værdi.

00:04:01.490 --> 00:04:03.780
Hvortil du siger øh Sal,

00:04:03.780 --> 00:04:05.120
-- lad mig lige gå herhen --

00:04:05.120 --> 00:04:08.540
π/2 passer eller 45 grader passer,

00:04:08.540 --> 00:04:13.220
men jeg kan blive ved med
at lægge 360 grader eller 2π til.

00:04:13.220 --> 00:04:18.870
Alle disse passer, da jeg jo kommer hen
til det samme punkt på enhedscirklen.

00:04:18.870 --> 00:04:19.960
Og du har ret.

00:04:19.960 --> 00:04:24.960
Alle disse værdier er svar på dette.

00:04:24.960 --> 00:04:28.490
Fordi når du tager sinus
til disse vinkler,

00:04:28.490 --> 00:04:31.720
hvor du har lagt 360 til flere gange,

00:04:31.740 --> 00:04:33.540
så får du √2 / 2.

00:04:33.540 --> 00:04:34.400
Det er et problem.

00:04:34.400 --> 00:04:41.940
Du kan ikke have en funktion,
hvor f(x) mapper til flere værdier.

00:04:41.940 --> 00:04:52.280
Hvis den mapper over i π/4 eller
π/4 + 2π eller π/4 + 4π.

00:04:52.280 --> 00:04:54.970
For at dette er en gyldig funktion,

00:04:54.970 --> 00:04:57.890
altså for at den inverse sinus
funktion kan defineres

00:04:57.890 --> 00:05:00.340
så bliver jeg nødt til at
begrænse dens værdimængde.

00:05:00.340 --> 00:05:06.753
Vi begrænser dens værdimængde
det mest naturlige sted.

00:05:06.753 --> 00:05:10.120
Hvad er dens definitionsmængde
begrænset til?

00:05:10.120 --> 00:05:19.970
Hvis jeg siger, at arcsin(x) = θ,

00:05:19.970 --> 00:05:21.920
hvad er definitionsmængden begrænset til?

00:05:21.920 --> 00:05:24.502
Hvad er de gyldige x-værdier?

00:05:24.502 --> 00:05:27.310
x kan være lig med?

00:05:27.310 --> 00:05:33.840
Hvis jeg tager sinus til en vinkel,
så kan jeg kun få værdier mellem 1 og -1.

00:05:33.840 --> 00:05:39.310
x skal være større end eller lig med -1
og mindre end eller lig 1.

00:05:39.310 --> 00:05:41.570
Det er definitionsmængden.

00:05:41.570 --> 00:05:43.930
For at gøre dette til en gyldig funktion,

00:05:43.930 --> 00:05:47.790
så bliver jeg nødt til
at begrænse dens værdimængde.

00:05:47.790 --> 00:05:52.630
For arcsin, siger konventionen, at den
skal begrænses til 1. og 4. kvadrant.

00:05:52.630 --> 00:05:58.750
Altså begrænse de mulige vinkler til
dette område langs enhedscirklen.

00:05:58.750 --> 00:06:01.850
θ er begrænset til at være

00:06:01.850 --> 00:06:11.180
mindre end eller lig med π/2
og større end eller lig med -π/2.

00:06:11.180 --> 00:06:14.150
Med det kan vi forstå, hvad arcsin er.

00:06:14.150 --> 00:06:17.110
Lad os lave endnu en opgave.

00:06:17.110 --> 00:06:20.280
-- jeg laver lige lidt plads --

00:06:20.280 --> 00:06:22.740
Lad os sige jeg spørger dig,

00:06:22.740 --> 00:06:36.380
hvad er arcsin til
-√3 / 2?

00:06:36.380 --> 00:06:38.050
Muligvis kan du huske det og siger,

00:06:38.050 --> 00:06:41.420
jeg ved hvilken sin(x) eller sin(θ),
der er √3 / 2.

00:06:41.420 --> 00:06:42.220
Og du er færdig.

00:06:42.220 --> 00:06:44.730
men jeg kan ikke huske det.

00:06:44.730 --> 00:06:46.990
så lad mig tegne en enhedscirkel.

00:06:46.990 --> 00:06:53.550
Når vi snakker arcsin, så behøver jeg kun
tegne 1. og 4. kvadrant af enhedscirklen.

00:06:53.550 --> 00:06:54.810
Dette er y-aksen.

00:06:54.810 --> 00:06:56.890
Dette er min x-akse.

00:06:56.890 --> 00:06:59.690
x og y.

00:06:59.690 --> 00:07:01.300
Hvor er jeg?

00:07:01.300 --> 00:07:04.360
Hvis sinus af noget er
-√3 / 2,

00:07:04.360 --> 00:07:06.035
så betyder det, at y-koordinaten på

00:07:06.035 --> 00:07:09.320
enhedscirklen er
-√3 / 2.

00:07:09.320 --> 00:07:15.020
Det betyder vi er cirka her.

00:07:15.020 --> 00:07:18.800
Dette er -√3 / 2.

00:07:18.800 --> 00:07:20.440
Vi er lige her.

00:07:20.440 --> 00:07:24.160
Hvilken vinkel er det?

00:07:24.160 --> 00:07:26.090
Lad os se lidt på det.

00:07:26.090 --> 00:07:31.600
Min y-koordinat er
-√3 / 2.

00:07:31.600 --> 00:07:33.460
Dette er vinklen.

00:07:33.460 --> 00:07:39.130
Det bliver en negativ vinkel,
fordi vi går under x-aksen med uret.

00:07:39.130 --> 00:07:43.800
-- lad mig lige lave en trekant --

00:07:43.800 --> 00:07:45.520
-- jeg vælger lige en anden farve --

00:07:45.520 --> 00:07:48.040
Dette er en trekant.

00:07:48.040 --> 00:07:52.740
-- lad mig bruge denne farve --

00:07:52.740 --> 00:07:55.910
Jeg forstørrer den.

00:07:55.910 --> 00:07:58.420
Dette er θ.

00:07:58.420 --> 00:08:00.660
Hvad er denne længde?

00:08:00.660 --> 00:08:06.010
Det er det samme som y-højden,
som er √3 / 2.

00:08:06.010 --> 00:08:07.580
Det er minus, fordi vi går nedad.

00:08:07.580 --> 00:08:08.870
Vi skal finde denne vinkel.

00:08:08.870 --> 00:08:11.960
Vi ved, det er en negativ vinkel.

00:08:11.960 --> 00:08:14.030
Når du ser √3 / 2

00:08:14.030 --> 00:08:16.850
så tænker du forhåbentlig på en
30 60 90 trekant.

00:08:16.850 --> 00:08:18.040
√3 / 2.

00:08:18.040 --> 00:08:19.950
Denne side er 1/2.

00:08:19.950 --> 00:08:23.200
Denne side er naturligvis 1,
da det er en enhedscirkel.

00:08:23.200 --> 00:08:24.630
Radius er 1.

00:08:24.630 --> 00:08:26.345
I en 30 60 90 trekant er

00:08:26.345 --> 00:08:30.500
vinklen over for side på
√3 / 2 lig 60 grader.

00:08:30.500 --> 00:08:32.610
Denne vinkel her er 30 grader.

00:08:32.610 --> 00:08:35.140
Vi ved, at θ er 60 grader.

00:08:35.140 --> 00:08:36.190
Det er dens størrelse,

00:08:36.190 --> 00:08:39.970
men den går nedad,
så den er -60 grader.

00:08:39.970 --> 00:08:43.180
θ er lig -60 grader.

00:08:43.180 --> 00:08:45.470
Hvis vi bruger radianer,
så er det ikke godt nok.

00:08:45.470 --> 00:08:54.480
Vi skal gange med
π radianer for hver 180 grader.

00:08:54.540 --> 00:08:56.070
Graderne går ud med hinanden.

00:08:56.070 --> 00:09:04.090
Tilbage har vi at θ er lig -π/3 radianer.

00:09:04.090 --> 00:09:16.210
Vi kan nu sige, at arcsin til
-√3 / 2

00:09:16.210 --> 00:09:19.980
er lig -π/3 radianer.

00:09:19.980 --> 00:09:26.060
Eller vi kan sige, at den inverse sinus
til -√3 / 2

00:09:26.060 --> 00:09:30.840
er lig -π/3 radianer.

00:09:30.840 --> 00:09:35.310
Lad os bekræfte dette med en lommeregner.

00:09:35.310 --> 00:09:38.200
Jeg har allerede sat den til radianer.

00:09:38.200 --> 00:09:41.060
Det kan du tjekke her.
mode

00:09:41.060 --> 00:09:43.040
Jeg er i radianer.

00:09:43.040 --> 00:09:45.490
Nu får jeg forhåbentlig det rigtige svar.

00:09:45.490 --> 00:09:49.430
Jeg skal finde den inverse sinus

00:09:49.450 --> 00:09:51.610
-- så 2nd-knappen og sin knappen --

00:09:51.610 --> 00:09:59.790
til -√3 / 2.

00:09:59.790 --> 00:10:03.800
Det er lig -1,04.

00:10:03.800 --> 00:10:11.040
Dette er altså lig -1,04 radianer.

00:10:11.040 --> 00:10:13.970
Derfor må π/3 var lig 1,04.

00:10:13.970 --> 00:10:16.030
Lad os se, om jeg kan bekræfte det.

00:10:16.030 --> 00:10:25.100
Når jeg skriver -π divideret med 3,
hvad får jeg så?

00:10:25.100 --> 00:10:26.610
Jeg får præcis den samme værdi.

00:10:26.610 --> 00:10:28.800
Min lommeregner gav mig
præcis den samme værdi.

00:10:28.800 --> 00:10:34.520
Men min lommeregner fortæller
mig ikke, at dette er -π/3.