0:00:00.340,0:00:04.000
Hvis jeg kommer hen til dig[br]på gaden og siger fortæl mig

0:00:04.000,0:00:07.200
-- det skal vist ikke være så tykt --

0:00:07.200,0:00:11.710
hvad er sin(π/4)?

0:00:11.710,0:00:14.950
Naturligvis antager vi,[br]at vi snakker om radianer.

0:00:14.950,0:00:19.590
Du ved allerede, hvad svaret er,[br]eller du kan tegne en enhedscirkel.

0:00:19.590,0:00:21.590
Det er måske ikke den pæneste enhedscirkel

0:00:21.590,0:00:23.080
men du kan se, hvad jeg mener.

0:00:23.080,0:00:26.620
Du finder π/4 radianer,

0:00:26.620,0:00:29.760
som er det samme som 45 grader.

0:00:29.760,0:00:31.840
Du kan tegne retningspunktet.

0:00:31.840,0:00:36.250
Sinus er defineret som[br]y-koordinaten på enhedscirklen.

0:00:36.250,0:00:38.910
Så du skal finde denne værdi.

0:00:38.910,0:00:40.210
Du svarer med det samme,

0:00:40.210,0:00:42.630
okay, det er 45 grader.

0:00:42.630,0:00:45.530
Lad mig tegne trekanten en smule større.

0:00:45.530,0:00:47.530
Trekanten ser således ud.

0:00:47.530,0:00:49.210
Dette er 45.

0:00:49.210,0:00:50.900
Dette er 45 grader.

0:00:50.900,0:00:53.790
Dette er 90.

0:00:53.790,0:00:57.330
Du kan løse for en 45 45 90 trekant.

0:00:57.330,0:00:59.040
Hypotenusen er 1.

0:00:59.040,0:00:59.920
Dette er x.

0:00:59.920,0:01:00.640
Dette er x.

0:01:00.640,0:01:01.930
De har den samme værdi.

0:01:01.930,0:01:04.920
Dette er en ligebenet trekant.

0:01:04.920,0:01:06.960
Disse to grundvinkler er ens.

0:01:06.960,0:01:12.960
Du får x² + x² er lig 1²,[br]som jo blot er 1.

0:01:12.960,0:01:15.200
2x² = 1.

0:01:15.200,0:01:17.440
x² = 1/2.

0:01:17.440,0:01:20.310
x er lig kvadratroden af 1/2,

0:01:20.310,0:01:22.780
som er 1 over kvadratroden af 2.

0:01:22.780,0:01:31.230
Jeg kan omskrive det ved at gange med[br]√2 / √2.

0:01:31.230,0:01:34.950
Så får jeg x er lig[br]√2 / 2.

0:01:34.950,0:01:38.770
Højden er √2 / 2.

0:01:38.770,0:01:41.710
Hvis du vil finde denne afstand,[br]så er den det samme.

0:01:41.710,0:01:43.140
Men vi skal blot finde højden.

0:01:43.140,0:01:49.180
Da sinus til dette blot svarer til højden,[br]altså y-koordinaten.

0:01:49.180,0:01:52.890
Vi fik √2 / 2.

0:01:52.890,0:01:53.990
Dette er en gennemgang.

0:01:53.990,0:02:00.210
VI har lært dette i en[br]video om enhedscirklen.

0:02:00.210,0:02:07.980
En anden dag kommer jeg hen[br]til dig og siger fortæl mig

0:02:07.980,0:02:14.820
hvad er arcsin til[br]√2 / 2?

0:02:14.820,0:02:16.190
Hvad er arcsin?

0:02:16.190,0:02:16.970
Du er overrasket

0:02:16.970,0:02:19.240
Du tænker, jeg ved,[br]hvad sinus til en vinkel er,

0:02:19.240,0:02:24.480
men dette er en ny trigonometrisk funktion[br]som Sal har fundet på.

0:02:24.480,0:02:28.320
Alt hvad du behøver at vide er,[br]når der står arc foran sin,

0:02:28.320,0:02:30.810
som også nogle gange[br]hedder den inverse sinus

0:02:30.810,0:02:33.960
-- der kunne lige så godt have stået

0:02:33.960,0:02:38.420
den inverse sinus til[br]√2 / 2 --

0:02:38.420,0:02:42.900
er at dette betyder,[br]hvilken vinkel skal jeg

0:02:42.900,0:02:48.310
finde sinusværdien til og få[br]√2 / 2.

0:02:48.310,0:02:54.610
Det siger, hvilken vinkel har sinusværdien[br]√2 / 2?

0:02:54.610,0:03:05.535
Jeg kan omskrive begge disse udsagn som

0:03:05.535,0:03:11.200
sinus til hvilken vinkel er lig[br]√2 / 2.

0:03:11.200,0:03:15.820
Og jeg tror, at dette er[br]nemmere for dig at svare på.

0:03:15.820,0:03:18.400
Sinus til hvilken vinkel er[br]√2 / 2?

0:03:18.400,0:03:24.080
Vi har jo lige set, at sinus til π/4[br]er √2 / 2.

0:03:24.080,0:03:30.630
Så jeg ved, at sinus til π/4 er lig[br]√2 / 2.

0:03:30.630,0:03:35.760
Mit spørgsmålstegn er lig π/4.

0:03:35.760,0:03:51.940
Jeg kan omskrive dette til arcsin til[br]√2 / 2 er lig π/4.

0:03:51.940,0:03:58.120
Jeg giver dig en værdi og [br]beder dig angive den vinkel,

0:03:58.120,0:04:01.490
som sinus til giver denne værdi.

0:04:01.490,0:04:03.780
Hvortil du siger øh Sal,

0:04:03.780,0:04:05.120
-- lad mig lige gå herhen --

0:04:05.120,0:04:08.540
π/2 passer eller 45 grader passer,

0:04:08.540,0:04:13.220
men jeg kan blive ved med[br]at lægge 360 grader eller 2π til.

0:04:13.220,0:04:18.870
Alle disse passer, da jeg jo kommer hen[br]til det samme punkt på enhedscirklen.

0:04:18.870,0:04:19.960
Og du har ret.

0:04:19.960,0:04:24.960
Alle disse værdier er svar på dette.

0:04:24.960,0:04:28.490
Fordi når du tager sinus[br]til disse vinkler,

0:04:28.490,0:04:31.720
hvor du har lagt 360 til flere gange,

0:04:31.740,0:04:33.540
så får du √2 / 2.

0:04:33.540,0:04:34.400
Det er et problem.

0:04:34.400,0:04:41.940
Du kan ikke have en funktion,[br]hvor f(x) mapper til flere værdier.

0:04:41.940,0:04:52.280
Hvis den mapper over i π/4 eller[br]π/4 + 2π eller π/4 + 4π.

0:04:52.280,0:04:54.970
For at dette er en gyldig funktion,

0:04:54.970,0:04:57.890
altså for at den inverse sinus[br]funktion kan defineres

0:04:57.890,0:05:00.340
så bliver jeg nødt til at[br]begrænse dens værdimængde.

0:05:00.340,0:05:06.753
Vi begrænser dens værdimængde[br]det mest naturlige sted.

0:05:06.753,0:05:10.120
Hvad er dens definitionsmængde[br]begrænset til?

0:05:10.120,0:05:19.970
Hvis jeg siger, at arcsin(x) = θ,

0:05:19.970,0:05:21.920
hvad er definitionsmængden begrænset til?

0:05:21.920,0:05:24.502
Hvad er de gyldige x-værdier?

0:05:24.502,0:05:27.310
x kan være lig med?

0:05:27.310,0:05:33.840
Hvis jeg tager sinus til en vinkel,[br]så kan jeg kun få værdier mellem 1 og -1.

0:05:33.840,0:05:39.310
x skal være større end eller lig med -1[br]og mindre end eller lig 1.

0:05:39.310,0:05:41.570
Det er definitionsmængden.

0:05:41.570,0:05:43.930
For at gøre dette til en gyldig funktion,

0:05:43.930,0:05:47.790
så bliver jeg nødt til[br]at begrænse dens værdimængde.

0:05:47.790,0:05:52.630
For arcsin, siger konventionen, at den[br]skal begrænses til 1. og 4. kvadrant.

0:05:52.630,0:05:58.750
Altså begrænse de mulige vinkler til[br]dette område langs enhedscirklen.

0:05:58.750,0:06:01.850
θ er begrænset til at være

0:06:01.850,0:06:11.180
mindre end eller lig med π/2[br]og større end eller lig med -π/2.

0:06:11.180,0:06:14.150
Med det kan vi forstå, hvad arcsin er.

0:06:14.150,0:06:17.110
Lad os lave endnu en opgave.

0:06:17.110,0:06:20.280
-- jeg laver lige lidt plads --

0:06:20.280,0:06:22.740
Lad os sige jeg spørger dig,

0:06:22.740,0:06:36.380
hvad er arcsin til[br]-√3 / 2?

0:06:36.380,0:06:38.050
Muligvis kan du huske det og siger,

0:06:38.050,0:06:41.420
jeg ved hvilken sin(x) eller sin(θ),[br]der er √3 / 2.

0:06:41.420,0:06:42.220
Og du er færdig.

0:06:42.220,0:06:44.730
men jeg kan ikke huske det.

0:06:44.730,0:06:46.990
så lad mig tegne en enhedscirkel.

0:06:46.990,0:06:53.550
Når vi snakker arcsin, så behøver jeg kun[br]tegne 1. og 4. kvadrant af enhedscirklen.

0:06:53.550,0:06:54.810
Dette er y-aksen.

0:06:54.810,0:06:56.890
Dette er min x-akse.

0:06:56.890,0:06:59.690
x og y.

0:06:59.690,0:07:01.300
Hvor er jeg?

0:07:01.300,0:07:04.360
Hvis sinus af noget er[br]-√3 / 2,

0:07:04.360,0:07:06.035
så betyder det, at y-koordinaten på

0:07:06.035,0:07:09.320
enhedscirklen er[br]-√3 / 2.

0:07:09.320,0:07:15.020
Det betyder vi er cirka her.

0:07:15.020,0:07:18.800
Dette er -√3 / 2.

0:07:18.800,0:07:20.440
Vi er lige her.

0:07:20.440,0:07:24.160
Hvilken vinkel er det?

0:07:24.160,0:07:26.090
Lad os se lidt på det.

0:07:26.090,0:07:31.600
Min y-koordinat er[br]-√3 / 2.

0:07:31.600,0:07:33.460
Dette er vinklen.

0:07:33.460,0:07:39.130
Det bliver en negativ vinkel,[br]fordi vi går under x-aksen med uret.

0:07:39.130,0:07:43.800
-- lad mig lige lave en trekant --

0:07:43.800,0:07:45.520
-- jeg vælger lige en anden farve --

0:07:45.520,0:07:48.040
Dette er en trekant.

0:07:48.040,0:07:52.740
-- lad mig bruge denne farve --

0:07:52.740,0:07:55.910
Jeg forstørrer den.

0:07:55.910,0:07:58.420
Dette er θ.

0:07:58.420,0:08:00.660
Hvad er denne længde?

0:08:00.660,0:08:06.010
Det er det samme som y-højden,[br]som er √3 / 2.

0:08:06.010,0:08:07.580
Det er minus, fordi vi går nedad.

0:08:07.580,0:08:08.870
Vi skal finde denne vinkel.

0:08:08.870,0:08:11.960
Vi ved, det er en negativ vinkel.

0:08:11.960,0:08:14.030
Når du ser √3 / 2

0:08:14.030,0:08:16.850
så tænker du forhåbentlig på en[br]30 60 90 trekant.

0:08:16.850,0:08:18.040
√3 / 2.

0:08:18.040,0:08:19.950
Denne side er 1/2.

0:08:19.950,0:08:23.200
Denne side er naturligvis 1,[br]da det er en enhedscirkel.

0:08:23.200,0:08:24.630
Radius er 1.

0:08:24.630,0:08:26.345
I en 30 60 90 trekant er

0:08:26.345,0:08:30.500
vinklen over for side på[br]√3 / 2 lig 60 grader.

0:08:30.500,0:08:32.610
Denne vinkel her er 30 grader.

0:08:32.610,0:08:35.140
Vi ved, at θ er 60 grader.

0:08:35.140,0:08:36.190
Det er dens størrelse,

0:08:36.190,0:08:39.970
men den går nedad,[br]så den er -60 grader.

0:08:39.970,0:08:43.180
θ er lig -60 grader.

0:08:43.180,0:08:45.470
Hvis vi bruger radianer,[br]så er det ikke godt nok.

0:08:45.470,0:08:54.480
Vi skal gange med[br]π radianer for hver 180 grader.

0:08:54.540,0:08:56.070
Graderne går ud med hinanden.

0:08:56.070,0:09:04.090
Tilbage har vi at θ er lig -π/3 radianer.

0:09:04.090,0:09:16.210
Vi kan nu sige, at arcsin til[br]-√3 / 2

0:09:16.210,0:09:19.980
er lig -π/3 radianer.

0:09:19.980,0:09:26.060
Eller vi kan sige, at den inverse sinus[br]til -√3 / 2

0:09:26.060,0:09:30.840
er lig -π/3 radianer.

0:09:30.840,0:09:35.310
Lad os bekræfte dette med en lommeregner.

0:09:35.310,0:09:38.200
Jeg har allerede sat den til radianer.

0:09:38.200,0:09:41.060
Det kan du tjekke her.[br]mode

0:09:41.060,0:09:43.040
Jeg er i radianer.

0:09:43.040,0:09:45.490
Nu får jeg forhåbentlig det rigtige svar.

0:09:45.490,0:09:49.430
Jeg skal finde den inverse sinus

0:09:49.450,0:09:51.610
-- så 2nd-knappen og sin knappen --

0:09:51.610,0:09:59.790
til -√3 / 2.

0:09:59.790,0:10:03.800
Det er lig -1,04.

0:10:03.800,0:10:11.040
Dette er altså lig -1,04 radianer.

0:10:11.040,0:10:13.970
Derfor må π/3 var lig 1,04.

0:10:13.970,0:10:16.030
Lad os se, om jeg kan bekræfte det.

0:10:16.030,0:10:25.100
Når jeg skriver -π divideret med 3,[br]hvad får jeg så?

0:10:25.100,0:10:26.610
Jeg får præcis den samme værdi.

0:10:26.610,0:10:28.800
Min lommeregner gav mig[br]præcis den samme værdi.

0:10:28.800,0:10:34.520
Men min lommeregner fortæller[br]mig ikke, at dette er -π/3.