0:00:00.000,0:00:04.220
Trong bài trước chúng ta nói về đảo nghịch modulo và chúng ta nói rằng thuật toán của Euclid

0:00:04.220,0:00:08.238
sẽ cho chúng ta 1 cách hiệu quả để tìm ra nghịch đảo của một phần tử theo modulo N.

0:00:08.238,0:00:12.256
Trong phần này chúng ta sẽ tiếp tục tiến đến

0:00:12.256,0:00:15.866
thế kỉ 17 và 18 để nói về

0:00:15.866,0:00:19.986
Fermat và Euler (hâm mộ hai bác này quá ;). Trước khi làm việc đó thì tôi sẽ ôn lại cho các bạn một chút

0:00:19.986,0:00:24.257
những gì đã trình bày ở phần trước. Như mọi khi thì tôi kí hiệu N

0:00:24.257,0:00:28.427
là một giá trị nguyên dương có n bit.

0:00:28.427,0:00:32.445
Hay có thể nói N nằm giữa 2 mũ n và 2 mũ n+1. Ta cũng kí hiệu p

0:00:32.445,0:00:36.761
là một số nguyên tố nào đó. Bây giờ ta sẽ coi ZN như là một tập hợp số nguyên từ 0

0:00:36.761,0:00:41.370
tới N-1 và ta có thể sử dụng phép cộng và nhân modulo N.

0:00:41.370,0:00:46.186
Chúng ta cũng sử dụng ZN* là một tập các phần tử nghịch đảo của ZN và cũng đã chứng minh một bổ đề đơn giản

0:00:46.186,0:00:51.243
rằng X là khả nghịch khi và chỉ khi X

0:00:51.243,0:00:55.879
và N nguyên tố cùng nhau. Không chỉ có thế,ta cũng đã hoàn toàn hiểu được phần tử nào là khả nghịch

0:00:55.879,0:01:00.635
phần tử nào không.Ta cũng đã biết một thuật toán rất hiệu quả dựa trên

0:01:00.635,0:01:05.572
thuật toán Euclidean mở rộng để tìm nghịch đảo của một phần tử trong ZN.

0:01:05.572,0:01:10.388
thời gian chạy của thuật toán này chỉ xấp xỉ bình phương của n.

0:01:10.388,0:01:16.107
n số bit của số N.

0:01:16.107,0:01:21.037
Bây giờ chúng ta sẽ đi từ thời Hi Lạp tới thế kỷ 17

0:01:21.037,0:01:26.276
và nói về Ferma. Ferma là người đã tạo ra rất nhiều định lý quan trọng. Một trong số đó tôi muốn trình bày hôm nay sẽ như sau.

0:01:26.276,0:01:31.206
Giả sử tôi đưa cho các bạn số nguyên tố p. Lúc đó bất cứ

0:01:31.206,0:01:36.260
phần tử X nào thuộc tập ZP*,

0:01:36.260,0:01:41.130
nếu tôi tính X^(p-1) thì tôi sẽ được một phần tử thuộc ZP.

0:01:41.130,0:01:46.061
Một ví dụ như sau: P=5, nếu tôi lấy 3 mũ P - 1

0:01:46.061,0:01:50.645
3 mũ 4, kết quả là 81

0:01:50.645,0:01:55.286
và cũng bằng 1 theo modulo 5. phù hợp với định lý của Fermat

0:01:55.286,0:01:59.521
Một điều rất lý thú là Fermat không chứng minh định lý này

0:01:59.521,0:02:04.337
mà phải 100 năm sau mới có người chứng minh nó

0:02:04.337,0:02:09.122
hơn nữa anh ta lại chứng minh một định lý tổng quát hơn cả định lý gốc

0:02:09.122,0:02:14.154
Bây giờ ta sẽ xem thử một ứng dụng của định lý Fermat.

0:02:14.154,0:02:19.441
nhắc lại, p là một số nguyên tố

0:02:19.441,0:02:24.664
Ta biết được gì? Ta biết X ^ (p-1) = 1.

0:02:24.664,0:02:29.573
ta có thể viết, X nhân X mũ p trừ 2.

0:02:29.573,0:02:34.087
kết quả vẫn là một.

0:02:34.087,0:02:39.310
điều này chứng tỏ, X mũ p trừ 2 là nghịch đảo của X

0:02:39.310,0:02:44.042
đây lại là một thuật toán khác để tìm nghịch đảo của X khi modulo cho một số nguyên tố

0:02:44.042,0:02:48.835
đơn giản chỉ cần lấy X mũ p trừ 2, ta sẽ được nghịch đảo của X

0:02:48.835,0:02:53.508
đây là một cách tốt để tìm nghịch đảo với modulo một số nguyên tố

0:02:53.508,0:02:58.301
nhưng nó có hai nhược điểm so với thuật toán của Euclid.

0:02:58.301,0:03:02.528
Đầu tiên là nó chỉ hoạt động với modulo nguyên tố. Euclid thì khác, cũng làm việc với modulo là hợp số

0:03:02.528,0:03:07.017
thứ hai, thuật toán này ít hiệu quả hơn

0:03:07.017,0:03:10.911
khi ta nói về thuật toán tính lũy thừa theo modulo ở phần cuối của video

0:03:10.911,0:03:15.345
bạn sẽ thấy thời gian chạy của nó sẽ là lập phương chiều dài của p

0:03:15.345,0:03:19.792
hay cách khác là log của P lập phương

0:03:19.792,0:03:24.266
thuật toán của Euclid thì lại có thể tính

0:03:24.266,0:03:30.343
nghịch đảo trong thời gian tỉ lệ với bình phương chiều dài của p

0:03:30.343,0:03:36.512
thế là thuật toán mới này vừa ít tổng quát hơn và cũng kém hiệu quả hơn so với Euclid.

0:03:36.512,0:03:41.473
Số nguyên tố rất quan trọng

0:03:41.473,0:03:47.506
ta sẽ sử dụng nó trong vài tuần tới.

0:03:47.506,0:03:52.155
tôi sẽ trình bày một ứng dụng của định lý Fermat

0:03:52.155,0:03:57.226
Giả sử ta muốn tạo ra một số nguyên tố ngẫu nhiên rất lớn, khoảng một nghìn bit hoặc nhiều hơn.

0:03:57.226,0:04:02.006
Số ta đang tìm lớn của 2 mũ 1024.

0:04:02.006,0:04:06.724
có một thuật toán xác suất rất đơn giản để làm điều này. Ta cần chọn ngẫu nhiên một số

0:04:06.724,0:04:11.938
nguyên trong khoảng nào đó, sau đó kiểm tra xem số nguyên này có thỏa định lý của Fermet hay không?

0:04:12.124,0:04:17.153
Ta sẽ kiểm tra

0:04:17.153,0:04:22.367
sử dụng cơ số 2, ta kiểm tra xem 2 mũ p trừ 1 có bằng 1 trong Zp hay không

0:04:22.367,0:04:27.271
nếu kết quả là không, thì ta biết chắc rằng p không phải là số nguyên tố

0:04:27.271,0:04:33.003
nếu vậy, ta sẽ trở lại bước 1 với một số nguyên tố khác

0:04:33.003,0:04:37.284
Ta cứ làm lại, làm lại

0:04:37.284,0:04:41.782
cho tới khi nào ta được một số thỏa điều kiện này.

0:04:41.782,0:04:46.009
khi đó ta dừng thuật toán và xuất kết quả

0:04:46.009,0:04:51.573
Tuy khá là khó để chứng minh

0:04:51.573,0:04:56.305
nhưng nếu một số vượt qua được điều kiện trên thì *cực kì* có khả nănglà số nguyên tố.

0:04:56.305,0:05:01.398
xác suất mà p không là số nguyên tố là cực kì nhỏ.

0:05:01.398,0:05:06.191
khoảng cở 2 mũ -60 cho một số dài 1024 bit

0:05:06.191,0:05:10.744
khi số bit càng nhiều thì xác suất một số thỏa điều kiện mà lại không phải là số nguyên tố

0:05:10.744,0:05:15.716
giảm xuống 0 rất là nhanh. Đây là một thuật toán thú vị ;)

0:05:15.716,0:05:20.455
Ta nhận ra là không thể đảm bảo kết quả là nguyên tố

0:05:20.455,0:05:25.021
những gì ta biết là nó rất, rất có thể là nguyên tố.

0:05:25.021,0:05:29.587
nói khác đi, nếu nó không phải là số nguyên tố thì ta cực kì không may mắn.

0:05:29.587,0:05:34.298
Xác suất không may nắm nhỏ đến mức *có thể bỏ qua*

0:05:34.298,0:05:40.230
nếu bạn nhìn vào tập tất cả các số có 1024 bit.

0:05:40.230,0:05:45.233
tập các số nguyên tố ở đây,

0:05:45.233,0:05:50.805
và sau đó một tập nhỏ các hợp số mà qua được phép thử,

0:05:50.805,0:05:55.653
ta gọi chúng là FP. Có một phần rất nhỏ hợp số sẽ qua được điều kiện kiểm tra

0:05:55.653,0:06:00.626
Tuy nhiên vì ta chọn một cách ngẫu nhiên

0:06:00.626,0:06:05.349
một cái ở đây, ở đâu, ở đâu, và cứ như thế, ta chọn những số nguyên ngẫu nhiên

0:06:05.349,0:06:10.260
xác suất mà ta chọn phải FP là rất nhỏ

0:06:10.260,0:06:15.082
nhỏ tới mức có thể bỏ qua được (negligible)

0:06:15.082,0:06:20.591
có thể chứng được mình tập FB là cực nhỏ.

0:06:20.591,0:06:25.266
chọn ngẫu nhiên một số thì rất khó mà trúng phải FP

0:06:25.266,0:06:28.960
Thật ra đây không phải là thuật toán tốt nhất để sinh ra số nguyên tố

0:06:28.960,0:06:32.654
ta có những thuật toán tốt hơn nhiều

0:06:32.654,0:06:36.349
thậm chí ta có những thuật toán rất hiệu quả

0:06:36.349,0:06:40.498
để kiểm tra một số có phải là số nguyên tố

0:06:40.498,0:06:44.597
một cách chắc chắn

0:06:44.597,0:06:48.595
dù sao thì phép thử Fermat cũng là một phép thử rất đơn giản và dễ thực hiện để kiểm tra số nguyên tố

0:06:48.595,0:06:53.076
Điểm đáng chú ý cuối cùng ở đây

0:06:53.076,0:06:57.468
là, cần bao nhiều vòng lặp để

0:06:57.468,0:07:01.536
tìm ra một số nguyên tố. Một kết quả cổ điển

0:07:01.536,0:07:05.820
được gọi là định lý số nguyên tố, nói ràng, sau vài trăm vòng lặp

0:07:05.820,0:07:09.833
ta sẽ tìm được một số nguyên tố với xác suất cao.

0:07:09.833,0:07:14.771
Giờ thì ta đã hiểu được định lý Fermat

0:07:14.771,0:07:19.314
tiếp theo ta sẽ nói về cấu trúc của ZP*

0:07:19.314,0:07:23.915
Ta tiến thêm 100 năm nữa

0:07:23.915,0:07:28.576
vào thế kỉ 18, để gặp gỡ Euler.

0:07:28.576,0:07:33.118
Điều đầu tiên, Euler nhìn nhận ZP*, theo toán học hiện đại, là một nhóm vòng (cyclic group).

0:07:33.118,0:07:38.014
Nhóm vòng, nghĩa là sao?

0:07:38.014,0:07:42.734
nó có nghĩa là tồn tại phần tử nào G nào đó thuộc ZP*, sao cho nếu ta lấy G

0:07:42.734,0:07:47.681
và lấy mũ, G bình phương, G lập phương, v.v. Cứ tiếp tục như vậy

0:07:47.681,0:07:52.590
cho đến khi tới G mũ p trừ 2. Lưu ý là không ra khỏi G mũ p trừ 2

0:07:52.590,0:07:57.296
vì ta biết, theo định lý Fermat rằng, G mũ p - 1 bằng 1

0:07:57.296,0:08:02.178
vì vậy ta sẽ lập lặp một. Nếu ta tới G mũ p - 1. thì

0:08:02.178,0:08:06.825
G mũ p sẽ bằng G, G mũ p + 1 sẽ bằng G bình phương và cứ tiếp tục như vậy

0:08:06.825,0:08:11.825
Ta sẽ được sự lại nếu tiếp tục với mũ cao hơn

0:08:11.825,0:08:16.590
vì vậy chỉ cần dừng lại ở mũ p - 2

0:08:16.590,0:08:21.413
Euler đã chỉ ra rằng có một phần tử G như vậy,

0:08:21.413,0:08:26.300
nếu ta duyệt qua tất cả các mũ thì sẽ thấy nó sẽ phủ hết toàn bộ nhóm ZP*

0:08:26.300,0:08:31.239
Các lũy thừa của G cho ta tất cả phần tử thuộc ZP*.

0:08:31.239,0:08:35.997
G gọi là phần tử sinh. G sinh ra ZP*

0:08:35.997,0:08:40.696
Xét một ví dụ, P = 7

0:08:40.696,0:08:45.575
xem tất cả những lũy thừa của 3. 3 bình phương, 3 lập phương, 3 mũ 4,

0:08:45.575,0:08:50.130
3 mũ 5. 3 mũ 6 = 1 modulo 7, theo định lý Fermat.

0:08:50.130,0:08:54.917
không cần xem xét 3 mũ 6, vì ta biết nó sẽ là 1

0:08:54.917,0:08:59.644
Tôi đã tính những lũy thừa này.

0:08:59.644,0:09:04.431
Bạn thấy đấy, tất cả phần từ trong Z7* đều ở đây

0:09:04.431,0:09:09.313
ta có 2, 3, 4, 5, 6.

0:09:09.313,0:09:14.599
ta sẽ nói rằng 3 là phần tử sinh của Z7 *.

0:09:14.599,0:09:19.886
bây giờ tôi sẽ chỉ ra, không phải phần tử nào cũng là phần tử sinh. ví dụ, nếu ta xem xét tất cả lũy thừa của 2

0:09:19.886,0:09:24.914
nó không thể sinh ra toàn bộ nhóm. 2 mũ 0 được 1

0:09:24.914,0:09:29.650
2 mũ 1 được 2, 2 mũ 2 được 4, 3 mỹ 3 được 8, chính là 1 modulo 7.

0:09:29.650,0:09:34.455
Do đó ta đã lặp lại

0:09:34.455,0:09:39.766
2 mũ 4 sẽ là 2, 2 mũ 5 sẽ là 4, và cứ thế...

0:09:39.766,0:09:44.697
Nếu nhìn vào đây, thì ta chỉ thấy 1, 2, 4

0:09:44.697,0:09:49.981
ta không có được toàn một nhóm, dó đó 2 không là phần tử sinh của Z7 *

0:09:49.981,0:09:55.831
Đôi khi ta được cho một phần tử G của ZP*

0:09:55.831,0:10:01.901
nếu ta nhìn tất cả lũy thừa của G, kết quả sẽ là một nhóm được sinh ra bởi G

0:10:01.901,0:10:06.947
Tất cả đều là lũy thừa của G. Ta có được một nhóm multiplicative

0:10:06.947,0:10:12.798
không quan trọng về kĩ thuật. mấu chốt ở đây là

0:10:12.798,0:10:18.397
ta sẽ gọi tất cả những lũy thừa của G, là nhóm được sinh ra bởi G.

0:10:18.397,0:10:23.570
thực ra kí hiệu này không được thông dụng,

0:10:23.570,0:10:30.010
để kí hiệu nhóm sinh ra bởi G. Ta gọi bậc của G trong Zp* là

0:10:30.010,0:10:35.663
kích thước của nhóm được sinh ra bởi G.

0:10:35.663,0:10:40.626
bậc của G trong ZP* là kích thước của nhóm này. Cách khác để nghĩ về số này

0:10:40.626,0:10:46.280
nó là số nguyên A nhỏ nhất sao cho G mũ A bằng 1

0:10:47.380,0:10:52.838
cơ bản nó là số mũ nhỏ nhất của G kết quả là 1

0:10:52.838,0:10:58.566
Dễ thấy điều này nếu ta nhìn vào các lũy thừa của G

0:10:58.566,0:11:04.024
G, G bình phương, G lập phương và tiếp tục, ...

0:11:04.024,0:11:09.887
cho đến khi ta được 1. Và ta xem số mũ này là bậc của G

0:11:09.887,0:11:15.420
Điều này đơn giản bằng 1 theo định nghĩa

0:11:16.080,0:11:22.000
không cần phải xem xét của lũy thừa cao hơn. Ta chỉ cần dừng ở đây

0:11:22.000,0:11:27.631
kết quả là kích thước của tập

0:11:27.631,0:11:33.263
là bậc của G, số này chính là số mũ nhỏ nhất

0:11:33.263,0:11:38.931
mà G lũy thừa cho ra 1 trong Zp.

0:11:38.931,0:11:43.455
hơi khó hiểu một tí

0:11:43.455,0:11:48.100
nhưng sẽ dễ dàng với một vài ví dụ. Số nguyên tố của ta vẫn là 7

0:11:48.100,0:11:52.986
hãy xem xét bậc của các phần tử

0:11:52.986,0:11:57.752
bậc của 3 là nhiêu? Ta đang tìm kích thước của nhóm

0:11:57.752,0:12:02.759
được sinh ra bởi 3 theo modulo 7. ta nói rằng 3 sinh ra Z7 *

0:12:02.759,0:12:07.705
nó sinh ra mọi phần tử của Z7*. có 6 phần tử cả thẩy.

0:12:07.705,0:12:12.758
do đó ta nói 3 có bậc là 6. tương tự,

0:12:12.758,0:12:17.421
bậc của 2 modulo 7 là nhiêu? ta đã thấy đán án.

0:12:17.421,0:12:22.084
Tôi hỏi bạn, bậc của hai,

0:12:22.084,0:12:28.549
là bao nhiêu? Câu trả lời là 3, đơn giản vì nếu ta nhìn vào

0:12:28.549,0:12:33.618
tập các lũy thừa của 2, ta có 1, 2, 2 bình phương (2 mũ 3 = 1)

0:12:33.618,0:12:39.077
đây là toàn bộ lũy thừa của 2 (modulo 7)

0:12:39.077,0:12:44.211
có 3 phần tử, vậy bậc của 2 (modulo 7) là 3

0:12:44.211,0:12:49.215
tôi sẽ hỏi một câu khác

0:12:49.215,0:12:54.499
bậc của 1 (modulo 7) là nhiêu? Câu trả lời là 1. bởi vì nếu nhìn vào nhóm được sinh ra bởi 1

0:12:54.499,0:12:58.633
chỉ có một số, chính là số 1

0:12:58.633,0:13:02.608
tôi sẽ luôn được 1 với mọi lũy thừa.

0:13:02.608,0:13:07.060
do đó bậc của 1 (modulo 7) là 1

0:13:07.060,0:13:12.518
thật ra sẽ luôn là 1 với modulo bất kì số nguyên tố nào. Có một định lý quan trọng của Lagrange (thêm một siêu nhân)

0:13:12.518,0:13:17.137
thật ra

0:13:17.137,0:13:22.309
Định lý của Langrage về cơ bản chỉ ra rằng nếu bạn nhìn vào bậc của G (modulo p)

0:13:22.309,0:13:27.112
thì nó luôn được chia hết bởi p-1. Trong hai ví dụ, ta thấy

0:13:27.297,0:13:32.100
6 được chia hết bơi 7 - 1, 6 chia hết cho 6, tương tư

0:13:32.100,0:13:37.026
3 cũng chia hết bởi 7 - 1, tổng quát, bậc này

0:13:37.026,0:13:41.333
sẽ luôn là một thừa số của p - 1.

0:13:41.333,0:13:45.177
rất khó để có thể suy ra được định lý Fermat trược tiếp từ

0:13:45.177,0:13:49.179
định lý Lagrange.

0:13:49.179,0:13:53.340
Định lý Fermet theo một cách hiểu khác được suy ra từ định lý Lagrange

0:13:54.580,0:13:59.375
Lagrange, tìm ra nó vào thế kỉ 19

0:13:59.375,0:14:04.053
ta đã có một hình trình xuyên thời gian từ thời Hi Lạp cổ đại đến

0:14:04.053,0:14:09.376
cuối thế kỉ 19. Có nhiều hệ mã hóa

0:14:09.376,0:14:14.024
sử dụng nhiều kiến thức toán học của thế kỉ 19.

0:14:14.024,0:14:18.416
giờ thì ta đã rõ về cấp trúc của ZP*. tổng quát hóa điều này cho hợp số,

0:14:18.416,0:14:23.471
cấu trúc của ZN*. Ở đây ta sẽ thấy định lý của Euler

0:14:23.471,0:14:28.044
là một định lý tổng quát so với định lý Fermat.

0:14:28.044,0:14:32.978
Euler định nghĩa hàm sau. cho số nguyên N, phi

0:14:32.978,0:14:37.190
của N là hàm số, trả về kích thức tập ZN*

0:14:37.190,0:14:42.686
gọi là hàm Phi Euler ;)

0:14:42.686,0:14:48.521
ví dụ, ta có Z12* chứa bốn phần tử, 1, 5, 7, 11

0:14:48.521,0:14:53.881
do đó phi của 12 là 4

0:14:53.881,0:14:59.310
một câu đố, phi của p là nhiêu?

0:14:59.310,0:15:06.266
cơ bản thì đây là kích thước của Zp*.

0:15:06.266,0:15:12.335
chứa tất cả phần của của ZP trừ số 0

0:15:12.335,0:15:18.533
do đó phi của p là p - 1. có một trường hợp đặc biệt

0:15:18.533,0:15:23.282
tôi sẽ chỉ ra ở đây, ta sẽ dùng lại cho hệ mã RSA

0:15:23.282,0:15:28.277
nếu N là tích của hai số nguyên tố, thì phi của N chính là N - P - Q + 1

0:15:28.277,0:15:33.045
để tôi chỉ ra vì sao điều này lại đúng. Về cơ bản N là kích thước của ZN. giờ ta cần

0:15:33.045,0:15:37.838
loại bỏ tất cả những phần tử không nguyên tố cùng nhau với N.

0:15:37.838,0:15:42.632
làm sao để một phần tử không nguyên tố cùng nhau với n? nó phải chia hết bởi p hoặc là chia hết bởi q

0:15:42.632,0:15:47.079
có bao nhiêu phần tử từ 0 tới n - 1 được chia hết

0:15:47.079,0:15:51.757
bởi p, có chính xác q phần tử như vậy. Có bao nhiêu phần tử chia hết

0:15:51.757,0:15:55.973
bởi q, có p phần tử như vậy.

0:15:55.973,0:16:00.593
ta trừ p để lại ra những phần tử chia hết bởi q. trừ q để loại bỏ

0:16:00.593,0:16:05.776
những phần tử chia hết bỏi p. Lưu ý là ta đã loại bỏ phần tử 0 hai lần

0:16:05.776,0:16:12.020
vì nó được chia hết bởi cả p và q, do đó, ta cộng thêm một

0:16:12.020,0:16:18.264
kết quả là phi(N) = N - P - Q + 1

0:16:18.264,0:16:24.599
cách viết khác là (p-1)x(q-1)

0:16:24.599,0:16:30.275
ta sẽ quay lại vấn đề này khi nói về hệ mã RSA.

0:16:30.275,0:16:35.690
ở đây ta chỉ mới định nghĩa hàm phi Euler.

0:16:35.690,0:16:41.104
Euler đã có một chứng minh tuyệt vời rằng

0:16:41.104,0:16:46.060
với mọi phần tử X nào của ZN* . thì X mũ phi(N)

0:16:46.060,0:16:50.678
bằng 1 trong ZN. Đây là một tổng quát hóa của định lý Fermat

0:16:50.678,0:16:55.239
định lý Fermat chỉ áp dụng cho số nguyên tố

0:16:55.239,0:16:59.913
với số nguyên tố p, ta có phi(p) = p - 1. ta chỉ cần viết p - 1 ở đây

0:16:59.913,0:17:04.494
và ta lại có được định lý Fermat.

0:17:04.494,0:17:08.892
vẻ đẹp của định lý Euler là nó áp dụng cho cả hợp số

0:17:08.892,0:17:16.462
không chỉ riêng số nguyên tố. Hãy nhìn vào ví dụ, 5 mũ phi(12)

0:17:16.462,0:17:21.743
5 là một phần tử của Z12*. Nếu ta lấy 5 mũ 12, ta sẽ được

0:17:21.743,0:17:27.155
ta sẽ được 1, ta biết rằng, phi(12) = 4 do đó

0:17:27.155,0:17:32.037
5 mũ 4 là 625,

0:17:32.037,0:17:36.227
bằng 1 modulo 12

0:17:36.227,0:17:40.468
tuy đây chỉ là một ví dụ, nhưng không khó để có thể chứng minh

0:17:40.468,0:17:44.555
định lý Euler. sự thật là

0:17:44.555,0:17:48.900
định lý Euler lại là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange

0:17:49.880,0:17:53.888
okay, ta đã biết đây là một trường hợp tổng quát của định lý Fermat và

0:17:53.888,0:17:58.230
thực tế thì, định lý Euler là cơ sở cho hệ mã RSA

0:17:58.230,0:18:03.922
Tôi sẽ dừng ở đây, ta sẽ tiếp tục với những phương trình bậc hai

0:18:03.922,0:18:04.740
ở phần tiếp theo.