WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:03.580
Logaritmik özelliklerle ilgili olan bu sunuma hoşgeldiniz.

00:00:03.580 --> 00:00:05.960
Bu sunum pratik kazanmak üzerine olacak.

00:00:05.960 --> 00:00:08.570
Bu özelliklerden herhangi birinin doğru olduğuna inanmazsanız

00:00:08.580 --> 00:00:11.830
ve kanıtlamak isterseniz diye üç veya 4 video yaptım

00:00:11.830 --> 00:00:13.048
ve bu videolar bu özelliklerin kanıtları.

00:00:13.048 --> 00:00:15.890
Sonra da size nasıl gösterileceğini kanıtlayacağım.

00:00:15.900 --> 00:00:17.510
Bu birazcık daha zahmetli olacak.

00:00:17.510 --> 00:00:22.606
O zaman logaritmanın ne olduğu konusunda biraz tekrar yapalım

00:00:24.875 --> 00:00:26.555
Eğer "a" dersem ...

00:00:26.555 --> 00:00:31.930
Yok, bu doğru değil. Değiştiriyorum.

00:00:34.090 --> 00:00:35.240
Baştan başlayacağım.

00:00:35.250 --> 00:00:41.700
a üssü b eşittir c.

00:00:41.710 --> 00:00:44.650
evet, a üssü b c'ye eşit.

00:00:44.650 --> 00:00:47.410
Bu ilişkinin aynısını üslü sayılarla yazmanın

00:00:47.420 --> 00:00:49.960
bir başka yolu da, logaritma olarak yazmak.

00:00:49.960 --> 00:00:57.530
Yani diyebiliriz ki, logaritma a tabanında

00:00:57.540 --> 00:01:02.030
c b'ye eşittir.

00:01:06.963 --> 00:01:09.700
Bunlar aslında aynı şeyleri temsil ediyorlar; ama sonuçları farklı. Mesela birinde a ve b'yi biliyorsun ve c'yi elde ediyorsun.

00:01:09.700 --> 00:01:12.010
Kuvvet almanın sizin için yaptığı da bu.

00:01:12.010 --> 00:01:14.240
Diğerinde ise a'yı biliyorsun ve kuvvetini herhangi bir

00:01:14.250 --> 00:01:16.340
sayıya yükselttiğinde c'yi elde ettiğini biliyorsun.

00:01:16.340 --> 00:01:18.040
Sonra da burdan b'yi bulursun.

00:01:18.040 --> 00:01:20.540
Yani, ikisi de tamamen aynı ilişkiye sahip; ancak

00:01:20.540 --> 00:01:22.080
farklı şekillerde ifade edilmişler.

00:01:22.090 --> 00:01:24.900
Şimdi bazı ilginç logaritmik

00:01:24.900 --> 00:01:25.960
özellikleri göstereceğim.

00:01:25.960 --> 00:01:30.470
Aslında hepsi bu ilişkiden ve temel üslü sayılar kurallarından

00:01:30.480 --> 00:01:32.730
ortaya çıkıyorlar.

00:01:32.730 --> 00:01:36.850
İlk özellik: logaritma - Dahha canlı bir

00:01:36.860 --> 00:01:39.340
renk kullanacağım -

00:01:39.340 --> 00:01:45.250
Herhangi bir tabandaki logaritma ya da

00:01:45.260 --> 00:01:47.180
taban için b diyebiliriz.

00:01:47.180 --> 00:01:57.800
Logaritma b tabanında a artı logaritma be tabanında c

00:01:57.810 --> 00:01:59.760
Bu kural sadece tabanlar aynıysa işler.

00:01:59.760 --> 00:02:01.790
Bu önemli bir bilgi.

00:02:01.790 --> 00:02:12.770
Bu işlem logaritma b tabanında a çarpı c'ye eşittir.

00:02:12.780 --> 00:02:14.650
Şimdi, bu ne demektir ve bunu nasıl kullanabilriz?

00:02:14.650 --> 00:02:18.300
Hadi şimdi bu kuralı bazı örneklerle

00:02:18.310 --> 00:02:19.620
deneyelim.

00:02:19.620 --> 00:02:22.850
Bu işlemin gösterdiği şey - Rengi değiştireceğim -

00:02:22.860 --> 00:02:25.380
Bu kullanacağım renk leylak.

00:02:25.380 --> 00:02:26.720
Bu renk benim örnek

00:02:26.720 --> 00:02:29.460
rengim olsun.

00:02:29.460 --> 00:02:40.900
Mesela, logaritma 2 tabanında 8 artı

00:02:40.910 --> 00:02:51.160
logaritma 2 tabanında 32.

00:02:53.022 --> 00:02:58.429
Eğer bu özelliğe güveniyorsak, teoride, bu işlemin

00:02:58.429 --> 00:03:05.490
sonucu logaritma 2 tabanında ne olmalı?

00:03:05.500 --> 00:03:07.900
8 çarpı 32 olmalı.

00:03:07.900 --> 00:03:17.650
Yani 8 kere 32 200 ve 40 ve 16'dan 256 eder.

00:03:17.650 --> 00:03:18.490
O zaman eğer ki bu doğruysa,

00:03:18.500 --> 00:03:20.730
Şu anda sadece sayıları deniyorum, bu bir kanıt değil.

00:03:20.740 --> 00:03:22.860
Fakat bence yine de size anlatmakla ilgili

00:03:22.860 --> 00:03:23.980
biraz içgüdüsel hareket edeceğim.

00:03:23.990 --> 00:03:26.330
Az önce aslında size göstermiş olduğum

00:03:26.340 --> 00:03:28.470
özelliği kullandık.

00:03:28.470 --> 00:03:29.870
Şimde bakalım işe yarayacak mı?

00:03:29.880 --> 00:03:31.850
log 2 tabanında 8.

00:03:31.860 --> 00:03:34.510
2' nin kaçıncı kuvveti 8'e eşittir?

00:03:34.520 --> 00:03:38.950
2 üzeri 3 8'dir değil mi?

00:03:38.960 --> 00:03:41.300
O zaman bu terim 3'e eşittir, doğru mu?

00:03:41.310 --> 00:03:44.810
Log 2 tabanında 8, 3'e eşittir.

00:03:44.810 --> 00:03:48.400
2'nin kaçıncı kuvveti 32'ye eşittir?

00:03:48.400 --> 00:03:48.780
Bakalım

00:03:48.780 --> 00:03:50.570
2'nin 4'üncü kuvveti 16.

00:03:50.580 --> 00:03:53.290
2'nin 5'inci kuvveti 32'dir.

00:03:53.300 --> 00:03:58.400
Yani bu terim 5 değil mi?

00:03:58.400 --> 00:04:02.740
Peki 2'nin kaçıncı kuvveti 256'dır?

00:04:02.750 --> 00:04:05.880
Eğer bir bilgisayar bilimleri öğrencisi olsaydınız,

00:04:05.880 --> 00:04:07.200
bunu anında cevaplardınız.

00:04:07.210 --> 00:04:10.460
Bir bit içerisinde 256 değer bulundurabilir.

00:04:10.460 --> 00:04:12.420
256, 2'nin 8'inci kuvvetidir.

00:04:12.430 --> 00:04:15.510
Fakat bunu bilmiyorsanız, kendi kendinize hesaplayabilirsiniz.

00:04:15.520 --> 00:04:16.700
Sonuçta 8 çıkacaktır.

00:04:16.700 --> 00:04:18.480
Bu işlemi yapmayacağım; çünkü fark ettim ki

00:04:18.490 --> 00:04:19.460
3 artı 5, zaten 8'e eşit.

00:04:19.470 --> 00:04:21.220
Bunu bağımsız olarak yapıyorum.

00:04:21.230 --> 00:04:22.290
Yani bu 8'e eşit.

00:04:22.300 --> 00:04:28.520
Fakat zaten görüyoruz ki 3 artı 5 8'e eşit.

00:04:28.520 --> 00:04:32.160
Bu size sihirli ya da bariz gelebilir.

00:04:32.170 --> 00:04:35.550
Siz bunu bariz bulanlar, büyük ihtimalle

00:04:35.560 --> 00:04:43.310
2'nin 3'üncü kuvveti çarpı 2'nin 5'inci kuvveti

00:04:43.310 --> 00:04:49.490
3 artı 5'e eşitti diye düşündünüz, değil mi?

00:04:49.500 --> 00:04:51.790
Bu aslında bir üslü sayılar kuralı

00:04:51.800 --> 00:04:52.670
Bunun adı nedir?

00:04:52.670 --> 00:04:54.740
Üslü toplama kuralı - Aslında bilmiyorum

00:04:54.750 --> 00:04:56.220
Kuralların isimlerini bilmem

00:04:56.220 --> 00:04:59.910
Ve bu da 2 üssü 8'e eşittir. 2 üssü 8.

00:04:59.920 --> 00:05:03.160
Bu tamamen yaptığımız şeyin aynısı, haksız mıyım?

00:05:03.160 --> 00:05:07.062
Bu tarafta, 2 üssü 3 çarpı 2 üssü 5 var, ve bu tarafta da bunların toplamı.

00:05:09.720 --> 00:05:12.840
Logaritmayı ilgi çekici yapan şey

00:05:12.850 --> 00:05:13.970
aslında başta biraz karışık olması.

00:05:13.970 --> 00:05:15.610
Eğer cidden sağlam bir açıklama istiyorsanız

00:05:15.620 --> 00:05:18.440
kanıt videolarımı izleyebilirsiniz ama onlar da çok sağlam kanıtlar değiller.

00:05:18.440 --> 00:05:19.930
Fakat bu çalışmaların daha net

00:05:19.930 --> 00:05:21.350
açıklamalarını isteyenler izleyebilir.

00:05:21.360 --> 00:05:23.480
Fakat umarım, bu yaptıklarımız size bu kuralın çıkış

00:05:23.480 --> 00:05:25.320
noktasıyla ilgili bir farkındalık kazandırmıştır.

00:05:25.320 --> 00:05:27.320
Çünkü aynı tabanlı iki sayıyı

00:05:27.320 --> 00:05:29.250
çarptığınızda

00:05:29.260 --> 00:05:31.710
yani aynı tabanlı iki üslü sayıyı çarptığınızda,

00:05:31.720 --> 00:05:33.550
aslında onların üstlerini toplarsınız.

00:05:33.560 --> 00:05:37.050
Benzer bir şekilde, herhangi iki sayını log'ları çarpıldığında da

00:05:37.050 --> 00:05:41.700
sonuç logaritmada içindeki sayıların birbirleriyle toplamlarına

00:05:41.700 --> 00:05:43.510
eşit olacaktır.

00:05:43.520 --> 00:05:45.800
Bu ikisi aynı özellikler.

00:05:45.810 --> 00:05:49.930
İnanmıyorsanız kanıt videolarını izleyin.

00:05:49.930 --> 00:05:56.360
Şimdi, bir tane daha özellik yapalım.

00:05:56.370 --> 00:05:58.220
Bu da oldukça benzer.

00:05:58.230 --> 00:05:59.390
Hatta bence neredeyse aynı

00:05:59.390 --> 00:06:10.440
Bu da log b tabanında a eksi log b tabanında c'nin

00:06:10.440 --> 00:06:17.030
log b tabanında - yer bitti.-

00:06:17.040 --> 00:06:19.290
- Yerim bitiyor.- log b tabanında a bölü c'ye eşit olduğu.

00:06:19.290 --> 00:06:21.540
a bölü c.

00:06:21.540 --> 00:06:25.230
Yine, bu kuralı sayılarla deneyebiliriz.

00:06:25.240 --> 00:06:28.610
2'yi çok fazla kullanıyorum, çünkü kuvvetlerinin bulunması

00:06:28.620 --> 00:06:29.790
açısından oldukça kolay.

00:06:29.790 --> 00:06:30.740
Fakat farklı bir sayı kullanalım

00:06:30.750 --> 00:06:41.190
Diyelim ki log 3 tabanında, bilmem ki ne yazsam,

00:06:41.190 --> 00:06:44.810
bu sefer farklı yapalım.

00:06:44.810 --> 00:06:56.920
log 3 tabanın 1 bölü 9 eksi log 3 tabanında 81.

00:06:56.930 --> 00:07:02.490
Bu özelliğe göre, bu ifade eşittir

00:07:02.500 --> 00:07:04.180
- Biraz büyük bir sayı -

00:07:04.180 --> 00:07:12.990
log 3 tabanında 1 bölü dokuz bölü 81.

00:07:12.990 --> 00:07:15.880
Bunu 1 bölü 9 çarpı bir bölü 81 olarak yazacağım.

00:07:15.880 --> 00:07:19.690
Sanırım biraz büyük sayılar seçtim

00:07:19.700 --> 00:07:21.310
ama devam ediyoruz.

00:07:21.310 --> 00:07:21.740
Bakalım.

00:07:21.750 --> 00:07:25.690
9 çarpı 8, 720'ye eşit.

00:07:25.690 --> 00:07:27.180
9 çarpı, evet.

00:07:27.180 --> 00:07:28.560
9 çarpı 8 eşittir 720.

00:07:28.570 --> 00:07:31.020
Yani bu 1 bölü 729.

00:07:31.030 --> 00:07:37.850
Bu da log 3 tabanında 1 bölü 729.

00:07:37.860 --> 00:07:42.160
Peki, 3'ün kaçıcı kuvveti 1 bölü 9'a eşit?

00:07:42.160 --> 00:07:45.330
3'ün karesi 9'dur ,değil mi?

00:07:45.330 --> 00:07:48.060
O zaman, 3'ün karesi 2'yse, biliyoruz ki

00:07:53.250 --> 00:07:56.940
3'ün -2'inci kuvveti 1 bölü 9'a eşit.

00:07:56.940 --> 00:07:58.180
Negatif sayı terimi tersine çevirir.

00:07:58.180 --> 00:08:02.150
Yani bu -2'ye eşit, doğru mu?

00:08:02.160 --> 00:08:06.110
Ve sonra, 3'ün kaçıncı kuvveti 81'e eşit?

00:08:06.120 --> 00:08:07.870
3 üzeri 3 27'dir.

00:08:07.870 --> 00:08:11.380
Yani 3 üzeri 4.

00:08:11.380 --> 00:08:15.860
Yani, -2 eksi 4 eşittir

00:08:15.870 --> 00:08:16.700
Bunu birkaç farklı yoldan yapabiliriz.

00:08:16.700 --> 00:08:20.510
-2 eksi 4, -6'ya eşittir.

00:08:20.520 --> 00:08:23.270
Şimdi kontrol etmemiz gereken şey, 3 üssü -6'nın

00:08:23.270 --> 00:08:26.070
1 bölü 729'ye eşit olduğu.

00:08:26.070 --> 00:08:26.880
İşte sorum.

00:08:26.880 --> 00:08:34.410
3'ün -6'ıncı kuvveti 1 bölü 729'a eşit midir?

00:08:34.420 --> 00:08:36.890
Bu 3 üssü 6'nın 729 olup olmadığını

00:08:36.890 --> 00:08:40.100
sormakla aynı şey; çünkü negatif sayı sonucu

00:08:40.110 --> 00:08:41.750
sadece tersine çeviriyor.

00:08:41.750 --> 00:08:42.580
Görelim.

00:08:42.590 --> 00:08:44.870
Bunu çarparak bulabiliriz.

00:08:44.870 --> 00:08:46.470
Olay da bu zaten.

00:08:46.480 --> 00:08:47.320
Bakalım.

00:08:47.320 --> 00:08:52.620
3 üssü 3 çarpı 3 üssü 3

00:08:52.620 --> 00:08:57.440
27 çarpı 27'ye eşittir.

00:08:57.450 --> 00:08:58.530
Bu oldukça yakın görünüyor.

00:08:58.530 --> 00:09:00.890
Ama bana inamıyorsanız, hesap makinesi ile

00:09:00.890 --> 00:09:02.330
kontrol edebilirsiniz.

00:09:02.340 --> 00:09:04.940
Evet, bu videoda bu kadar sürem var.

00:09:04.940 --> 00:09:07.490
Bir sonraki videoda size son iki

00:09:07.500 --> 00:09:08.670
logaritmik özelliği anlatacağım.

00:09:08.670 --> 00:09:12.480
Zaman kalırsa da belki

00:09:12.490 --> 00:09:13.440
örnek de yapabiliriz.

00:09:13.440 --> 00:09:15.110
Yakında görüşürüz.