1 00:00:00,610 --> 00:00:03,580 Logaritmik özelliklerle ilgili olan bu sunuma hoşgeldiniz. 2 00:00:03,580 --> 00:00:05,960 Bu sunum pratik kazanmak üzerine olacak. 3 00:00:05,960 --> 00:00:08,570 Bu özelliklerden herhangi birinin doğru olduğuna inanmazsanız 4 00:00:08,580 --> 00:00:11,830 ve kanıtlamak isterseniz diye üç veya 4 video yaptım 5 00:00:11,830 --> 00:00:13,048 ve bu videolar bu özelliklerin kanıtları. 6 00:00:13,048 --> 00:00:15,890 Sonra da size nasıl gösterileceğini kanıtlayacağım. 7 00:00:15,900 --> 00:00:17,510 Bu birazcık daha zahmetli olacak. 8 00:00:17,510 --> 00:00:22,606 O zaman logaritmanın ne olduğu konusunda biraz tekrar yapalım 9 00:00:24,875 --> 00:00:26,555 Eğer "a" dersem ... 10 00:00:26,555 --> 00:00:31,930 Yok, bu doğru değil. Değiştiriyorum. 11 00:00:34,090 --> 00:00:35,240 Baştan başlayacağım. 12 00:00:35,250 --> 00:00:41,700 a üssü b eşittir c. 13 00:00:41,710 --> 00:00:44,650 evet, a üssü b c'ye eşit. 14 00:00:44,650 --> 00:00:47,410 Bu ilişkinin aynısını üslü sayılarla yazmanın 15 00:00:47,420 --> 00:00:49,960 bir başka yolu da, logaritma olarak yazmak. 16 00:00:49,960 --> 00:00:57,530 Yani diyebiliriz ki, logaritma a tabanında 17 00:00:57,540 --> 00:01:02,030 c b'ye eşittir. 18 00:01:06,963 --> 00:01:09,700 Bunlar aslında aynı şeyleri temsil ediyorlar; ama sonuçları farklı. Mesela birinde a ve b'yi biliyorsun ve c'yi elde ediyorsun. 19 00:01:09,700 --> 00:01:12,010 Kuvvet almanın sizin için yaptığı da bu. 20 00:01:12,010 --> 00:01:14,240 Diğerinde ise a'yı biliyorsun ve kuvvetini herhangi bir 21 00:01:14,250 --> 00:01:16,340 sayıya yükselttiğinde c'yi elde ettiğini biliyorsun. 22 00:01:16,340 --> 00:01:18,040 Sonra da burdan b'yi bulursun. 23 00:01:18,040 --> 00:01:20,540 Yani, ikisi de tamamen aynı ilişkiye sahip; ancak 24 00:01:20,540 --> 00:01:22,080 farklı şekillerde ifade edilmişler. 25 00:01:22,090 --> 00:01:24,900 Şimdi bazı ilginç logaritmik 26 00:01:24,900 --> 00:01:25,960 özellikleri göstereceğim. 27 00:01:25,960 --> 00:01:30,470 Aslında hepsi bu ilişkiden ve temel üslü sayılar kurallarından 28 00:01:30,480 --> 00:01:32,730 ortaya çıkıyorlar. 29 00:01:32,730 --> 00:01:36,850 İlk özellik: logaritma - Dahha canlı bir 30 00:01:36,860 --> 00:01:39,340 renk kullanacağım - 31 00:01:39,340 --> 00:01:45,250 Herhangi bir tabandaki logaritma ya da 32 00:01:45,260 --> 00:01:47,180 taban için b diyebiliriz. 33 00:01:47,180 --> 00:01:57,800 Logaritma b tabanında a artı logaritma be tabanında c 34 00:01:57,810 --> 00:01:59,760 Bu kural sadece tabanlar aynıysa işler. 35 00:01:59,760 --> 00:02:01,790 Bu önemli bir bilgi. 36 00:02:01,790 --> 00:02:12,770 Bu işlem logaritma b tabanında a çarpı c'ye eşittir. 37 00:02:12,780 --> 00:02:14,650 Şimdi, bu ne demektir ve bunu nasıl kullanabilriz? 38 00:02:14,650 --> 00:02:18,300 Hadi şimdi bu kuralı bazı örneklerle 39 00:02:18,310 --> 00:02:19,620 deneyelim. 40 00:02:19,620 --> 00:02:22,850 Bu işlemin gösterdiği şey - Rengi değiştireceğim - 41 00:02:22,860 --> 00:02:25,380 Bu kullanacağım renk leylak. 42 00:02:25,380 --> 00:02:26,720 Bu renk benim örnek 43 00:02:26,720 --> 00:02:29,460 rengim olsun. 44 00:02:29,460 --> 00:02:40,900 Mesela, logaritma 2 tabanında 8 artı 45 00:02:40,910 --> 00:02:51,160 logaritma 2 tabanında 32. 46 00:02:53,022 --> 00:02:58,429 Eğer bu özelliğe güveniyorsak, teoride, bu işlemin 47 00:02:58,429 --> 00:03:05,490 sonucu logaritma 2 tabanında ne olmalı? 48 00:03:05,500 --> 00:03:07,900 8 çarpı 32 olmalı. 49 00:03:07,900 --> 00:03:17,650 Yani 8 kere 32 200 ve 40 ve 16'dan 256 eder. 50 00:03:17,650 --> 00:03:18,490 O zaman eğer ki bu doğruysa, 51 00:03:18,500 --> 00:03:20,730 Şu anda sadece sayıları deniyorum, bu bir kanıt değil. 52 00:03:20,740 --> 00:03:22,860 Fakat bence yine de size anlatmakla ilgili 53 00:03:22,860 --> 00:03:23,980 biraz içgüdüsel hareket edeceğim. 54 00:03:23,990 --> 00:03:26,330 Az önce aslında size göstermiş olduğum 55 00:03:26,340 --> 00:03:28,470 özelliği kullandık. 56 00:03:28,470 --> 00:03:29,870 Şimde bakalım işe yarayacak mı? 57 00:03:29,880 --> 00:03:31,850 log 2 tabanında 8. 58 00:03:31,860 --> 00:03:34,510 2' nin kaçıncı kuvveti 8'e eşittir? 59 00:03:34,520 --> 00:03:38,950 2 üzeri 3 8'dir değil mi? 60 00:03:38,960 --> 00:03:41,300 O zaman bu terim 3'e eşittir, doğru mu? 61 00:03:41,310 --> 00:03:44,810 Log 2 tabanında 8, 3'e eşittir. 62 00:03:44,810 --> 00:03:48,400 2'nin kaçıncı kuvveti 32'ye eşittir? 63 00:03:48,400 --> 00:03:48,780 Bakalım 64 00:03:48,780 --> 00:03:50,570 2'nin 4'üncü kuvveti 16. 65 00:03:50,580 --> 00:03:53,290 2'nin 5'inci kuvveti 32'dir. 66 00:03:53,300 --> 00:03:58,400 Yani bu terim 5 değil mi? 67 00:03:58,400 --> 00:04:02,740 Peki 2'nin kaçıncı kuvveti 256'dır? 68 00:04:02,750 --> 00:04:05,880 Eğer bir bilgisayar bilimleri öğrencisi olsaydınız, 69 00:04:05,880 --> 00:04:07,200 bunu anında cevaplardınız. 70 00:04:07,210 --> 00:04:10,460 Bir bit içerisinde 256 değer bulundurabilir. 71 00:04:10,460 --> 00:04:12,420 256, 2'nin 8'inci kuvvetidir. 72 00:04:12,430 --> 00:04:15,510 Fakat bunu bilmiyorsanız, kendi kendinize hesaplayabilirsiniz. 73 00:04:15,520 --> 00:04:16,700 Sonuçta 8 çıkacaktır. 74 00:04:16,700 --> 00:04:18,480 Bu işlemi yapmayacağım; çünkü fark ettim ki 75 00:04:18,490 --> 00:04:19,460 3 artı 5, zaten 8'e eşit. 76 00:04:19,470 --> 00:04:21,220 Bunu bağımsız olarak yapıyorum. 77 00:04:21,230 --> 00:04:22,290 Yani bu 8'e eşit. 78 00:04:22,300 --> 00:04:28,520 Fakat zaten görüyoruz ki 3 artı 5 8'e eşit. 79 00:04:28,520 --> 00:04:32,160 Bu size sihirli ya da bariz gelebilir. 80 00:04:32,170 --> 00:04:35,550 Siz bunu bariz bulanlar, büyük ihtimalle 81 00:04:35,560 --> 00:04:43,310 2'nin 3'üncü kuvveti çarpı 2'nin 5'inci kuvveti 82 00:04:43,310 --> 00:04:49,490 3 artı 5'e eşitti diye düşündünüz, değil mi? 83 00:04:49,500 --> 00:04:51,790 Bu aslında bir üslü sayılar kuralı 84 00:04:51,800 --> 00:04:52,670 Bunun adı nedir? 85 00:04:52,670 --> 00:04:54,740 Üslü toplama kuralı - Aslında bilmiyorum 86 00:04:54,750 --> 00:04:56,220 Kuralların isimlerini bilmem 87 00:04:56,220 --> 00:04:59,910 Ve bu da 2 üssü 8'e eşittir. 2 üssü 8. 88 00:04:59,920 --> 00:05:03,160 Bu tamamen yaptığımız şeyin aynısı, haksız mıyım? 89 00:05:03,160 --> 00:05:07,062 Bu tarafta, 2 üssü 3 çarpı 2 üssü 5 var, ve bu tarafta da bunların toplamı. 90 00:05:09,720 --> 00:05:12,840 Logaritmayı ilgi çekici yapan şey 91 00:05:12,850 --> 00:05:13,970 aslında başta biraz karışık olması. 92 00:05:13,970 --> 00:05:15,610 Eğer cidden sağlam bir açıklama istiyorsanız 93 00:05:15,620 --> 00:05:18,440 kanıt videolarımı izleyebilirsiniz ama onlar da çok sağlam kanıtlar değiller. 94 00:05:18,440 --> 00:05:19,930 Fakat bu çalışmaların daha net 95 00:05:19,930 --> 00:05:21,350 açıklamalarını isteyenler izleyebilir. 96 00:05:21,360 --> 00:05:23,480 Fakat umarım, bu yaptıklarımız size bu kuralın çıkış 97 00:05:23,480 --> 00:05:25,320 noktasıyla ilgili bir farkındalık kazandırmıştır. 98 00:05:25,320 --> 00:05:27,320 Çünkü aynı tabanlı iki sayıyı 99 00:05:27,320 --> 00:05:29,250 çarptığınızda 100 00:05:29,260 --> 00:05:31,710 yani aynı tabanlı iki üslü sayıyı çarptığınızda, 101 00:05:31,720 --> 00:05:33,550 aslında onların üstlerini toplarsınız. 102 00:05:33,560 --> 00:05:37,050 Benzer bir şekilde, herhangi iki sayını log'ları çarpıldığında da 103 00:05:37,050 --> 00:05:41,700 sonuç logaritmada içindeki sayıların birbirleriyle toplamlarına 104 00:05:41,700 --> 00:05:43,510 eşit olacaktır. 105 00:05:43,520 --> 00:05:45,800 Bu ikisi aynı özellikler. 106 00:05:45,810 --> 00:05:49,930 İnanmıyorsanız kanıt videolarını izleyin. 107 00:05:49,930 --> 00:05:56,360 Şimdi, bir tane daha özellik yapalım. 108 00:05:56,370 --> 00:05:58,220 Bu da oldukça benzer. 109 00:05:58,230 --> 00:05:59,390 Hatta bence neredeyse aynı 110 00:05:59,390 --> 00:06:10,440 Bu da log b tabanında a eksi log b tabanında c'nin 111 00:06:10,440 --> 00:06:17,030 log b tabanında - yer bitti.- 112 00:06:17,040 --> 00:06:19,290 - Yerim bitiyor.- log b tabanında a bölü c'ye eşit olduğu. 113 00:06:19,290 --> 00:06:21,540 a bölü c. 114 00:06:21,540 --> 00:06:25,230 Yine, bu kuralı sayılarla deneyebiliriz. 115 00:06:25,240 --> 00:06:28,610 2'yi çok fazla kullanıyorum, çünkü kuvvetlerinin bulunması 116 00:06:28,620 --> 00:06:29,790 açısından oldukça kolay. 117 00:06:29,790 --> 00:06:30,740 Fakat farklı bir sayı kullanalım 118 00:06:30,750 --> 00:06:41,190 Diyelim ki log 3 tabanında, bilmem ki ne yazsam, 119 00:06:41,190 --> 00:06:44,810 bu sefer farklı yapalım. 120 00:06:44,810 --> 00:06:56,920 log 3 tabanın 1 bölü 9 eksi log 3 tabanında 81. 121 00:06:56,930 --> 00:07:02,490 Bu özelliğe göre, bu ifade eşittir 122 00:07:02,500 --> 00:07:04,180 - Biraz büyük bir sayı - 123 00:07:04,180 --> 00:07:12,990 log 3 tabanında 1 bölü dokuz bölü 81. 124 00:07:12,990 --> 00:07:15,880 Bunu 1 bölü 9 çarpı bir bölü 81 olarak yazacağım. 125 00:07:15,880 --> 00:07:19,690 Sanırım biraz büyük sayılar seçtim 126 00:07:19,700 --> 00:07:21,310 ama devam ediyoruz. 127 00:07:21,310 --> 00:07:21,740 Bakalım. 128 00:07:21,750 --> 00:07:25,690 9 çarpı 8, 720'ye eşit. 129 00:07:25,690 --> 00:07:27,180 9 çarpı, evet. 130 00:07:27,180 --> 00:07:28,560 9 çarpı 8 eşittir 720. 131 00:07:28,570 --> 00:07:31,020 Yani bu 1 bölü 729. 132 00:07:31,030 --> 00:07:37,850 Bu da log 3 tabanında 1 bölü 729. 133 00:07:37,860 --> 00:07:42,160 Peki, 3'ün kaçıcı kuvveti 1 bölü 9'a eşit? 134 00:07:42,160 --> 00:07:45,330 3'ün karesi 9'dur ,değil mi? 135 00:07:45,330 --> 00:07:48,060 O zaman, 3'ün karesi 2'yse, biliyoruz ki 136 00:07:53,250 --> 00:07:56,940 3'ün -2'inci kuvveti 1 bölü 9'a eşit. 137 00:07:56,940 --> 00:07:58,180 Negatif sayı terimi tersine çevirir. 138 00:07:58,180 --> 00:08:02,150 Yani bu -2'ye eşit, doğru mu? 139 00:08:02,160 --> 00:08:06,110 Ve sonra, 3'ün kaçıncı kuvveti 81'e eşit? 140 00:08:06,120 --> 00:08:07,870 3 üzeri 3 27'dir. 141 00:08:07,870 --> 00:08:11,380 Yani 3 üzeri 4. 142 00:08:11,380 --> 00:08:15,860 Yani, -2 eksi 4 eşittir 143 00:08:15,870 --> 00:08:16,700 Bunu birkaç farklı yoldan yapabiliriz. 144 00:08:16,700 --> 00:08:20,510 -2 eksi 4, -6'ya eşittir. 145 00:08:20,520 --> 00:08:23,270 Şimdi kontrol etmemiz gereken şey, 3 üssü -6'nın 146 00:08:23,270 --> 00:08:26,070 1 bölü 729'ye eşit olduğu. 147 00:08:26,070 --> 00:08:26,880 İşte sorum. 148 00:08:26,880 --> 00:08:34,410 3'ün -6'ıncı kuvveti 1 bölü 729'a eşit midir? 149 00:08:34,420 --> 00:08:36,890 Bu 3 üssü 6'nın 729 olup olmadığını 150 00:08:36,890 --> 00:08:40,100 sormakla aynı şey; çünkü negatif sayı sonucu 151 00:08:40,110 --> 00:08:41,750 sadece tersine çeviriyor. 152 00:08:41,750 --> 00:08:42,580 Görelim. 153 00:08:42,590 --> 00:08:44,870 Bunu çarparak bulabiliriz. 154 00:08:44,870 --> 00:08:46,470 Olay da bu zaten. 155 00:08:46,480 --> 00:08:47,320 Bakalım. 156 00:08:47,320 --> 00:08:52,620 3 üssü 3 çarpı 3 üssü 3 157 00:08:52,620 --> 00:08:57,440 27 çarpı 27'ye eşittir. 158 00:08:57,450 --> 00:08:58,530 Bu oldukça yakın görünüyor. 159 00:08:58,530 --> 00:09:00,890 Ama bana inamıyorsanız, hesap makinesi ile 160 00:09:00,890 --> 00:09:02,330 kontrol edebilirsiniz. 161 00:09:02,340 --> 00:09:04,940 Evet, bu videoda bu kadar sürem var. 162 00:09:04,940 --> 00:09:07,490 Bir sonraki videoda size son iki 163 00:09:07,500 --> 00:09:08,670 logaritmik özelliği anlatacağım. 164 00:09:08,670 --> 00:09:12,480 Zaman kalırsa da belki 165 00:09:12,490 --> 00:09:13,440 örnek de yapabiliriz. 166 00:09:13,440 --> 00:09:15,110 Yakında görüşürüz.