Logaritmik özelliklerle ilgili olan bu sunuma hoşgeldiniz.
Bu sunum pratik kazanmak üzerine olacak.
Bu özelliklerden herhangi birinin doğru olduğuna inanmazsanız
ve kanıtlamak isterseniz diye üç veya 4 video yaptım
ve bu videolar bu özelliklerin kanıtları.
Sonra da size nasıl gösterileceğini kanıtlayacağım.
Bu birazcık daha zahmetli olacak.
O zaman logaritmanın ne olduğu konusunda biraz tekrar yapalım
Eğer "a" dersem ...
Yok, bu doğru değil. Değiştiriyorum.
Baştan başlayacağım.
a üssü b eşittir c.
evet, a üssü b c'ye eşit.
Bu ilişkinin aynısını üslü sayılarla yazmanın
bir başka yolu da, logaritma olarak yazmak.
Yani diyebiliriz ki, logaritma a tabanında
c b'ye eşittir.
Bunlar aslında aynı şeyleri temsil ediyorlar; ama sonuçları farklı. Mesela birinde a ve b'yi biliyorsun ve c'yi elde ediyorsun.
Kuvvet almanın sizin için yaptığı da bu.
Diğerinde ise a'yı biliyorsun ve kuvvetini herhangi bir
sayıya yükselttiğinde c'yi elde ettiğini biliyorsun.
Sonra da burdan b'yi bulursun.
Yani, ikisi de tamamen aynı ilişkiye sahip; ancak
farklı şekillerde ifade edilmişler.
Şimdi bazı ilginç logaritmik
özellikleri göstereceğim.
Aslında hepsi bu ilişkiden ve temel üslü sayılar kurallarından
ortaya çıkıyorlar.
İlk özellik: logaritma - Dahha canlı bir
renk kullanacağım -
Herhangi bir tabandaki logaritma ya da
taban için b diyebiliriz.
Logaritma b tabanında a artı logaritma be tabanında c
Bu kural sadece tabanlar aynıysa işler.
Bu önemli bir bilgi.
Bu işlem logaritma b tabanında a çarpı c'ye eşittir.
Şimdi, bu ne demektir ve bunu nasıl kullanabilriz?
Hadi şimdi bu kuralı bazı örneklerle
deneyelim.
Bu işlemin gösterdiği şey - Rengi değiştireceğim -
Bu kullanacağım renk leylak.
Bu renk benim örnek
rengim olsun.
Mesela, logaritma 2 tabanında 8 artı
logaritma 2 tabanında 32.
Eğer bu özelliğe güveniyorsak, teoride, bu işlemin
sonucu logaritma 2 tabanında ne olmalı?
8 çarpı 32 olmalı.
Yani 8 kere 32 200 ve 40 ve 16'dan 256 eder.
O zaman eğer ki bu doğruysa,
Şu anda sadece sayıları deniyorum, bu bir kanıt değil.
Fakat bence yine de size anlatmakla ilgili
biraz içgüdüsel hareket edeceğim.
Az önce aslında size göstermiş olduğum
özelliği kullandık.
Şimde bakalım işe yarayacak mı?
log 2 tabanında 8.
2' nin kaçıncı kuvveti 8'e eşittir?
2 üzeri 3 8'dir değil mi?
O zaman bu terim 3'e eşittir, doğru mu?
Log 2 tabanında 8, 3'e eşittir.
2'nin kaçıncı kuvveti 32'ye eşittir?
Bakalım
2'nin 4'üncü kuvveti 16.
2'nin 5'inci kuvveti 32'dir.
Yani bu terim 5 değil mi?
Peki 2'nin kaçıncı kuvveti 256'dır?
Eğer bir bilgisayar bilimleri öğrencisi olsaydınız,
bunu anında cevaplardınız.
Bir bit içerisinde 256 değer bulundurabilir.
256, 2'nin 8'inci kuvvetidir.
Fakat bunu bilmiyorsanız, kendi kendinize hesaplayabilirsiniz.
Sonuçta 8 çıkacaktır.
Bu işlemi yapmayacağım; çünkü fark ettim ki
3 artı 5, zaten 8'e eşit.
Bunu bağımsız olarak yapıyorum.
Yani bu 8'e eşit.
Fakat zaten görüyoruz ki 3 artı 5 8'e eşit.
Bu size sihirli ya da bariz gelebilir.
Siz bunu bariz bulanlar, büyük ihtimalle
2'nin 3'üncü kuvveti çarpı 2'nin 5'inci kuvveti
3 artı 5'e eşitti diye düşündünüz, değil mi?
Bu aslında bir üslü sayılar kuralı
Bunun adı nedir?
Üslü toplama kuralı - Aslında bilmiyorum
Kuralların isimlerini bilmem
Ve bu da 2 üssü 8'e eşittir. 2 üssü 8.
Bu tamamen yaptığımız şeyin aynısı, haksız mıyım?
Bu tarafta, 2 üssü 3 çarpı 2 üssü 5 var, ve bu tarafta da bunların toplamı.
Logaritmayı ilgi çekici yapan şey
aslında başta biraz karışık olması.
Eğer cidden sağlam bir açıklama istiyorsanız
kanıt videolarımı izleyebilirsiniz ama onlar da çok sağlam kanıtlar değiller.
Fakat bu çalışmaların daha net
açıklamalarını isteyenler izleyebilir.
Fakat umarım, bu yaptıklarımız size bu kuralın çıkış
noktasıyla ilgili bir farkındalık kazandırmıştır.
Çünkü aynı tabanlı iki sayıyı
çarptığınızda
yani aynı tabanlı iki üslü sayıyı çarptığınızda,
aslında onların üstlerini toplarsınız.
Benzer bir şekilde, herhangi iki sayını log'ları çarpıldığında da
sonuç logaritmada içindeki sayıların birbirleriyle toplamlarına
eşit olacaktır.
Bu ikisi aynı özellikler.
İnanmıyorsanız kanıt videolarını izleyin.
Şimdi, bir tane daha özellik yapalım.
Bu da oldukça benzer.
Hatta bence neredeyse aynı
Bu da log b tabanında a eksi log b tabanında c'nin
log b tabanında - yer bitti.-
- Yerim bitiyor.- log b tabanında a bölü c'ye eşit olduğu.
a bölü c.
Yine, bu kuralı sayılarla deneyebiliriz.
2'yi çok fazla kullanıyorum, çünkü kuvvetlerinin bulunması
açısından oldukça kolay.
Fakat farklı bir sayı kullanalım
Diyelim ki log 3 tabanında, bilmem ki ne yazsam,
bu sefer farklı yapalım.
log 3 tabanın 1 bölü 9 eksi log 3 tabanında 81.
Bu özelliğe göre, bu ifade eşittir
- Biraz büyük bir sayı -
log 3 tabanında 1 bölü dokuz bölü 81.
Bunu 1 bölü 9 çarpı bir bölü 81 olarak yazacağım.
Sanırım biraz büyük sayılar seçtim
ama devam ediyoruz.
Bakalım.
9 çarpı 8, 720'ye eşit.
9 çarpı, evet.
9 çarpı 8 eşittir 720.
Yani bu 1 bölü 729.
Bu da log 3 tabanında 1 bölü 729.
Peki, 3'ün kaçıcı kuvveti 1 bölü 9'a eşit?
3'ün karesi 9'dur ,değil mi?
O zaman, 3'ün karesi 2'yse, biliyoruz ki
3'ün -2'inci kuvveti 1 bölü 9'a eşit.
Negatif sayı terimi tersine çevirir.
Yani bu -2'ye eşit, doğru mu?
Ve sonra, 3'ün kaçıncı kuvveti 81'e eşit?
3 üzeri 3 27'dir.
Yani 3 üzeri 4.
Yani, -2 eksi 4 eşittir
Bunu birkaç farklı yoldan yapabiliriz.
-2 eksi 4, -6'ya eşittir.
Şimdi kontrol etmemiz gereken şey, 3 üssü -6'nın
1 bölü 729'ye eşit olduğu.
İşte sorum.
3'ün -6'ıncı kuvveti 1 bölü 729'a eşit midir?
Bu 3 üssü 6'nın 729 olup olmadığını
sormakla aynı şey; çünkü negatif sayı sonucu
sadece tersine çeviriyor.
Görelim.
Bunu çarparak bulabiliriz.
Olay da bu zaten.
Bakalım.
3 üssü 3 çarpı 3 üssü 3
27 çarpı 27'ye eşittir.
Bu oldukça yakın görünüyor.
Ama bana inamıyorsanız, hesap makinesi ile
kontrol edebilirsiniz.
Evet, bu videoda bu kadar sürem var.
Bir sonraki videoda size son iki
logaritmik özelliği anlatacağım.
Zaman kalırsa da belki
örnek de yapabiliriz.
Yakında görüşürüz.