WEBVTT

00:00:00.780 --> 00:00:02.220
We zijn bij vraag 53

00:00:02.220 --> 00:00:04.820
Er staat dat Toni een vergelijking oplost door de volgende stappen.

00:00:04.820 --> 00:00:08.430
De vergelijking is ax kwadraat plus bx plus c is gelijk aan nul, waarbij a

00:00:08.430 --> 00:00:09.325
groter dan nul is.

00:00:09.325 --> 00:00:11.525
Dit is dus een standaard kwadratische vergelijking.

00:00:11.525 --> 00:00:13.550
Laten we kijken wat ze gedaan hebben.

00:00:13.550 --> 00:00:17.660
Allereerst heeft hij aan beide kanten c afgetrokken wat resulteert in ax

00:00:17.660 --> 00:00:20.950
kwadraat plus bx is gelijk aan min c.

00:00:20.950 --> 00:00:22.570
Ok dat is duidelijk.

00:00:22.570 --> 00:00:23.380
En dan..

00:00:23.380 --> 00:00:26.410
Hij deelde beide kanten door a.

00:00:26.410 --> 00:00:27.530
Ok, dat is logisch.

00:00:27.530 --> 00:00:28.800
Dan krijgt hij min c/a.

00:00:28.800 --> 00:00:30.970
Welke stap is Stap 3 in de oplossing?

00:00:30.970 --> 00:00:32.159
Hij lost dus het kwadraat op.

00:00:32.159 --> 00:00:37.260
Dus in feite wil hij dit een perfect kwadraat maken.

00:00:37.260 --> 00:00:39.870
Laten we zien hoe we dat kunnen doen.

00:00:39.870 --> 00:00:46.783
We hebben dus x in het kwadraat plus b/a x -- en ik laat hier even

00:00:46.783 --> 00:00:52.020
wat ruimte vrij -- is gelijk aan min c/a.

00:00:52.020 --> 00:00:54.110
Dus om dit een heel kwadraat te laten zijn, moeten we iets optellen,

00:00:54.110 --> 00:00:56.810
we moeten een getal hierbij optellen.

00:00:56.810 --> 00:01:00.190
En we hebben het hier al over gehad in een aantal videos waarin we het

00:01:00.190 --> 00:01:00.860
een soort van hebben bewezen.

00:01:00.860 --> 00:01:03.710
Ik heb zelf een aantal videos die zich enkel richten

00:01:03.710 --> 00:01:04.730
op het oplossen van een kwadraad.

00:01:04.730 --> 00:01:08.010
Het komt er op neer, dat je van dit getal

00:01:08.010 --> 00:01:09.830
de helft ervan in het kwadraat zet en dat erbij optelt.

00:01:09.830 --> 00:01:12.340
Wanneer je dit niet begrijpt, kan je het Khan Academy filmpje

00:01:12.340 --> 00:01:13.680
kijken dat "completing the square" heet.

00:01:13.680 --> 00:01:16.340
Maar wat is de helft van b/a?

00:01:16.340 --> 00:01:17.590
Nou, dat is b gedeeld door 2a

00:01:19.780 --> 00:01:26.510
Dus 1/2 keer b/a is hetzelfde als b gedeeld door 2a.

00:01:26.510 --> 00:01:28.115
Daarna willen we dit in het kwadraad optellen bij de originele formule.

00:01:28.115 --> 00:01:30.330
Dus laten we het aan beide kanten van de formule invullen.

00:01:30.330 --> 00:01:36.860
We hebben dus aan de linker kant x kwadraat plus b/a x.

00:01:36.860 --> 00:01:38.830
En we willen dit in het kwadraat optellen.

00:01:38.830 --> 00:01:47.980
plus (b/2a)² is gelijk aan min c/a.

00:01:47.980 --> 00:01:49.940
Wat je ook aan de ene kant van de formule opteld,

00:01:49.940 --> 00:01:50.580
moet je ook aan de andere kant optellen.

00:01:50.580 --> 00:01:52.090
Dus we moeten het aan beide kanten optellen.

00:01:52.090 --> 00:01:57.220
+ ( b / 2a ) ²

00:01:57.220 --> 00:01:59.580
Dus laten we kijken of het het probleem zo ver als we willen

00:01:59.580 --> 00:02:00.943
hebben opgelost.

00:02:00.943 --> 00:02:02.760
x, b gedeeld door 2 -- Ok.

00:02:02.760 --> 00:02:05.640
Dat is precies wat we deden. x kwadraat plus b/a

00:02:05.640 --> 00:02:07.720
plus (b / 2a) ², en dan tellen ze het aan beide kant van de formule op.

00:02:07.720 --> 00:02:09.560
dus D is het goede antwoord.

00:02:09.560 --> 00:02:11.290
Nu, wanneer je dit allemaal een beetje verwarrend vindt, of als

00:02:11.290 --> 00:02:12.400
het niet intuïtief voor je was, dan wil ik je niet

00:02:12.400 --> 00:02:13.350
alle stappen uit je hoofd te laten leren.

00:02:13.350 --> 00:02:17.730
Bekijk dan het filmpje op Khanacademy dat "completing the square" heet.

00:02:17.730 --> 00:02:19.970
Het volgende probleem, 56.

00:02:19.970 --> 00:02:22.480
Nee, 54

00:02:22.480 --> 00:02:24.790
Ok, de volgende moet ook worden geknipt en plakt.

00:02:29.810 --> 00:02:32.490
Ok, de vier stappen om de kwadratische formule op te lossen

00:02:32.490 --> 00:02:33.000
staan hier beneden afgebeeld.

00:02:33.000 --> 00:02:36.490
Ik zei in vorige filmpjes dat je de kwadratische formule kan afleiden

00:02:36.490 --> 00:02:37.830
door alles te kwadrateren.

00:02:37.830 --> 00:02:39.090
Dat zullen we in een ander filmpje wel doen.

00:02:39.090 --> 00:02:41.080
Ik wil de andere filmpjes niet te veel in de weg zitten,

00:02:41.080 --> 00:02:42.410
maar laten we kijken wat ze hier willen doen.

00:02:42.410 --> 00:02:44.630
Wat is de goede volgorde van stappen?

00:02:44.630 --> 00:02:47.500
Dus het eerste dat je wilt doen is beginnen met een simpele

00:02:47.500 --> 00:02:48.900
kwadratische formule.

00:02:48.900 --> 00:02:52.900
Dit is dus de stap 1.

00:02:52.900 --> 00:02:57.060
Dit is ook waar we mee begonnen in het vorige probleem.

00:02:57.060 --> 00:02:59.870
Wat je dan wilt doen, is de helft van dit in het kwadraat optellen,

00:02:59.870 --> 00:03:01.210
aan beide kanten

00:03:01.210 --> 00:03:05.040
dus (b / 2a) ² wil je aan beide kanten optellen

00:03:05.040 --> 00:03:06.360
en dat is precies wat ze hier deden.

00:03:06.360 --> 00:03:08.012
Dus de volgorde is I

00:03:08.012 --> 00:03:10.440
en dan nemen we IV.

00:03:10.440 --> 00:03:13.620
Net zoals we bij het vorige probleem deden.

00:03:13.620 --> 00:03:15.860
We deden IV.

00:03:15.860 --> 00:03:19.110
Vanaf hier weten we dat de formule klopt

00:03:19.110 --> 00:03:23.740
Hier gaat het gelijk worden aan x plus b gedeeld door 2a in het kwadraat.

00:03:23.740 --> 00:03:25.490
en nog een keer, kijk het filmpje "completing the squared"

00:03:25.490 --> 00:03:26.640
wanneer je het niet begrijpt.

00:03:26.640 --> 00:03:29.170
De reden dat je het hier toevoegde, is zodat je weet dat,

00:03:29.170 --> 00:03:31.780
welke twee getallen, wanneer we zebeide vermenigvuldigen met

00:03:31.780 --> 00:03:35.480
b gedeeld door 2a in het kwadraat en optellen met b/a

00:03:35.480 --> 00:03:37.250
nou, dat is natuurlijk b gedeeld door 2a.

00:03:37.250 --> 00:03:39.100
wanneer je het twee keer opteld, krijg je b / a.

00:03:39.100 --> 00:03:40.982
Wanneer je het kwadrateerd, krijg je deze hele uitdrukking.

00:03:40.982 --> 00:03:44.560
Dus je zegt, oh, dit is gewoon x + ( b / 2a ) ² en dat

00:03:44.560 --> 00:03:45.690
krijg je hier.

00:03:45.690 --> 00:03:48.840
en dan is het gelijk aan -- en dan vereenvoudig je

00:03:48.840 --> 00:03:49.950
deze breuk.

00:03:49.950 --> 00:03:52.160
Ze vonden een overeenkomende noemer en al dat soort dingen.

00:03:52.160 --> 00:03:54.170
Dus de volgende stap is stap II.

00:03:54.170 --> 00:03:55.800
Het enige wat er nog over blijft is stap III.

00:03:55.800 --> 00:03:58.970
Dus we inmiddels behoorlijk de kwadratische formule afgeleidt.

00:03:58.970 --> 00:04:00.450
Dus I, IV, II, III.

00:04:03.410 --> 00:04:04.660
Dat is optie A

00:04:06.990 --> 00:04:10.520
Probleem 55.

00:04:10.520 --> 00:04:14.450
Welke van de oplossingen -- OK, ik zal alle

00:04:14.450 --> 00:04:15.700
oplossingen opschrijven.

00:04:19.180 --> 00:04:21.089
Welke van deze antwoorden is één van de oplossingen voor de formule?

00:04:21.089 --> 00:04:22.670
Onmiddelijk wanneer je al deze opties ziet, is dat

00:04:22.670 --> 00:04:24.170
ze allemaal een wortel in zich hebben.

00:04:24.170 --> 00:04:25.420
Dat is niet iets dat je zou delen.

00:04:25.420 --> 00:04:26.950
Je zal een kwadraat gebruiken.

00:04:26.950 --> 00:04:27.670
Dus laten we dat doen.

00:04:27.670 --> 00:04:34.510
De kwadratische vergelijking is, als dit Ax²

00:04:34.510 --> 00:04:37.370
plus bx plus c gelijk is aan 0.

00:04:37.370 --> 00:04:40.270
De kwadratische vergelijking is min b.

00:04:40.270 --> 00:04:41.270
Nou, zij doen het niet in hoofdletters.

00:04:41.270 --> 00:04:47.280
plus of min de wortel van b kwadraat - 4ac

00:04:47.280 --> 00:04:48.500
en dat alles gedeeld door 2a.

00:04:48.500 --> 00:04:51.250
En dat komt van het afmaken van het kwadraat van dit,

00:04:51.250 --> 00:04:53.440
maar laten we dat in een ander filmpje behandelen.

00:04:53.440 --> 00:04:54.540
Laten we het invullen.

00:04:54.540 --> 00:04:56.170
Wat is b?

00:04:56.170 --> 00:04:58.310
b is -1, toch?

00:04:58.310 --> 00:05:01.870
dus - - 1, dat is plus 1.

00:05:01.870 --> 00:05:05.220
plus of min de wortel van b kwadraat.

00:05:05.220 --> 00:05:08.290
min 1 kwadraat is 1

00:05:08.290 --> 00:05:12.220
min 4 keer a

00:05:12.220 --> 00:05:13.560
a is 2

00:05:13.560 --> 00:05:15.030
keer 2

00:05:15.030 --> 00:05:16.040
keer c

00:05:16.040 --> 00:05:18.080
c is min 4

00:05:18.080 --> 00:05:21.690
dus keer min 4

00:05:21.690 --> 00:05:23.930
dat alles gedeeld door 2a

00:05:23.930 --> 00:05:25.995
a is 2, dus 2 keer is 4.

00:05:25.995 --> 00:05:31.540
dus dat wordt 1 plus of min de wortel

00:05:31.540 --> 00:05:32.560
dus we hebben 1

00:05:32.560 --> 00:05:36.170
we hebben min 4 keer a 2 keer a min 4.

00:05:36.170 --> 00:05:39.530
Dat is het zelfde als a plus 4 keer 2 a plus 4

00:05:39.530 --> 00:05:41.490
laten we de min er uit halen

00:05:41.490 --> 00:05:42.490
dus het is plus

00:05:42.490 --> 00:05:45.210
er zit geen min in.

00:05:45.210 --> 00:05:47.670
4 keer 2 is 8

00:05:47.670 --> 00:05:48.860
keer 4 is 32

00:05:48.860 --> 00:05:52.140
plus 1 is 33

00:05:52.140 --> 00:05:53.840
dan alles gedeeld door 4

00:05:53.840 --> 00:05:56.030
maar we zijn nog niet klaar.

00:05:56.030 --> 00:05:58.740
ze zeggen, welk van deze antwoorden is een van de goede oplossingen?

00:05:58.740 --> 00:06:00.200
laten we kijken.

00:06:00.200 --> 00:06:03.080
we willen dit versimpelen

00:06:03.080 --> 00:06:04.770
Dat staat hier.

00:06:04.770 --> 00:06:06.800
we hebben namelijk 1 plus of min de wortel

00:06:06.800 --> 00:06:07.750
van 33 gedeeld door 4.

00:06:07.750 --> 00:06:08.740
Zij hebben er maar één opgeschreven.

00:06:08.740 --> 00:06:11.300
Zij hebben de plus opgeschreven.

00:06:11.300 --> 00:06:12.800
dus C is één van de oplossingen.

00:06:12.800 --> 00:06:15.310
De andere oplossingen is dus als je hier een min teken van maakt.

00:06:15.310 --> 00:06:17.600
Ok, volgende probleem.

00:06:17.600 --> 00:06:24.810
56.

00:06:24.810 --> 00:06:26.960
Nog eentje die we moeten knippen en plakken.

00:06:29.670 --> 00:06:33.280
Er staat, welke stelling verklaard het best waarom er geen

00:06:33.280 --> 00:06:36.010
oplossing is voor deze kwadratische vergelijking.

00:06:36.010 --> 00:06:39.670
Ok, ik gok al waarom dit geen oplossing kan hebben

00:06:39.670 --> 00:06:40.960
Ok, ik gok al waarom dit geen oplossing kan hebben

00:06:40.960 --> 00:06:43.700
Maar over het algemeen -- laten we kijken naar de abc-formule

00:06:43.700 --> 00:06:44.870
Voordat we ook maar kijken naar dit probleem

00:06:44.870 --> 00:06:45.480
laten we een idee krijgen

00:06:45.480 --> 00:06:49.260
het is een negtieve b, blus of min de wortel van b kwadraat

00:06:49.260 --> 00:06:55.520
min 4ac, en dat alles gedeelt door 2a.

00:06:55.520 --> 00:06:59.310
Mijn vraag is, wanneer kan dit niet?

00:06:59.310 --> 00:07:02.075
Je weet, dit zal werken met elke b en elke 2a.

00:07:02.075 --> 00:07:05.400
Maar wanneer valt die wortel uit elkaar,

00:07:05.400 --> 00:07:06.920
tenminste bij reeële getallen

00:07:06.920 --> 00:07:08.200
en dat is een hint.

00:07:08.200 --> 00:07:12.050
Nou, dat is wanneer je negatieve getallen onder een wortel hebt staan.

00:07:12.050 --> 00:07:13.820
Wanneer je een negatief getal onder een wortel hebt staan,

00:07:13.820 --> 00:07:16.230
als je nog niet over imaginaire getallen hebt geleerd,

00:07:16.230 --> 00:07:17.810
dan weet je niet wat je moet doen.

00:07:17.810 --> 00:07:20.320
er is geen reeële oplossing voor deze kwadratische vergelijking.

00:07:20.320 --> 00:07:25.210
dus als b² - 4ac minder is dan

00:07:25.210 --> 00:07:26.810
0, kom je in de problemen

00:07:26.810 --> 00:07:28.540
Er is geen reeële oplossing.

00:07:28.540 --> 00:07:30.420
je kan geen wortel nemen van een negatief getal

00:07:30.420 --> 00:07:32.090
je kan geen wortel nemen van een negatief getal

00:07:32.090 --> 00:07:34.730
Dus dat gaat waarschijnlijk het probleem worden.

00:07:34.730 --> 00:07:36.970
Laten we kijken wat b² - 4ac is.

00:07:36.970 --> 00:07:38.410
je hebt b is 1

00:07:38.410 --> 00:07:44.320
dus 1 min 4 keer a

00:07:44.320 --> 00:07:46.410
a is 2

00:07:46.410 --> 00:07:49.030
2 keer c is 7

00:07:49.030 --> 00:07:51.680
En, zoals verwacht, 1 min 4 keer 2 keer is kleiner dan 0

00:07:51.680 --> 00:07:53.330
En, zoals verwacht, 1 min 4 keer 2 keer is kleiner dan 0

00:07:53.330 --> 00:07:55.610
laten we kijken wat er uit komt

00:07:55.610 --> 00:07:57.890
Ok de waarde van 1 kwadraat -- oh ja.

00:07:57.890 --> 00:07:59.080
het is b kwadraat

00:07:59.080 --> 00:08:00.520
tja, 1 kwadraat is 1

00:08:00.520 --> 00:08:03.000
1 kwadraat min 4 keer 2 keer 7,

00:08:03.000 --> 00:08:04.090
is inderdaad negatief

00:08:04.090 --> 00:08:06.150
daarom hebben we geen reeël getal

00:08:06.150 --> 00:08:09.270
als oplossing voor deze vergelijking.

00:08:09.270 --> 00:08:10.100
Volgende probleem.

00:08:10.100 --> 00:08:11.350
Ik heb geen ruimte meer over.

00:08:15.520 --> 00:08:17.360
Ok, ze willen de oplossing voor deze

00:08:17.360 --> 00:08:18.400
tweede graads vergelijking weten

00:08:18.400 --> 00:08:20.210
Laat ik het gewoon knippen en plakken.

00:08:22.960 --> 00:08:25.250
Dus dat is in essentie het aantal x'en dat

00:08:25.250 --> 00:08:28.020
in deze formule een oplossing hebben.

00:08:28.020 --> 00:08:30.480
en dat is natuurlijk, voor elke x die je invoert, de linker kant

00:08:30.480 --> 00:08:31.630
zal gelijk zijn aan 0.

00:08:31.630 --> 00:08:32.990
welke x'en komen uit?

00:08:32.990 --> 00:08:34.929
Ze willen dat we gewoo de abc-regel toepassen.

00:08:34.929 --> 00:08:37.600
we hebben het aan een aantal keer opgeschreven, maar laten we het nog een keer doen.

00:08:37.600 --> 00:08:38.250
we hebben het aan een aantal keer opgeschreven, maar laten we het nog een keer doen.

00:08:38.250 --> 00:08:39.919
dus het is min b

00:08:39.919 --> 00:08:41.169
b is 2

00:08:41.169 --> 00:08:44.169
dus min 2 plus of min

00:08:44.169 --> 00:08:45.740
de wortel van b kwadraat

00:08:45.740 --> 00:08:47.970
nou, dat is 2 kwadraat

00:08:47.970 --> 00:08:51.520
min 4 keer a

00:08:51.520 --> 00:08:53.410
a is 8

00:08:53.410 --> 00:08:56.070
keer c, die is 1

00:08:56.070 --> 00:08:58.560
en dat alles gedeeld door 2 keer a

00:08:58.560 --> 00:09:03.800
dus 2 keer 8, wat gelijk is aan min 2 plus of min

00:09:03.800 --> 00:09:11.215
de wortel van 4 -- even kijken

00:09:11.215 --> 00:09:13.040
heb ik het opgeschreven?

00:09:13.040 --> 00:09:21.160
min b plus of min de wortel van b² min

00:09:21.160 --> 00:09:23.650
4 keer a keer c

00:09:23.650 --> 00:09:24.270
ok

00:09:24.270 --> 00:09:28.890
dus je hebt 4 min 32

00:09:28.890 --> 00:09:30.900
dat is waarom ik keek of ik het goed deed,

00:09:30.900 --> 00:09:32.460
omdat ik hier een negatief getal krijg.

00:09:32.460 --> 00:09:34.700
al dat gedeeld door 16.

00:09:34.700 --> 00:09:36.690
dus we komen op het zelfde probleem

00:09:36.690 --> 00:09:39.480
als daarnet. 4 min 32, we eindigen met min 2

00:09:39.480 --> 00:09:43.785
plus of min de wortel van min 28 gedeeld door 16.

00:09:43.785 --> 00:09:46.200
we hebben het hier over reële getallenn, er is dus

00:09:46.200 --> 00:09:47.080
geen oplossing.

00:09:47.080 --> 00:09:47.950
In het begin dacht ik dat

00:09:47.950 --> 00:09:49.650
ik een fout had gemaakt of dat het boek een fout had gemaakt

00:09:49.650 --> 00:09:50.360
in de probleemstelling.

00:09:50.360 --> 00:09:52.460
Maar als ik kijk naar de oplossingen

00:09:52.460 --> 00:09:53.440
geven ze aan bij optie D

00:09:53.440 --> 00:09:56.500
laat me het even kopiëren

00:09:56.500 --> 00:09:57.350
optie D

00:09:57.350 --> 00:09:58.370
Geen oplossingen mogelijk.

00:09:58.370 --> 00:10:00.780
Dat is ons antwoord, omdat je geen wortel kan nemen

00:10:00.780 --> 00:10:05.860
van een negatief getal en tegelijkertijd bij de reële getallen blijven.

00:10:05.860 --> 00:10:07.620
Ok, hebben we nog tijd voor nog een probleem?

00:10:07.620 --> 00:10:09.910
Ik zit over de 10 minuten.

00:10:09.910 --> 00:10:11.330
Ik zal wachten tot het volgende filmpje.

00:10:11.330 --> 00:10:12.580
Tot de volgende keer