1
00:00:00,780 --> 00:00:02,220
We zijn bij vraag 53

2
00:00:02,220 --> 00:00:04,820
Er staat dat Toni een vergelijking oplost door de volgende stappen.

3
00:00:04,820 --> 00:00:08,430
De vergelijking is ax kwadraat plus bx plus c is gelijk aan nul, waarbij a

4
00:00:08,430 --> 00:00:09,325
groter dan nul is.

5
00:00:09,325 --> 00:00:11,525
Dit is dus een standaard kwadratische vergelijking.

6
00:00:11,525 --> 00:00:13,550
Laten we kijken wat ze gedaan hebben.

7
00:00:13,550 --> 00:00:17,660
Allereerst heeft hij aan beide kanten c afgetrokken wat resulteert in ax

8
00:00:17,660 --> 00:00:20,950
kwadraat plus bx is gelijk aan min c.

9
00:00:20,950 --> 00:00:22,570
Ok dat is duidelijk.

10
00:00:22,570 --> 00:00:23,380
En dan..

11
00:00:23,380 --> 00:00:26,410
Hij deelde beide kanten door a.

12
00:00:26,410 --> 00:00:27,530
Ok, dat is logisch.

13
00:00:27,530 --> 00:00:28,800
Dan krijgt hij min c/a.

14
00:00:28,800 --> 00:00:30,970
Welke stap is Stap 3 in de oplossing?

15
00:00:30,970 --> 00:00:32,159
Hij lost dus het kwadraat op.

16
00:00:32,159 --> 00:00:37,260
Dus in feite wil hij dit een perfect kwadraat maken.

17
00:00:37,260 --> 00:00:39,870
Laten we zien hoe we dat kunnen doen.

18
00:00:39,870 --> 00:00:46,783
We hebben dus x in het kwadraat plus b/a x -- en ik laat hier even

19
00:00:46,783 --> 00:00:52,020
wat ruimte vrij -- is gelijk aan min c/a.

20
00:00:52,020 --> 00:00:54,110
Dus om dit een heel kwadraat te laten zijn, moeten we iets optellen,

21
00:00:54,110 --> 00:00:56,810
we moeten een getal hierbij optellen.

22
00:00:56,810 --> 00:01:00,190
En we hebben het hier al over gehad in een aantal videos waarin we het

23
00:01:00,190 --> 00:01:00,860
een soort van hebben bewezen.

24
00:01:00,860 --> 00:01:03,710
Ik heb zelf een aantal videos die zich enkel richten

25
00:01:03,710 --> 00:01:04,730
op het oplossen van een kwadraad.

26
00:01:04,730 --> 00:01:08,010
Het komt er op neer, dat je van dit getal

27
00:01:08,010 --> 00:01:09,830
de helft ervan in het kwadraat zet en dat erbij optelt.

28
00:01:09,830 --> 00:01:12,340
Wanneer je dit niet begrijpt, kan je het Khan Academy filmpje

29
00:01:12,340 --> 00:01:13,680
kijken dat "completing the square" heet.

30
00:01:13,680 --> 00:01:16,340
Maar wat is de helft van b/a?

31
00:01:16,340 --> 00:01:17,590
Nou, dat is b gedeeld door 2a

32
00:01:19,780 --> 00:01:26,510
Dus 1/2 keer b/a is hetzelfde als b gedeeld door 2a.

33
00:01:26,510 --> 00:01:28,115
Daarna willen we dit in het kwadraad optellen bij de originele formule.

34
00:01:28,115 --> 00:01:30,330
Dus laten we het aan beide kanten van de formule invullen.

35
00:01:30,330 --> 00:01:36,860
We hebben dus aan de linker kant x kwadraat plus b/a x.

36
00:01:36,860 --> 00:01:38,830
En we willen dit in het kwadraat optellen.

37
00:01:38,830 --> 00:01:47,980
plus (b/2a)² is gelijk aan min c/a.

38
00:01:47,980 --> 00:01:49,940
Wat je ook aan de ene kant van de formule opteld,

39
00:01:49,940 --> 00:01:50,580
moet je ook aan de andere kant optellen.

40
00:01:50,580 --> 00:01:52,090
Dus we moeten het aan beide kanten optellen.

41
00:01:52,090 --> 00:01:57,220
+ ( b / 2a ) ²

42
00:01:57,220 --> 00:01:59,580
Dus laten we kijken of het het probleem zo ver als we willen

43
00:01:59,580 --> 00:02:00,943
hebben opgelost.

44
00:02:00,943 --> 00:02:02,760
x, b gedeeld door 2 -- Ok.

45
00:02:02,760 --> 00:02:05,640
Dat is precies wat we deden. x kwadraat plus b/a

46
00:02:05,640 --> 00:02:07,720
plus (b / 2a) ², en dan tellen ze het aan beide kant van de formule op.

47
00:02:07,720 --> 00:02:09,560
dus D is het goede antwoord.

48
00:02:09,560 --> 00:02:11,290
Nu, wanneer je dit allemaal een beetje verwarrend vindt, of als

49
00:02:11,290 --> 00:02:12,400
het niet intuïtief voor je was, dan wil ik je niet

50
00:02:12,400 --> 00:02:13,350
alle stappen uit je hoofd te laten leren.

51
00:02:13,350 --> 00:02:17,730
Bekijk dan het filmpje op Khanacademy dat "completing the square" heet.

52
00:02:17,730 --> 00:02:19,970
Het volgende probleem, 56.

53
00:02:19,970 --> 00:02:22,480
Nee, 54

54
00:02:22,480 --> 00:02:24,790
Ok, de volgende moet ook worden geknipt en plakt.

55
00:02:29,810 --> 00:02:32,490
Ok, de vier stappen om de kwadratische formule op te lossen

56
00:02:32,490 --> 00:02:33,000
staan hier beneden afgebeeld.

57
00:02:33,000 --> 00:02:36,490
Ik zei in vorige filmpjes dat je de kwadratische formule kan afleiden

58
00:02:36,490 --> 00:02:37,830
door alles te kwadrateren.

59
00:02:37,830 --> 00:02:39,090
Dat zullen we in een ander filmpje wel doen.

60
00:02:39,090 --> 00:02:41,080
Ik wil de andere filmpjes niet te veel in de weg zitten,

61
00:02:41,080 --> 00:02:42,410
maar laten we kijken wat ze hier willen doen.

62
00:02:42,410 --> 00:02:44,630
Wat is de goede volgorde van stappen?

63
00:02:44,630 --> 00:02:47,500
Dus het eerste dat je wilt doen is beginnen met een simpele

64
00:02:47,500 --> 00:02:48,900
kwadratische formule.

65
00:02:48,900 --> 00:02:52,900
Dit is dus de stap 1.

66
00:02:52,900 --> 00:02:57,060
Dit is ook waar we mee begonnen in het vorige probleem.

67
00:02:57,060 --> 00:02:59,870
Wat je dan wilt doen, is de helft van dit in het kwadraat optellen,

68
00:02:59,870 --> 00:03:01,210
aan beide kanten

69
00:03:01,210 --> 00:03:05,040
dus (b / 2a) ² wil je aan beide kanten optellen

70
00:03:05,040 --> 00:03:06,360
en dat is precies wat ze hier deden.

71
00:03:06,360 --> 00:03:08,012
Dus de volgorde is I

72
00:03:08,012 --> 00:03:10,440
en dan nemen we IV.

73
00:03:10,440 --> 00:03:13,620
Net zoals we bij het vorige probleem deden.

74
00:03:13,620 --> 00:03:15,860
We deden IV.

75
00:03:15,860 --> 00:03:19,110
Vanaf hier weten we dat de formule klopt

76
00:03:19,110 --> 00:03:23,740
Hier gaat het gelijk worden aan x plus b gedeeld door 2a in het kwadraat.

77
00:03:23,740 --> 00:03:25,490
en nog een keer, kijk het filmpje "completing the squared"

78
00:03:25,490 --> 00:03:26,640
wanneer je het niet begrijpt.

79
00:03:26,640 --> 00:03:29,170
De reden dat je het hier toevoegde, is zodat je weet dat,

80
00:03:29,170 --> 00:03:31,780
welke twee getallen, wanneer we zebeide vermenigvuldigen met

81
00:03:31,780 --> 00:03:35,480
b gedeeld door 2a in het kwadraat en optellen met b/a

82
00:03:35,480 --> 00:03:37,250
nou, dat is natuurlijk b gedeeld door 2a.

83
00:03:37,250 --> 00:03:39,100
wanneer je het twee keer opteld, krijg je b / a.

84
00:03:39,100 --> 00:03:40,982
Wanneer je het kwadrateerd, krijg je deze hele uitdrukking.

85
00:03:40,982 --> 00:03:44,560
Dus je zegt, oh, dit is gewoon x + ( b / 2a ) ² en dat

86
00:03:44,560 --> 00:03:45,690
krijg je hier.

87
00:03:45,690 --> 00:03:48,840
en dan is het gelijk aan -- en dan vereenvoudig je

88
00:03:48,840 --> 00:03:49,950
deze breuk.

89
00:03:49,950 --> 00:03:52,160
Ze vonden een overeenkomende noemer en al dat soort dingen.

90
00:03:52,160 --> 00:03:54,170
Dus de volgende stap is stap II.

91
00:03:54,170 --> 00:03:55,800
Het enige wat er nog over blijft is stap III.

92
00:03:55,800 --> 00:03:58,970
Dus we inmiddels behoorlijk de kwadratische formule afgeleidt.

93
00:03:58,970 --> 00:04:00,450
Dus I, IV, II, III.

94
00:04:03,410 --> 00:04:04,660
Dat is optie A

95
00:04:06,990 --> 00:04:10,520
Probleem 55.

96
00:04:10,520 --> 00:04:14,450
Welke van de oplossingen -- OK, ik zal alle

97
00:04:14,450 --> 00:04:15,700
oplossingen opschrijven.

98
00:04:19,180 --> 00:04:21,089
Welke van deze antwoorden is één van de oplossingen voor de formule?

99
00:04:21,089 --> 00:04:22,670
Onmiddelijk wanneer je al deze opties ziet, is dat

100
00:04:22,670 --> 00:04:24,170
ze allemaal een wortel in zich hebben.

101
00:04:24,170 --> 00:04:25,420
Dat is niet iets dat je zou delen.

102
00:04:25,420 --> 00:04:26,950
Je zal een kwadraat gebruiken.

103
00:04:26,950 --> 00:04:27,670
Dus laten we dat doen.

104
00:04:27,670 --> 00:04:34,510
De kwadratische vergelijking is, als dit Ax²

105
00:04:34,510 --> 00:04:37,370
plus bx plus c gelijk is aan 0.

106
00:04:37,370 --> 00:04:40,270
De kwadratische vergelijking is min b.

107
00:04:40,270 --> 00:04:41,270
Nou, zij doen het niet in hoofdletters.

108
00:04:41,270 --> 00:04:47,280
plus of min de wortel van b kwadraat - 4ac

109
00:04:47,280 --> 00:04:48,500
en dat alles gedeeld door 2a.

110
00:04:48,500 --> 00:04:51,250
En dat komt van het afmaken van het kwadraat van dit,

111
00:04:51,250 --> 00:04:53,440
maar laten we dat in een ander filmpje behandelen.

112
00:04:53,440 --> 00:04:54,540
Laten we het invullen.

113
00:04:54,540 --> 00:04:56,170
Wat is b?

114
00:04:56,170 --> 00:04:58,310
b is -1, toch?

115
00:04:58,310 --> 00:05:01,870
dus - - 1, dat is plus 1.

116
00:05:01,870 --> 00:05:05,220
plus of min de wortel van b kwadraat.

117
00:05:05,220 --> 00:05:08,290
min 1 kwadraat is 1

118
00:05:08,290 --> 00:05:12,220
min 4 keer a

119
00:05:12,220 --> 00:05:13,560
a is 2

120
00:05:13,560 --> 00:05:15,030
keer 2

121
00:05:15,030 --> 00:05:16,040
keer c

122
00:05:16,040 --> 00:05:18,080
c is min 4

123
00:05:18,080 --> 00:05:21,690
dus keer min 4

124
00:05:21,690 --> 00:05:23,930
dat alles gedeeld door 2a

125
00:05:23,930 --> 00:05:25,995
a is 2, dus 2 keer is 4.

126
00:05:25,995 --> 00:05:31,540
dus dat wordt 1 plus of min de wortel

127
00:05:31,540 --> 00:05:32,560
dus we hebben 1

128
00:05:32,560 --> 00:05:36,170
we hebben min 4 keer a 2 keer a min 4.

129
00:05:36,170 --> 00:05:39,530
Dat is het zelfde als a plus 4 keer 2 a plus 4

130
00:05:39,530 --> 00:05:41,490
laten we de min er uit halen

131
00:05:41,490 --> 00:05:42,490
dus het is plus

132
00:05:42,490 --> 00:05:45,210
er zit geen min in.

133
00:05:45,210 --> 00:05:47,670
4 keer 2 is 8

134
00:05:47,670 --> 00:05:48,860
keer 4 is 32

135
00:05:48,860 --> 00:05:52,140
plus 1 is 33

136
00:05:52,140 --> 00:05:53,840
dan alles gedeeld door 4

137
00:05:53,840 --> 00:05:56,030
maar we zijn nog niet klaar.

138
00:05:56,030 --> 00:05:58,740
ze zeggen, welk van deze antwoorden is een van de goede oplossingen?

139
00:05:58,740 --> 00:06:00,200
laten we kijken.

140
00:06:00,200 --> 00:06:03,080
we willen dit versimpelen

141
00:06:03,080 --> 00:06:04,770
Dat staat hier.

142
00:06:04,770 --> 00:06:06,800
we hebben namelijk 1 plus of min de wortel

143
00:06:06,800 --> 00:06:07,750
van 33 gedeeld door 4.

144
00:06:07,750 --> 00:06:08,740
Zij hebben er maar één opgeschreven.

145
00:06:08,740 --> 00:06:11,300
Zij hebben de plus opgeschreven.

146
00:06:11,300 --> 00:06:12,800
dus C is één van de oplossingen.

147
00:06:12,800 --> 00:06:15,310
De andere oplossingen is dus als je hier een min teken van maakt.

148
00:06:15,310 --> 00:06:17,600
Ok, volgende probleem.

149
00:06:17,600 --> 00:06:24,810
56.

150
00:06:24,810 --> 00:06:26,960
Nog eentje die we moeten knippen en plakken.

151
00:06:29,670 --> 00:06:33,280
Er staat, welke stelling verklaard het best waarom er geen

152
00:06:33,280 --> 00:06:36,010
oplossing is voor deze kwadratische vergelijking.

153
00:06:36,010 --> 00:06:39,670
Ok, ik gok al waarom dit geen oplossing kan hebben

154
00:06:39,670 --> 00:06:40,960
Ok, ik gok al waarom dit geen oplossing kan hebben

155
00:06:40,960 --> 00:06:43,700
Maar over het algemeen -- laten we kijken naar de abc-formule

156
00:06:43,700 --> 00:06:44,870
Voordat we ook maar kijken naar dit probleem

157
00:06:44,870 --> 00:06:45,480
laten we een idee krijgen

158
00:06:45,480 --> 00:06:49,260
het is een negtieve b, blus of min de wortel van b kwadraat

159
00:06:49,260 --> 00:06:55,520
min 4ac, en dat alles gedeelt door 2a.

160
00:06:55,520 --> 00:06:59,310
Mijn vraag is, wanneer kan dit niet?

161
00:06:59,310 --> 00:07:02,075
Je weet, dit zal werken met elke b en elke 2a.

162
00:07:02,075 --> 00:07:05,400
Maar wanneer valt die wortel uit elkaar,

163
00:07:05,400 --> 00:07:06,920
tenminste bij reeële getallen

164
00:07:06,920 --> 00:07:08,200
en dat is een hint.

165
00:07:08,200 --> 00:07:12,050
Nou, dat is wanneer je negatieve getallen onder een wortel hebt staan.

166
00:07:12,050 --> 00:07:13,820
Wanneer je een negatief getal onder een wortel hebt staan,

167
00:07:13,820 --> 00:07:16,230
als je nog niet over imaginaire getallen hebt geleerd,

168
00:07:16,230 --> 00:07:17,810
dan weet je niet wat je moet doen.

169
00:07:17,810 --> 00:07:20,320
er is geen reeële oplossing voor deze kwadratische vergelijking.

170
00:07:20,320 --> 00:07:25,210
dus als b² - 4ac minder is dan

171
00:07:25,210 --> 00:07:26,810
0, kom je in de problemen

172
00:07:26,810 --> 00:07:28,540
Er is geen reeële oplossing.

173
00:07:28,540 --> 00:07:30,420
je kan geen wortel nemen van een negatief getal

174
00:07:30,420 --> 00:07:32,090
je kan geen wortel nemen van een negatief getal

175
00:07:32,090 --> 00:07:34,730
Dus dat gaat waarschijnlijk het probleem worden.

176
00:07:34,730 --> 00:07:36,970
Laten we kijken wat b² - 4ac is.

177
00:07:36,970 --> 00:07:38,410
je hebt b is 1

178
00:07:38,410 --> 00:07:44,320
dus 1 min 4 keer a

179
00:07:44,320 --> 00:07:46,410
a is 2

180
00:07:46,410 --> 00:07:49,030
2 keer c is 7

181
00:07:49,030 --> 00:07:51,680
En, zoals verwacht, 1 min 4 keer 2 keer is kleiner dan 0

182
00:07:51,680 --> 00:07:53,330
En, zoals verwacht, 1 min 4 keer 2 keer is kleiner dan 0

183
00:07:53,330 --> 00:07:55,610
laten we kijken wat er uit komt

184
00:07:55,610 --> 00:07:57,890
Ok de waarde van 1 kwadraat -- oh ja.

185
00:07:57,890 --> 00:07:59,080
het is b kwadraat

186
00:07:59,080 --> 00:08:00,520
tja, 1 kwadraat is 1

187
00:08:00,520 --> 00:08:03,000
1 kwadraat min 4 keer 2 keer 7,

188
00:08:03,000 --> 00:08:04,090
is inderdaad negatief

189
00:08:04,090 --> 00:08:06,150
daarom hebben we geen reeël getal

190
00:08:06,150 --> 00:08:09,270
als oplossing voor deze vergelijking.

191
00:08:09,270 --> 00:08:10,100
Volgende probleem.

192
00:08:10,100 --> 00:08:11,350
Ik heb geen ruimte meer over.

193
00:08:15,520 --> 00:08:17,360
Ok, ze willen de oplossing voor deze

194
00:08:17,360 --> 00:08:18,400
tweede graads vergelijking weten

195
00:08:18,400 --> 00:08:20,210
Laat ik het gewoon knippen en plakken.

196
00:08:22,960 --> 00:08:25,250
Dus dat is in essentie het aantal x'en dat

197
00:08:25,250 --> 00:08:28,020
in deze formule een oplossing hebben.

198
00:08:28,020 --> 00:08:30,480
en dat is natuurlijk, voor elke x die je invoert, de linker kant

199
00:08:30,480 --> 00:08:31,630
zal gelijk zijn aan 0.

200
00:08:31,630 --> 00:08:32,990
welke x'en komen uit?

201
00:08:32,990 --> 00:08:34,929
Ze willen dat we gewoo de abc-regel toepassen.

202
00:08:34,929 --> 00:08:37,600
we hebben het aan een aantal keer opgeschreven, maar laten we het nog een keer doen.

203
00:08:37,600 --> 00:08:38,250
we hebben het aan een aantal keer opgeschreven, maar laten we het nog een keer doen.

204
00:08:38,250 --> 00:08:39,919
dus het is min b

205
00:08:39,919 --> 00:08:41,169
b is 2

206
00:08:41,169 --> 00:08:44,169
dus min 2 plus of min

207
00:08:44,169 --> 00:08:45,740
de wortel van b kwadraat

208
00:08:45,740 --> 00:08:47,970
nou, dat is 2 kwadraat

209
00:08:47,970 --> 00:08:51,520
min 4 keer a

210
00:08:51,520 --> 00:08:53,410
a is 8

211
00:08:53,410 --> 00:08:56,070
keer c, die is 1

212
00:08:56,070 --> 00:08:58,560
en dat alles gedeeld door 2 keer a

213
00:08:58,560 --> 00:09:03,800
dus 2 keer 8, wat gelijk is aan min 2 plus of min

214
00:09:03,800 --> 00:09:11,215
de wortel van 4 -- even kijken

215
00:09:11,215 --> 00:09:13,040
heb ik het opgeschreven?

216
00:09:13,040 --> 00:09:21,160
min b plus of min de wortel van b² min

217
00:09:21,160 --> 00:09:23,650
4 keer a keer c

218
00:09:23,650 --> 00:09:24,270
ok

219
00:09:24,270 --> 00:09:28,890
dus je hebt 4 min 32

220
00:09:28,890 --> 00:09:30,900
dat is waarom ik keek of ik het goed deed,

221
00:09:30,900 --> 00:09:32,460
omdat ik hier een negatief getal krijg.

222
00:09:32,460 --> 00:09:34,700
al dat gedeeld door 16.

223
00:09:34,700 --> 00:09:36,690
dus we komen op het zelfde probleem

224
00:09:36,690 --> 00:09:39,480
als daarnet. 4 min 32, we eindigen met min 2

225
00:09:39,480 --> 00:09:43,785
plus of min de wortel van min 28 gedeeld door 16.

226
00:09:43,785 --> 00:09:46,200
we hebben het hier over reële getallenn, er is dus

227
00:09:46,200 --> 00:09:47,080
geen oplossing.

228
00:09:47,080 --> 00:09:47,950
In het begin dacht ik dat

229
00:09:47,950 --> 00:09:49,650
ik een fout had gemaakt of dat het boek een fout had gemaakt

230
00:09:49,650 --> 00:09:50,360
in de probleemstelling.

231
00:09:50,360 --> 00:09:52,460
Maar als ik kijk naar de oplossingen

232
00:09:52,460 --> 00:09:53,440
geven ze aan bij optie D

233
00:09:53,440 --> 00:09:56,500
laat me het even kopiëren

234
00:09:56,500 --> 00:09:57,350
optie D

235
00:09:57,350 --> 00:09:58,370
Geen oplossingen mogelijk.

236
00:09:58,370 --> 00:10:00,780
Dat is ons antwoord, omdat je geen wortel kan nemen

237
00:10:00,780 --> 00:10:05,860
van een negatief getal en tegelijkertijd bij de reële getallen blijven.

238
00:10:05,860 --> 00:10:07,620
Ok, hebben we nog tijd voor nog een probleem?

239
00:10:07,620 --> 00:10:09,910
Ik zit over de 10 minuten.

240
00:10:09,910 --> 00:10:11,330
Ik zal wachten tot het volgende filmpje.

241
00:10:11,330 --> 00:10:12,580
Tot de volgende keer