We zijn bij vraag 53
Er staat dat Toni een vergelijking oplost door de volgende stappen.
De vergelijking is ax kwadraat plus bx plus c is gelijk aan nul, waarbij a
groter dan nul is.
Dit is dus een standaard kwadratische vergelijking.
Laten we kijken wat ze gedaan hebben.
Allereerst heeft hij aan beide kanten c afgetrokken wat resulteert in ax
kwadraat plus bx is gelijk aan min c.
Ok dat is duidelijk.
En dan..
Hij deelde beide kanten door a.
Ok, dat is logisch.
Dan krijgt hij min c/a.
Welke stap is Stap 3 in de oplossing?
Hij lost dus het kwadraat op.
Dus in feite wil hij dit een perfect kwadraat maken.
Laten we zien hoe we dat kunnen doen.
We hebben dus x in het kwadraat plus b/a x -- en ik laat hier even
wat ruimte vrij -- is gelijk aan min c/a.
Dus om dit een heel kwadraat te laten zijn, moeten we iets optellen,
we moeten een getal hierbij optellen.
En we hebben het hier al over gehad in een aantal videos waarin we het
een soort van hebben bewezen.
Ik heb zelf een aantal videos die zich enkel richten
op het oplossen van een kwadraad.
Het komt er op neer, dat je van dit getal
de helft ervan in het kwadraat zet en dat erbij optelt.
Wanneer je dit niet begrijpt, kan je het Khan Academy filmpje
kijken dat "completing the square" heet.
Maar wat is de helft van b/a?
Nou, dat is b gedeeld door 2a
Dus 1/2 keer b/a is hetzelfde als b gedeeld door 2a.
Daarna willen we dit in het kwadraad optellen bij de originele formule.
Dus laten we het aan beide kanten van de formule invullen.
We hebben dus aan de linker kant x kwadraat plus b/a x.
En we willen dit in het kwadraat optellen.
plus (b/2a)² is gelijk aan min c/a.
Wat je ook aan de ene kant van de formule opteld,
moet je ook aan de andere kant optellen.
Dus we moeten het aan beide kanten optellen.
+ ( b / 2a ) ²
Dus laten we kijken of het het probleem zo ver als we willen
hebben opgelost.
x, b gedeeld door 2 -- Ok.
Dat is precies wat we deden. x kwadraat plus b/a
plus (b / 2a) ², en dan tellen ze het aan beide kant van de formule op.
dus D is het goede antwoord.
Nu, wanneer je dit allemaal een beetje verwarrend vindt, of als
het niet intuïtief voor je was, dan wil ik je niet
alle stappen uit je hoofd te laten leren.
Bekijk dan het filmpje op Khanacademy dat "completing the square" heet.
Het volgende probleem, 56.
Nee, 54
Ok, de volgende moet ook worden geknipt en plakt.
Ok, de vier stappen om de kwadratische formule op te lossen
staan hier beneden afgebeeld.
Ik zei in vorige filmpjes dat je de kwadratische formule kan afleiden
door alles te kwadrateren.
Dat zullen we in een ander filmpje wel doen.
Ik wil de andere filmpjes niet te veel in de weg zitten,
maar laten we kijken wat ze hier willen doen.
Wat is de goede volgorde van stappen?
Dus het eerste dat je wilt doen is beginnen met een simpele
kwadratische formule.
Dit is dus de stap 1.
Dit is ook waar we mee begonnen in het vorige probleem.
Wat je dan wilt doen, is de helft van dit in het kwadraat optellen,
aan beide kanten
dus (b / 2a) ² wil je aan beide kanten optellen
en dat is precies wat ze hier deden.
Dus de volgorde is I
en dan nemen we IV.
Net zoals we bij het vorige probleem deden.
We deden IV.
Vanaf hier weten we dat de formule klopt
Hier gaat het gelijk worden aan x plus b gedeeld door 2a in het kwadraat.
en nog een keer, kijk het filmpje "completing the squared"
wanneer je het niet begrijpt.
De reden dat je het hier toevoegde, is zodat je weet dat,
welke twee getallen, wanneer we zebeide vermenigvuldigen met
b gedeeld door 2a in het kwadraat en optellen met b/a
nou, dat is natuurlijk b gedeeld door 2a.
wanneer je het twee keer opteld, krijg je b / a.
Wanneer je het kwadrateerd, krijg je deze hele uitdrukking.
Dus je zegt, oh, dit is gewoon x + ( b / 2a ) ² en dat
krijg je hier.
en dan is het gelijk aan -- en dan vereenvoudig je
deze breuk.
Ze vonden een overeenkomende noemer en al dat soort dingen.
Dus de volgende stap is stap II.
Het enige wat er nog over blijft is stap III.
Dus we inmiddels behoorlijk de kwadratische formule afgeleidt.
Dus I, IV, II, III.
Dat is optie A
Probleem 55.
Welke van de oplossingen -- OK, ik zal alle
oplossingen opschrijven.
Welke van deze antwoorden is één van de oplossingen voor de formule?
Onmiddelijk wanneer je al deze opties ziet, is dat
ze allemaal een wortel in zich hebben.
Dat is niet iets dat je zou delen.
Je zal een kwadraat gebruiken.
Dus laten we dat doen.
De kwadratische vergelijking is, als dit Ax²
plus bx plus c gelijk is aan 0.
De kwadratische vergelijking is min b.
Nou, zij doen het niet in hoofdletters.
plus of min de wortel van b kwadraat - 4ac
en dat alles gedeeld door 2a.
En dat komt van het afmaken van het kwadraat van dit,
maar laten we dat in een ander filmpje behandelen.
Laten we het invullen.
Wat is b?
b is -1, toch?
dus - - 1, dat is plus 1.
plus of min de wortel van b kwadraat.
min 1 kwadraat is 1
min 4 keer a
a is 2
keer 2
keer c
c is min 4
dus keer min 4
dat alles gedeeld door 2a
a is 2, dus 2 keer is 4.
dus dat wordt 1 plus of min de wortel
dus we hebben 1
we hebben min 4 keer a 2 keer a min 4.
Dat is het zelfde als a plus 4 keer 2 a plus 4
laten we de min er uit halen
dus het is plus
er zit geen min in.
4 keer 2 is 8
keer 4 is 32
plus 1 is 33
dan alles gedeeld door 4
maar we zijn nog niet klaar.
ze zeggen, welk van deze antwoorden is een van de goede oplossingen?
laten we kijken.
we willen dit versimpelen
Dat staat hier.
we hebben namelijk 1 plus of min de wortel
van 33 gedeeld door 4.
Zij hebben er maar één opgeschreven.
Zij hebben de plus opgeschreven.
dus C is één van de oplossingen.
De andere oplossingen is dus als je hier een min teken van maakt.
Ok, volgende probleem.
56.
Nog eentje die we moeten knippen en plakken.
Er staat, welke stelling verklaard het best waarom er geen
oplossing is voor deze kwadratische vergelijking.
Ok, ik gok al waarom dit geen oplossing kan hebben
Maar over het algemeen -- laten we kijken naar de abc-formule
Voordat we ook maar kijken naar dit probleem
laten we een idee krijgen
het is een negtieve b, blus of min de wortel van b kwadraat
min 4ac, en dat alles gedeelt door 2a.
Mijn vraag is, wanneer kan dit niet?
Je weet, dit zal werken met elke b en elke 2a.
Maar wanneer valt die wortel uit elkaar,
tenminste bij reeële getallen
en dat is een hint.
Nou, dat is wanneer je negatieve getallen onder een wortel hebt staan.
Wanneer je een negatief getal onder een wortel hebt staan,
als je nog niet over imaginaire getallen hebt geleerd,
dan weet je niet wat je moet doen.
er is geen reeële oplossing voor deze kwadratische vergelijking.
dus als b² - 4ac minder is dan
0, kom je in de problemen
Er is geen reeële oplossing.
je kan geen wortel nemen van een negatief getal
Dus dat gaat waarschijnlijk het probleem worden.
Laten we kijken wat b² - 4ac is.
je hebt b is 1
dus 1 min 4 keer a
a is 2
2 keer c is 7
En, zoals verwacht, 1 min 4 keer 2 keer is kleiner dan 0
laten we kijken wat er uit komt
Ok de waarde van 1 kwadraat -- oh ja.
het is b kwadraat
tja, 1 kwadraat is 1
1 kwadraat min 4 keer 2 keer 7,
is inderdaad negatief
daarom hebben we geen reeël getal
als oplossing voor deze vergelijking.
Volgende probleem.
Ik heb geen ruimte meer over.
Ok, ze willen de oplossing voor deze
tweede graads vergelijking weten
Laat ik het gewoon knippen en plakken.
Dus dat is in essentie het aantal x'en dat
in deze formule een oplossing hebben.
en dat is natuurlijk, voor elke x die je invoert, de linker kant
zal gelijk zijn aan 0.
welke x'en komen uit?
Ze willen dat we gewoo de abc-regel toepassen.
we hebben het aan een aantal keer opgeschreven, maar laten we het nog een keer doen.
dus het is min b
b is 2
dus min 2 plus of min
de wortel van b kwadraat
nou, dat is 2 kwadraat
min 4 keer a
a is 8
keer c, die is 1
en dat alles gedeeld door 2 keer a
dus 2 keer 8, wat gelijk is aan min 2 plus of min
de wortel van 4 -- even kijken
heb ik het opgeschreven?
min b plus of min de wortel van b² min
4 keer a keer c
ok
dus je hebt 4 min 32
dat is waarom ik keek of ik het goed deed,
omdat ik hier een negatief getal krijg.
al dat gedeeld door 16.
dus we komen op het zelfde probleem
als daarnet. 4 min 32, we eindigen met min 2
plus of min de wortel van min 28 gedeeld door 16.
we hebben het hier over reële getallenn, er is dus
geen oplossing.
In het begin dacht ik dat
ik een fout had gemaakt of dat het boek een fout had gemaakt
in de probleemstelling.
Maar als ik kijk naar de oplossingen
geven ze aan bij optie D
laat me het even kopiëren
optie D
Geen oplossingen mogelijk.
Dat is ons antwoord, omdat je geen wortel kan nemen
van een negatief getal en tegelijkertijd bij de reële getallen blijven.
Ok, hebben we nog tijd voor nog een probleem?
Ik zit over de 10 minuten.
Ik zal wachten tot het volgende filmpje.
Tot de volgende keer