我们已经知道乘法法则是这样的
如果有两个函数相乘
比如 f(x) 和 g(x)
对它们求导
就等于第一个函数的导数 f '(x)
乘以第二个函数 g(x)，加上第一个函数
这里是不求导的 f(x)
乘以第二个函数的导数 g'(x)
一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换
所以这里是 f(x)导，g(x)不导
这里是 g(x)导，f(x) 不导
我们就复习到这
这是乘法法则
接下来是要用乘法法则来做
很多微积分书中所说的除法法则
我对除法法则很纠结
如果你还记得除法法则，那就好办了
其实它就是直接来自乘法法则的
说实话我总是忘掉除法法则
然后用乘法法则重新推导出来
来看看是怎么玩的吧
假设有一个表达式
f(x) 除以 g(x)，f(x) / g(x)
然后对它求导
d/dx [f(x) / g(x)]
这里的关键是我们要能看出
d/dx [f(x) / g(x)] =
其中 f(x) / g(x) 可以写为
f(x) g(x)⁻¹ （负1次方）
这样就可以用乘法法则了
结合一点点链式法则
那这等于什么呢？
来，就用乘法法则
先是第一个函数的导数
也就是 f '(x)
乘以第二个函数，也就是
g(x)的-1次方，再加上第一个函数
也就是f(x)，乘以第二个函数的导数
这里我们就要用一下链式法则了
把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导
等于 -1 乘以它的 -2次方
本题中就是 (-1) g(x) ⁻²
然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导
也就是g'(x)
这样就做完了
我们使用乘法法则和链式法则完成了求导
但数学书中的除法法则不是这样的式子
但数学书中的除法法则不是这个样子
那咱们来看看能不能化简
所有这些都等于 -- 我们先写这一项
这里写成 f '(x) / g(x)
后面这一大堆写成 ——
先把负号提到前边
就得到 - f(x) g'(x)
然后除以 g(x)²
我写整齐点儿
然后除以 g(x)²
可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式
所以继续把两个分数相加
这项的分子和分母同乘 g(x)
这样两个分数的分母都是 g(x)²
这里分子乘以 g(x) 后
是 f '(x) g(x)
分母是 g(x)²
现在可以相加了
所以 f(x) / g(x) 的导数等于
f '(x) g(x) 减去--不是加法了
我换白色写，- f(x) g'(x)
所有这些，除以 g(x)²
所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则
有时候可能比这个公式更好记
做题也会更快
而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律
都是一个函数的导数乘以另一个函数
然后是后一个函数的导数乘以前一个函数
这两项不是（乘法法则的）相加了，而是（除法法则的）相减
然后再除以第二个函数的平方
分母是什么，这里就是什么的平方
所以这里要对分母中的函数求导
还要用减法，然后再除以分母函数的平方