เรารู้แล้วว่า กฎผลคูณบอกเราว่า
ถ้าเรามีผลคูณของฟังก์ชันสองตัว -- สมมุติว่า
f ของ x กับ g ของ x -- และเราอยากหา
อนุพันธ์ของตัวนี้ นี่ก็
จะเท่ากับอนุพันธ์
ของฟังก์ชันแรก คือ f ไพรม์ของ x คูณ
ฟังก์ชันที่สอง คูณ g ของ x บวกฟังก์ชันนี้
ไม่ต้องหาอนุพันธ์ แล้วบวก f
ของ x คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง
สองเทอม ในแต่ละเทอม เราจะหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันหนึ่ง แต่ไม่หาอีกฟังก์ชัน แล้วเราก็สลับ
ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ f, ไม่ใช่ g
ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ g, ไม่ใช่ f
นี่เป็นเพียงการทบทวน
นี่คือกฎผลคูณ
ทีนี้ สิ่งที่เราจะทำ
คือใช้กฎผลคูณอีกครั้งเพื่อทำ
สิ่งที่หนังสือแคลคูลัสหลายเล่ม อาจเรียกว่ากฎผลหาร
ผมมีความรู้สึกผสมกันเวลาพูดถึงกฎผลหาร
ถ้าคุณรู้มัน มันอาจทำให้การคิด
เร็วกว่า แต่จริงๆ แล้วมันตรงมาจากกฎผลคูณ
และว่ากันตามตรง ผมมักลืมกฎผลหาร
และผมต้องพิสูจน์ใหม่จากกฎผลคูณ
ลองดูว่าเรากำลังพูดถึงอะไร
ลองนึกภาพถ้าเรามีพจน์ที่
เขียนได้เป็น f ของ x หารด้วย g ของ x
และเราอยากหาอนุพันธ์ของตัวนี้
อนุพันธ์ของ f ของ x ส่วน g ของ x
สิ่งที่เรารู้คือการสังเกต
ว่านี่ก็เหมือนกับอนุพันธ์ -- แทนที่
จะเขียน f ของ x ส่วน g ของ x
เราเขียนเป็น f ของ x คูณ g ของ x ยกกำลังลบ 1 ได้
และตอนนี้เราใช้กฎผลคูณ
กับกฎลูกโซ่นิดหน่อยได้
อันนี้จะเท่ากับอะไร?
เราแค่ใช้กฎผลคูณ
มันคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกตรงนี้ --
มันจะเท่ากับ f ไพรม์ของ x --
คูณฟังก์ชันที่สองเฉยๆ ซึ่งก็คือ
g ของ x ยกกำลังลบ 1 บวกฟังก์ชันแรก
คือแค่ f ของ x คูณอนุพันธ์
ของฟังก์ชันที่สอง
และตรงนี้เราจะต้องใช้กฎลูกโซ่นิดหน่อย
อนุพันธ์ของตัวนอก ซึ่ง
เรามองเป็นอะไรสักอย่าง
ยกกำลังลบ 1 เทียบกับอะไรสักอย่างนั่น
จะเท่ากับลบ 1 คูณอะไรสักอย่างนั้น ซึ่ง
ในกรณีนี้คือ g ของ x ยกกำลังลบ 2
แล้วเราต้องหาอนุพันธ์
ของฟังก์ชันตัวในเทียบกับ
x ซึ่งก็คือแค่ g ไพรม์ของ x
แล้วคุณก็ได้แแล้ว
เราหาอนุพันธ์ของตัวนี้ได้
โดยใช้กฎผลคูณกับกฎลูกโซ่
ทีนี้ นี่คือรูปที่คุณ
อาจเห็นเวลาคนพูดถึง
กฎผลหารในหนังสือเลขของคุณ
ลองดูว่าเราจัดรูปพจน์นี้หน่อยได้ไหม
ทั้งหมดนี้จะเท่ากับ -- เราเขียนเทอมนี้
ตรงนี้เป็น f ไพรม์ของ x ส่วน g ของ x
และเราเขียนทั้งหมดนี้เป็น -- เรา
ใส่เครื่องหมายลบนี่ข้างหน้าได้
เราได้ลบ f ของ x คูณ g ไพรม์ของ x
แล้วทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง
ขอผมเขียนให้สวยหน่อยนะ
ทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง
และมันยังไม่ใช่รูปที่คุณมัก
เห็นในหนังสือแคลคูลัส
เวลาทำ เราต้องใช้เศษส่วนสองตัวนี้
ลองคูณทั้งเศษและส่วน
ด้วย g ของ x เราจะได้มีทุกอย่างในรูปของ g
ของ x กำลังสองเป็นตัวส่วน
ถ้าเราคูณตัวเศษด้วย g ของ x
เราจะได้ g ของ x ตรงนี้แล้ว
ตัวส่วนจะเป็น g ของ x กำลังสอง
และตอนนี้เราพร้อมจะบวกแล้ว
เราได้อนุพันธ์ของ f
ของ x ส่วน g ของ x เท่ากับ อนุพันธ์ของ f ของ x คูณ g
ของ x ลบ -- ไม่ใช่บวกแล้ว -- ขอผมเขียน
ด้วยสีขาว -- f ของ x คูณ g ไพรม์ของ x
ทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง
ย้ำอีกครั้ง คุณหาอันนี้ได้
จากกฎผลคูณและกฎลูกโซ่
บางครั้ง การจำอาจช่วย
ให้แก้ปัญหาในรูปนี้ง่ายขึ้น
และถ้าคุณอยากเห็นรูปแบบระหว่างผลกฎคูณ
กับผลหาร อนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันหนึ่งคูณอีกฟังก์ชันหนึ่ง
และแทนที่จะบวกอนุพันธ์
ของฟังก์ชันที่สองคูณฟังก์ชันแรก
ตอนนี้เราลบมันแทน
และทั้งหมดนั้นมีส่วนฟังก์ชันที่สองกำลังสอง
อะไรก็ตามที่อยู่ในตัวส่วน ทั้งหมดนั้นกำลังสอง
เมื่อเราหาอนุพันธ์
ของฟังก์ชันในตัวส่วนบนนี้
มันมีเครื่องหมายลบ แล้วเราก็ใส่ทุกอย่าง
ส่วนฟังก์ชันที่สองกำลังสอง