WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.670


00:00:00.670 --> 00:00:02.790
เรารู้แล้วว่า กฎผลคูณบอกเราว่า

00:00:02.790 --> 00:00:06.510
ถ้าเรามีผลคูณของฟังก์ชันสองตัว -- สมมุติว่า

00:00:06.510 --> 00:00:10.200
f ของ x กับ g ของ x -- และเราอยากหา

00:00:10.200 --> 00:00:15.520
อนุพันธ์ของตัวนี้ นี่ก็

00:00:15.520 --> 00:00:16.980
จะเท่ากับอนุพันธ์

00:00:16.980 --> 00:00:20.280
ของฟังก์ชันแรก คือ f ไพรม์ของ x คูณ

00:00:20.280 --> 00:00:27.950
ฟังก์ชันที่สอง คูณ g ของ x บวกฟังก์ชันนี้

00:00:27.950 --> 00:00:30.830
ไม่ต้องหาอนุพันธ์ แล้วบวก f

00:00:30.830 --> 00:00:33.165
ของ x คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง

00:00:33.165 --> 00:00:37.220


00:00:37.220 --> 00:00:39.870
สองเทอม ในแต่ละเทอม เราจะหาอนุพันธ์ของ

00:00:39.870 --> 00:00:42.370
ฟังก์ชันหนึ่ง แต่ไม่หาอีกฟังก์ชัน แล้วเราก็สลับ

00:00:42.370 --> 00:00:45.340
ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ f, ไม่ใช่ g

00:00:45.340 --> 00:00:47.522
ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ g, ไม่ใช่ f

00:00:47.522 --> 00:00:49.230
นี่เป็นเพียงการทบทวน

00:00:49.230 --> 00:00:50.790
นี่คือกฎผลคูณ

00:00:50.790 --> 00:00:52.373
ทีนี้ สิ่งที่เราจะทำ

00:00:52.373 --> 00:00:53.780
คือใช้กฎผลคูณอีกครั้งเพื่อทำ

00:00:53.780 --> 00:00:56.754
สิ่งที่หนังสือแคลคูลัสหลายเล่ม
อาจเรียกว่ากฎผลหาร

00:00:56.754 --> 00:00:58.670
ผมมีความรู้สึกผสมกันเวลาพูดถึงกฎผลหาร

00:00:58.670 --> 00:01:01.086
ถ้าคุณรู้มัน มันอาจทำให้การคิด

00:01:01.086 --> 00:01:03.879
เร็วกว่า แต่จริงๆ แล้วมันตรงมาจากกฎผลคูณ

00:01:03.879 --> 00:01:04.379


00:01:04.379 --> 00:01:06.320
และว่ากันตามตรง ผมมักลืมกฎผลหาร

00:01:06.320 --> 00:01:09.230
และผมต้องพิสูจน์ใหม่จากกฎผลคูณ

00:01:09.230 --> 00:01:10.970
ลองดูว่าเรากำลังพูดถึงอะไร

00:01:10.970 --> 00:01:14.650
ลองนึกภาพถ้าเรามีพจน์ที่

00:01:14.650 --> 00:01:19.140
เขียนได้เป็น f ของ x หารด้วย g ของ x

00:01:19.140 --> 00:01:21.990
และเราอยากหาอนุพันธ์ของตัวนี้

00:01:21.990 --> 00:01:26.700
อนุพันธ์ของ f ของ x ส่วน g ของ x

00:01:26.700 --> 00:01:29.610
สิ่งที่เรารู้คือการสังเกต

00:01:29.610 --> 00:01:32.990
ว่านี่ก็เหมือนกับอนุพันธ์ -- แทนที่

00:01:32.990 --> 00:01:34.610
จะเขียน f ของ x ส่วน g ของ x

00:01:34.610 --> 00:01:40.355
เราเขียนเป็น f ของ x คูณ 
g ของ x ยกกำลังลบ 1 ได้

00:01:40.355 --> 00:01:44.162


00:01:44.162 --> 00:01:45.620
และตอนนี้เราใช้กฎผลคูณ

00:01:45.620 --> 00:01:47.910
กับกฎลูกโซ่นิดหน่อยได้

00:01:47.910 --> 00:01:50.520
อันนี้จะเท่ากับอะไร?

00:01:50.520 --> 00:01:52.030
เราแค่ใช้กฎผลคูณ

00:01:52.030 --> 00:01:54.970
มันคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกตรงนี้ --

00:01:54.970 --> 00:01:59.880
มันจะเท่ากับ f ไพรม์ของ x --

00:01:59.880 --> 00:02:03.780
คูณฟังก์ชันที่สองเฉยๆ ซึ่งก็คือ

00:02:03.780 --> 00:02:13.460
g ของ x ยกกำลังลบ 1 บวกฟังก์ชันแรก

00:02:13.460 --> 00:02:17.960
คือแค่ f ของ x คูณอนุพันธ์

00:02:17.960 --> 00:02:19.439
ของฟังก์ชันที่สอง

00:02:19.439 --> 00:02:21.980
และตรงนี้เราจะต้องใช้กฎลูกโซ่นิดหน่อย

00:02:21.980 --> 00:02:22.640


00:02:22.640 --> 00:02:24.434
อนุพันธ์ของตัวนอก ซึ่ง

00:02:24.434 --> 00:02:25.850
เรามองเป็นอะไรสักอย่าง

00:02:25.850 --> 00:02:28.660
ยกกำลังลบ 1 เทียบกับอะไรสักอย่างนั่น

00:02:28.660 --> 00:02:31.700
จะเท่ากับลบ 1 คูณอะไรสักอย่างนั้น ซึ่ง

00:02:31.700 --> 00:02:34.525
ในกรณีนี้คือ g ของ x ยกกำลังลบ 2

00:02:34.525 --> 00:02:36.150
แล้วเราต้องหาอนุพันธ์

00:02:36.150 --> 00:02:37.740
ของฟังก์ชันตัวในเทียบกับ

00:02:37.740 --> 00:02:41.880
x ซึ่งก็คือแค่ g ไพรม์ของ x

00:02:41.880 --> 00:02:42.890
แล้วคุณก็ได้แแล้ว

00:02:42.890 --> 00:02:44.490
เราหาอนุพันธ์ของตัวนี้ได้

00:02:44.490 --> 00:02:46.750
โดยใช้กฎผลคูณกับกฎลูกโซ่

00:02:46.750 --> 00:02:48.260
ทีนี้ นี่คือรูปที่คุณ

00:02:48.260 --> 00:02:49.660
อาจเห็นเวลาคนพูดถึง

00:02:49.660 --> 00:02:51.410
กฎผลหารในหนังสือเลขของคุณ

00:02:51.410 --> 00:02:53.620
ลองดูว่าเราจัดรูปพจน์นี้หน่อยได้ไหม

00:02:53.620 --> 00:02:57.480
ทั้งหมดนี้จะเท่ากับ -- เราเขียนเทอมนี้

00:02:57.480 --> 00:03:03.490
ตรงนี้เป็น f ไพรม์ของ x ส่วน g ของ x

00:03:03.490 --> 00:03:07.720


00:03:07.720 --> 00:03:10.160
และเราเขียนทั้งหมดนี้เป็น -- เรา

00:03:10.160 --> 00:03:12.020
ใส่เครื่องหมายลบนี่ข้างหน้าได้

00:03:12.020 --> 00:03:20.070
เราได้ลบ f ของ x คูณ g ไพรม์ของ x

00:03:20.070 --> 00:03:24.620


00:03:24.620 --> 00:03:28.555
แล้วทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

00:03:28.555 --> 00:03:30.650
ขอผมเขียนให้สวยหน่อยนะ

00:03:30.650 --> 00:03:33.835
ทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

00:03:33.835 --> 00:03:36.789


00:03:36.789 --> 00:03:38.830
และมันยังไม่ใช่รูปที่คุณมัก

00:03:38.830 --> 00:03:40.240
เห็นในหนังสือแคลคูลัส

00:03:40.240 --> 00:03:42.855
เวลาทำ เราต้องใช้เศษส่วนสองตัวนี้

00:03:42.855 --> 00:03:44.980
ลองคูณทั้งเศษและส่วน

00:03:44.980 --> 00:03:47.720
ด้วย g ของ x เราจะได้มีทุกอย่างในรูปของ g

00:03:47.720 --> 00:03:49.810
ของ x กำลังสองเป็นตัวส่วน

00:03:49.810 --> 00:03:52.430
ถ้าเราคูณตัวเศษด้วย g ของ x

00:03:52.430 --> 00:03:54.740
เราจะได้ g ของ x ตรงนี้แล้ว

00:03:54.740 --> 00:03:57.530
ตัวส่วนจะเป็น g ของ x กำลังสอง

00:03:57.530 --> 00:03:59.050
และตอนนี้เราพร้อมจะบวกแล้ว

00:03:59.050 --> 00:04:02.450
เราได้อนุพันธ์ของ f

00:04:02.450 --> 00:04:08.910
ของ x ส่วน g ของ x เท่ากับ
อนุพันธ์ของ f ของ x คูณ g

00:04:08.910 --> 00:04:15.460
ของ x ลบ -- ไม่ใช่บวกแล้ว -- ขอผมเขียน

00:04:15.460 --> 00:04:28.020
ด้วยสีขาว -- f ของ x คูณ g ไพรม์ของ x

00:04:28.020 --> 00:04:34.320
ทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

00:04:34.320 --> 00:04:36.410
ย้ำอีกครั้ง คุณหาอันนี้ได้

00:04:36.410 --> 00:04:38.420
จากกฎผลคูณและกฎลูกโซ่

00:04:38.420 --> 00:04:41.150
บางครั้ง การจำอาจช่วย

00:04:41.150 --> 00:04:45.110
ให้แก้ปัญหาในรูปนี้ง่ายขึ้น

00:04:45.110 --> 00:04:48.010
และถ้าคุณอยากเห็นรูปแบบระหว่างผลกฎคูณ

00:04:48.010 --> 00:04:50.430
กับผลหาร อนุพันธ์ของ

00:04:50.430 --> 00:04:53.050
ฟังก์ชันหนึ่งคูณอีกฟังก์ชันหนึ่ง

00:04:53.050 --> 00:04:55.710
และแทนที่จะบวกอนุพันธ์

00:04:55.710 --> 00:04:57.860
ของฟังก์ชันที่สองคูณฟังก์ชันแรก

00:04:57.860 --> 00:04:59.140
ตอนนี้เราลบมันแทน

00:04:59.140 --> 00:05:02.190
และทั้งหมดนั้นมีส่วนฟังก์ชันที่สองกำลังสอง

00:05:02.190 --> 00:05:05.212
อะไรก็ตามที่อยู่ในตัวส่วน ทั้งหมดนั้นกำลังสอง

00:05:05.212 --> 00:05:06.670
เมื่อเราหาอนุพันธ์

00:05:06.670 --> 00:05:08.720
ของฟังก์ชันในตัวส่วนบนนี้

00:05:08.720 --> 00:05:12.070
มันมีเครื่องหมายลบ แล้วเราก็ใส่ทุกอย่าง

00:05:12.070 --> 00:05:14.930
ส่วนฟังก์ชันที่สองกำลังสอง