เรารู้แล้วว่า กฎผลคูณบอกเราว่า

ถ้าเรามีผลคูณของฟังก์ชันสองตัว -- สมมุติว่า

f ของ x กับ g ของ x -- และเราอยากหา

อนุพันธ์ของตัวนี้ นี่ก็

จะเท่ากับอนุพันธ์

ของฟังก์ชันแรก คือ f ไพรม์ของ x คูณ

ฟังก์ชันที่สอง คูณ g ของ x บวกฟังก์ชันนี้

ไม่ต้องหาอนุพันธ์ แล้วบวก f

ของ x คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง

สองเทอม ในแต่ละเทอม เราจะหาอนุพันธ์ของ

ฟังก์ชันหนึ่ง แต่ไม่หาอีกฟังก์ชัน แล้วเราก็สลับ

ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ f, ไม่ใช่ g

ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ g, ไม่ใช่ f

นี่เป็นเพียงการทบทวน

นี่คือกฎผลคูณ

ทีนี้ สิ่งที่เราจะทำ

คือใช้กฎผลคูณอีกครั้งเพื่อทำ

สิ่งที่หนังสือแคลคูลัสหลายเล่ม
อาจเรียกว่ากฎผลหาร

ผมมีความรู้สึกผสมกันเวลาพูดถึงกฎผลหาร

ถ้าคุณรู้มัน มันอาจทำให้การคิด

เร็วกว่า แต่จริงๆ แล้วมันตรงมาจากกฎผลคูณ

และว่ากันตามตรง ผมมักลืมกฎผลหาร

และผมต้องพิสูจน์ใหม่จากกฎผลคูณ

ลองดูว่าเรากำลังพูดถึงอะไร

ลองนึกภาพถ้าเรามีพจน์ที่

เขียนได้เป็น f ของ x หารด้วย g ของ x

และเราอยากหาอนุพันธ์ของตัวนี้

อนุพันธ์ของ f ของ x ส่วน g ของ x

สิ่งที่เรารู้คือการสังเกต

ว่านี่ก็เหมือนกับอนุพันธ์ -- แทนที่

จะเขียน f ของ x ส่วน g ของ x

เราเขียนเป็น f ของ x คูณ 
g ของ x ยกกำลังลบ 1 ได้

และตอนนี้เราใช้กฎผลคูณ

กับกฎลูกโซ่นิดหน่อยได้

อันนี้จะเท่ากับอะไร?

เราแค่ใช้กฎผลคูณ

มันคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกตรงนี้ --

มันจะเท่ากับ f ไพรม์ของ x --

คูณฟังก์ชันที่สองเฉยๆ ซึ่งก็คือ

g ของ x ยกกำลังลบ 1 บวกฟังก์ชันแรก

คือแค่ f ของ x คูณอนุพันธ์

ของฟังก์ชันที่สอง

และตรงนี้เราจะต้องใช้กฎลูกโซ่นิดหน่อย

อนุพันธ์ของตัวนอก ซึ่ง

เรามองเป็นอะไรสักอย่าง

ยกกำลังลบ 1 เทียบกับอะไรสักอย่างนั่น

จะเท่ากับลบ 1 คูณอะไรสักอย่างนั้น ซึ่ง

ในกรณีนี้คือ g ของ x ยกกำลังลบ 2

แล้วเราต้องหาอนุพันธ์

ของฟังก์ชันตัวในเทียบกับ

x ซึ่งก็คือแค่ g ไพรม์ของ x

แล้วคุณก็ได้แแล้ว

เราหาอนุพันธ์ของตัวนี้ได้

โดยใช้กฎผลคูณกับกฎลูกโซ่

ทีนี้ นี่คือรูปที่คุณ

อาจเห็นเวลาคนพูดถึง

กฎผลหารในหนังสือเลขของคุณ

ลองดูว่าเราจัดรูปพจน์นี้หน่อยได้ไหม

ทั้งหมดนี้จะเท่ากับ -- เราเขียนเทอมนี้

ตรงนี้เป็น f ไพรม์ของ x ส่วน g ของ x

และเราเขียนทั้งหมดนี้เป็น -- เรา

ใส่เครื่องหมายลบนี่ข้างหน้าได้

เราได้ลบ f ของ x คูณ g ไพรม์ของ x

แล้วทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

ขอผมเขียนให้สวยหน่อยนะ

ทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

และมันยังไม่ใช่รูปที่คุณมัก

เห็นในหนังสือแคลคูลัส

เวลาทำ เราต้องใช้เศษส่วนสองตัวนี้

ลองคูณทั้งเศษและส่วน

ด้วย g ของ x เราจะได้มีทุกอย่างในรูปของ g

ของ x กำลังสองเป็นตัวส่วน

ถ้าเราคูณตัวเศษด้วย g ของ x

เราจะได้ g ของ x ตรงนี้แล้ว

ตัวส่วนจะเป็น g ของ x กำลังสอง

และตอนนี้เราพร้อมจะบวกแล้ว

เราได้อนุพันธ์ของ f

ของ x ส่วน g ของ x เท่ากับ
อนุพันธ์ของ f ของ x คูณ g

ของ x ลบ -- ไม่ใช่บวกแล้ว -- ขอผมเขียน

ด้วยสีขาว -- f ของ x คูณ g ไพรม์ของ x

ทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

ย้ำอีกครั้ง คุณหาอันนี้ได้

จากกฎผลคูณและกฎลูกโซ่

บางครั้ง การจำอาจช่วย

ให้แก้ปัญหาในรูปนี้ง่ายขึ้น

และถ้าคุณอยากเห็นรูปแบบระหว่างผลกฎคูณ

กับผลหาร อนุพันธ์ของ

ฟังก์ชันหนึ่งคูณอีกฟังก์ชันหนึ่ง

และแทนที่จะบวกอนุพันธ์

ของฟังก์ชันที่สองคูณฟังก์ชันแรก

ตอนนี้เราลบมันแทน

และทั้งหมดนั้นมีส่วนฟังก์ชันที่สองกำลังสอง

อะไรก็ตามที่อยู่ในตัวส่วน ทั้งหมดนั้นกำลังสอง

เมื่อเราหาอนุพันธ์

ของฟังก์ชันในตัวส่วนบนนี้

มันมีเครื่องหมายลบ แล้วเราก็ใส่ทุกอย่าง

ส่วนฟังก์ชันที่สองกำลังสอง