1
00:00:00,000 --> 00:00:00,670


2
00:00:00,670 --> 00:00:02,790
เรารู้แล้วว่า กฎผลคูณบอกเราว่า

3
00:00:02,790 --> 00:00:06,510
ถ้าเรามีผลคูณของฟังก์ชันสองตัว -- สมมุติว่า

4
00:00:06,510 --> 00:00:10,200
f ของ x กับ g ของ x -- และเราอยากหา

5
00:00:10,200 --> 00:00:15,520
อนุพันธ์ของตัวนี้ นี่ก็

6
00:00:15,520 --> 00:00:16,980
จะเท่ากับอนุพันธ์

7
00:00:16,980 --> 00:00:20,280
ของฟังก์ชันแรก คือ f ไพรม์ของ x คูณ

8
00:00:20,280 --> 00:00:27,950
ฟังก์ชันที่สอง คูณ g ของ x บวกฟังก์ชันนี้

9
00:00:27,950 --> 00:00:30,830
ไม่ต้องหาอนุพันธ์ แล้วบวก f

10
00:00:30,830 --> 00:00:33,165
ของ x คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง

11
00:00:33,165 --> 00:00:37,220


12
00:00:37,220 --> 00:00:39,870
สองเทอม ในแต่ละเทอม เราจะหาอนุพันธ์ของ

13
00:00:39,870 --> 00:00:42,370
ฟังก์ชันหนึ่ง แต่ไม่หาอีกฟังก์ชัน แล้วเราก็สลับ

14
00:00:42,370 --> 00:00:45,340
ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ f, ไม่ใช่ g

15
00:00:45,340 --> 00:00:47,522
ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ g, ไม่ใช่ f

16
00:00:47,522 --> 00:00:49,230
นี่เป็นเพียงการทบทวน

17
00:00:49,230 --> 00:00:50,790
นี่คือกฎผลคูณ

18
00:00:50,790 --> 00:00:52,373
ทีนี้ สิ่งที่เราจะทำ

19
00:00:52,373 --> 00:00:53,780
คือใช้กฎผลคูณอีกครั้งเพื่อทำ

20
00:00:53,780 --> 00:00:56,754
สิ่งที่หนังสือแคลคูลัสหลายเล่ม
อาจเรียกว่ากฎผลหาร

21
00:00:56,754 --> 00:00:58,670
ผมมีความรู้สึกผสมกันเวลาพูดถึงกฎผลหาร

22
00:00:58,670 --> 00:01:01,086
ถ้าคุณรู้มัน มันอาจทำให้การคิด

23
00:01:01,086 --> 00:01:03,879
เร็วกว่า แต่จริงๆ แล้วมันตรงมาจากกฎผลคูณ

24
00:01:03,879 --> 00:01:04,379


25
00:01:04,379 --> 00:01:06,320
และว่ากันตามตรง ผมมักลืมกฎผลหาร

26
00:01:06,320 --> 00:01:09,230
และผมต้องพิสูจน์ใหม่จากกฎผลคูณ

27
00:01:09,230 --> 00:01:10,970
ลองดูว่าเรากำลังพูดถึงอะไร

28
00:01:10,970 --> 00:01:14,650
ลองนึกภาพถ้าเรามีพจน์ที่

29
00:01:14,650 --> 00:01:19,140
เขียนได้เป็น f ของ x หารด้วย g ของ x

30
00:01:19,140 --> 00:01:21,990
และเราอยากหาอนุพันธ์ของตัวนี้

31
00:01:21,990 --> 00:01:26,700
อนุพันธ์ของ f ของ x ส่วน g ของ x

32
00:01:26,700 --> 00:01:29,610
สิ่งที่เรารู้คือการสังเกต

33
00:01:29,610 --> 00:01:32,990
ว่านี่ก็เหมือนกับอนุพันธ์ -- แทนที่

34
00:01:32,990 --> 00:01:34,610
จะเขียน f ของ x ส่วน g ของ x

35
00:01:34,610 --> 00:01:40,355
เราเขียนเป็น f ของ x คูณ 
g ของ x ยกกำลังลบ 1 ได้

36
00:01:40,355 --> 00:01:44,162


37
00:01:44,162 --> 00:01:45,620
และตอนนี้เราใช้กฎผลคูณ

38
00:01:45,620 --> 00:01:47,910
กับกฎลูกโซ่นิดหน่อยได้

39
00:01:47,910 --> 00:01:50,520
อันนี้จะเท่ากับอะไร?

40
00:01:50,520 --> 00:01:52,030
เราแค่ใช้กฎผลคูณ

41
00:01:52,030 --> 00:01:54,970
มันคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกตรงนี้ --

42
00:01:54,970 --> 00:01:59,880
มันจะเท่ากับ f ไพรม์ของ x --

43
00:01:59,880 --> 00:02:03,780
คูณฟังก์ชันที่สองเฉยๆ ซึ่งก็คือ

44
00:02:03,780 --> 00:02:13,460
g ของ x ยกกำลังลบ 1 บวกฟังก์ชันแรก

45
00:02:13,460 --> 00:02:17,960
คือแค่ f ของ x คูณอนุพันธ์

46
00:02:17,960 --> 00:02:19,439
ของฟังก์ชันที่สอง

47
00:02:19,439 --> 00:02:21,980
และตรงนี้เราจะต้องใช้กฎลูกโซ่นิดหน่อย

48
00:02:21,980 --> 00:02:22,640


49
00:02:22,640 --> 00:02:24,434
อนุพันธ์ของตัวนอก ซึ่ง

50
00:02:24,434 --> 00:02:25,850
เรามองเป็นอะไรสักอย่าง

51
00:02:25,850 --> 00:02:28,660
ยกกำลังลบ 1 เทียบกับอะไรสักอย่างนั่น

52
00:02:28,660 --> 00:02:31,700
จะเท่ากับลบ 1 คูณอะไรสักอย่างนั้น ซึ่ง

53
00:02:31,700 --> 00:02:34,525
ในกรณีนี้คือ g ของ x ยกกำลังลบ 2

54
00:02:34,525 --> 00:02:36,150
แล้วเราต้องหาอนุพันธ์

55
00:02:36,150 --> 00:02:37,740
ของฟังก์ชันตัวในเทียบกับ

56
00:02:37,740 --> 00:02:41,880
x ซึ่งก็คือแค่ g ไพรม์ของ x

57
00:02:41,880 --> 00:02:42,890
แล้วคุณก็ได้แแล้ว

58
00:02:42,890 --> 00:02:44,490
เราหาอนุพันธ์ของตัวนี้ได้

59
00:02:44,490 --> 00:02:46,750
โดยใช้กฎผลคูณกับกฎลูกโซ่

60
00:02:46,750 --> 00:02:48,260
ทีนี้ นี่คือรูปที่คุณ

61
00:02:48,260 --> 00:02:49,660
อาจเห็นเวลาคนพูดถึง

62
00:02:49,660 --> 00:02:51,410
กฎผลหารในหนังสือเลขของคุณ

63
00:02:51,410 --> 00:02:53,620
ลองดูว่าเราจัดรูปพจน์นี้หน่อยได้ไหม

64
00:02:53,620 --> 00:02:57,480
ทั้งหมดนี้จะเท่ากับ -- เราเขียนเทอมนี้

65
00:02:57,480 --> 00:03:03,490
ตรงนี้เป็น f ไพรม์ของ x ส่วน g ของ x

66
00:03:03,490 --> 00:03:07,720


67
00:03:07,720 --> 00:03:10,160
และเราเขียนทั้งหมดนี้เป็น -- เรา

68
00:03:10,160 --> 00:03:12,020
ใส่เครื่องหมายลบนี่ข้างหน้าได้

69
00:03:12,020 --> 00:03:20,070
เราได้ลบ f ของ x คูณ g ไพรม์ของ x

70
00:03:20,070 --> 00:03:24,620


71
00:03:24,620 --> 00:03:28,555
แล้วทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

72
00:03:28,555 --> 00:03:30,650
ขอผมเขียนให้สวยหน่อยนะ

73
00:03:30,650 --> 00:03:33,835
ทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

74
00:03:33,835 --> 00:03:36,789


75
00:03:36,789 --> 00:03:38,830
และมันยังไม่ใช่รูปที่คุณมัก

76
00:03:38,830 --> 00:03:40,240
เห็นในหนังสือแคลคูลัส

77
00:03:40,240 --> 00:03:42,855
เวลาทำ เราต้องใช้เศษส่วนสองตัวนี้

78
00:03:42,855 --> 00:03:44,980
ลองคูณทั้งเศษและส่วน

79
00:03:44,980 --> 00:03:47,720
ด้วย g ของ x เราจะได้มีทุกอย่างในรูปของ g

80
00:03:47,720 --> 00:03:49,810
ของ x กำลังสองเป็นตัวส่วน

81
00:03:49,810 --> 00:03:52,430
ถ้าเราคูณตัวเศษด้วย g ของ x

82
00:03:52,430 --> 00:03:54,740
เราจะได้ g ของ x ตรงนี้แล้ว

83
00:03:54,740 --> 00:03:57,530
ตัวส่วนจะเป็น g ของ x กำลังสอง

84
00:03:57,530 --> 00:03:59,050
และตอนนี้เราพร้อมจะบวกแล้ว

85
00:03:59,050 --> 00:04:02,450
เราได้อนุพันธ์ของ f

86
00:04:02,450 --> 00:04:08,910
ของ x ส่วน g ของ x เท่ากับ
อนุพันธ์ของ f ของ x คูณ g

87
00:04:08,910 --> 00:04:15,460
ของ x ลบ -- ไม่ใช่บวกแล้ว -- ขอผมเขียน

88
00:04:15,460 --> 00:04:28,020
ด้วยสีขาว -- f ของ x คูณ g ไพรม์ของ x

89
00:04:28,020 --> 00:04:34,320
ทั้งหมดนั้นส่วน g ของ x กำลังสอง

90
00:04:34,320 --> 00:04:36,410
ย้ำอีกครั้ง คุณหาอันนี้ได้

91
00:04:36,410 --> 00:04:38,420
จากกฎผลคูณและกฎลูกโซ่

92
00:04:38,420 --> 00:04:41,150
บางครั้ง การจำอาจช่วย

93
00:04:41,150 --> 00:04:45,110
ให้แก้ปัญหาในรูปนี้ง่ายขึ้น

94
00:04:45,110 --> 00:04:48,010
และถ้าคุณอยากเห็นรูปแบบระหว่างผลกฎคูณ

95
00:04:48,010 --> 00:04:50,430
กับผลหาร อนุพันธ์ของ

96
00:04:50,430 --> 00:04:53,050
ฟังก์ชันหนึ่งคูณอีกฟังก์ชันหนึ่ง

97
00:04:53,050 --> 00:04:55,710
และแทนที่จะบวกอนุพันธ์

98
00:04:55,710 --> 00:04:57,860
ของฟังก์ชันที่สองคูณฟังก์ชันแรก

99
00:04:57,860 --> 00:04:59,140
ตอนนี้เราลบมันแทน

100
00:04:59,140 --> 00:05:02,190
และทั้งหมดนั้นมีส่วนฟังก์ชันที่สองกำลังสอง

101
00:05:02,190 --> 00:05:05,212
อะไรก็ตามที่อยู่ในตัวส่วน ทั้งหมดนั้นกำลังสอง

102
00:05:05,212 --> 00:05:06,670
เมื่อเราหาอนุพันธ์

103
00:05:06,670 --> 00:05:08,720
ของฟังก์ชันในตัวส่วนบนนี้

104
00:05:08,720 --> 00:05:12,070
มันมีเครื่องหมายลบ แล้วเราก็ใส่ทุกอย่าง

105
00:05:12,070 --> 00:05:14,930
ส่วนฟังก์ชันที่สองกำลังสอง