[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.51,0:00:09.25,Default,,0000,0000,0000,,我们想求出随着x接近1时，表达式x/x-1
Dialogue: 0,0:00:09.25,0:00:16.08,Default,,0000,0000,0000,,乘上1/ln x的极限值
Dialogue: 0,0:00:16.08,0:00:21.23,Default,,0000,0000,0000,,所以让我们看下当我们仅是输入1时
Dialogue: 0,0:00:21.23,0:00:24.63,Default,,0000,0000,0000,,会发生什么
Dialogue: 0,0:00:24.63,0:00:30.05,Default,,0000,0000,0000,,好，接着我们在此处得到1，1-1
Dialogue: 0,0:00:30.05,0:00:35.04,Default,,0000,0000,0000,,所以我们会得到1/0减去
Dialogue: 0,0:00:35.04,0:00:37.52,Default,,0000,0000,0000,,1除以，1的自然对数是多少呢
Dialogue: 0,0:00:37.52,0:00:40.25,Default,,0000,0000,0000,,e的几次方等于1呢
Dialogue: 0,0:00:40.25,0:00:43.14,Default,,0000,0000,0000,,任何数的零次幂都为1，所以e的零次幂也为1
Dialogue: 0,0:00:43.14,0:00:45.42,Default,,0000,0000,0000,,所以1的自然对数值为
Dialogue: 0,0:00:45.42,0:00:49.35,Default,,0000,0000,0000,,0
Dialogue: 0,0:00:49.35,0:00:54.30,Default,,0000,0000,0000,,所以我们得到了奇怪且无解的1/0-1/0
Dialogue: 0,0:00:54.30,0:00:56.37,Default,,0000,0000,0000,,这是一种奇怪的无解形式
Dialogue: 0,0:00:56.37,0:00:59.88,Default,,0000,0000,0000,,但这并不是我们在l'Hopital's rule 中看到的无解形式
Dialogue: 0,0:00:59.88,0:01:03.75,Default,,0000,0000,0000,,我们不会求出0/0，也不会求出∞/∞
Dialogue: 0,0:01:03.75,0:01:07.15,Default,,0000,0000,0000,,所以你也许会说，好吧，这不是一个l'Hopital 法则的问题
Dialogue: 0,0:01:07.15,0:01:09.91,Default,,0000,0000,0000,,我们须以另一种方式将此题解出
Dialogue: 0,0:01:09.91,0:01:13.21,Default,,0000,0000,0000,,不要放弃呀
Dialogue: 0,0:01:13.21,0:01:16.88,Default,,0000,0000,0000,,也许我们可以以某种代数的方式改写这个式子
Dialogue: 0,0:01:16.88,0:01:20.38,Default,,0000,0000,0000,,以使其变化为l'Hopital 的不确定形式
Dialogue: 0,0:01:20.38,0:01:23.04,Default,,0000,0000,0000,,接着我们就可将之直接运用了
Dialogue: 0,0:01:23.04,0:01:24.79,Default,,0000,0000,0000,,为了将之解决，让我们看看如果将这两式相加
Dialogue: 0,0:01:24.79,0:01:26.47,Default,,0000,0000,0000,,又会如何呢
Dialogue: 0,0:01:26.47,0:01:29.86,Default,,0000,0000,0000,,所以如果我将这两式相加
Dialogue: 0,0:01:29.86,0:01:36.85,Default,,0000,0000,0000,,分母将为（x-1）*ln x
Dialogue: 0,0:01:36.85,0:01:38.74,Default,,0000,0000,0000,,我仅是将这两式相乘
Dialogue: 0,0:01:38.74,0:01:43.42,Default,,0000,0000,0000,,接着分子将为
Dialogue: 0,0:01:43.42,0:01:46.44,Default,,0000,0000,0000,,好的，如果我将这整个式子同时乘上ln x
Dialogue: 0,0:01:46.44,0:01:51.32,Default,,0000,0000,0000,,所以分子将为x*ln x
Dialogue: 0,0:01:51.32,0:01:52.93,Default,,0000,0000,0000,,这个式子我将其整体乘以（x-1）
Dialogue: 0,0:01:52.93,0:01:54.96,Default,,0000,0000,0000,,那么即为-（x-1）
Dialogue: 0,0:01:58.51,0:02:03.85,Default,,0000,0000,0000,,你可以将之拆分（验证），并发现其与原式一致
Dialogue: 0,0:02:03.90,0:02:10.31,Default,,0000,0000,0000,,那么在这边，x/x-1,由于ln x消掉了
Dialogue: 0,0:02:10.31,0:02:12.22,Default,,0000,0000,0000,,让我们将其搁一边
Dialogue: 0,0:02:12.22,0:02:21.51,Default,,0000,0000,0000,,那么这边就是-1/ln x由于（x-1）被消掉了
Dialogue: 0,0:02:21.51,0:02:25.12,Default,,0000,0000,0000,,希望你理解了关于我处理这两表达式的用意
Dialogue: 0,0:02:25.12,0:02:29.11,Default,,0000,0000,0000,,所以借此入手，我们看下取x为1时
Dialogue: 0,0:02:29.11,0:02:31.60,Default,,0000,0000,0000,,此式会如何变化呢
Dialogue: 0,0:02:31.60,0:02:33.01,Default,,0000,0000,0000,,因为这些式子是相同的
Dialogue: 0,0:02:33.01,0:02:35.32,Default,,0000,0000,0000,,所以我们得到什么了吗
Dialogue: 0,0:02:35.32,0:02:36.36,Default,,0000,0000,0000,,我们得到了1*ln 1
Dialogue: 0,0:02:36.36,0:02:38.81,Default,,0000,0000,0000,,由于ln 1的值为0所以我们就得到了0
Dialogue: 0,0:02:38.81,0:02:47.20,Default,,0000,0000,0000,,减去0，所以原式值为0
Dialogue: 0,0:02:47.20,0:02:51.00,Default,,0000,0000,0000,,所以我们有了0作为分子
Dialogue: 0,0:02:51.00,0:02:55.57,Default,,0000,0000,0000,,并且在分母中，我们求出了1-1，值为零乘上
Dialogue: 0,0:02:55.57,0:03:00.10,Default,,0000,0000,0000,,ln 1， 其值也为0，故分母值也为0
Dialogue: 0,0:03:00.10,0:03:04.94,Default,,0000,0000,0000,,我们得到了应用l'Hopital法则所需的不定形式
Dialogue: 0,0:03:04.94,0:03:07.11,Default,,0000,0000,0000,,假设我们求出了它的导数
Dialogue: 0,0:03:07.11,0:03:09.36,Default,,0000,0000,0000,,求出极限所在的导数
Dialogue: 0,0:03:09.36,0:03:11.13,Default,,0000,0000,0000,,让我们试着做一下
Dialogue: 0,0:03:11.13,0:03:15.34,Default,,0000,0000,0000,,这将等于
Dialogue: 0,0:03:15.34,0:03:19.20,Default,,0000,0000,0000,,x到1的极限
Dialogue: 0,0:03:19.20,0:03:22.49,Default,,0000,0000,0000,,让我们用品红色将其导数写出
Dialogue: 0,0:03:22.49,0:03:26.19,Default,,0000,0000,0000,,我将取这个分子的导数
Dialogue: 0,0:03:26.19,0:03:28.59,Default,,0000,0000,0000,,所以对第一项，让我们做乘积法则
Dialogue: 0,0:03:28.59,0:03:32.97,Default,,0000,0000,0000,,x的导数是1，接着乘上x的自然对数
Dialogue: 0,0:03:32.97,0:03:35.92,Default,,0000,0000,0000,,第一项的导数乘
Dialogue: 0,0:03:35.92,0:03:36.93,Default,,0000,0000,0000,,第二项
Dialogue: 0,0:03:36.93,0:03:39.57,Default,,0000,0000,0000,,接着我们要加上第二项的导数
Dialogue: 0,0:03:39.57,0:03:43.82,Default,,0000,0000,0000,,加上1/x，乘上第一项
Dialogue: 0,0:03:43.82,0:03:45.33,Default,,0000,0000,0000,,这就是乘积法则
Dialogue: 0,0:03:45.33,0:03:47.92,Default,,0000,0000,0000,,所以1/x乘上x，让我们看下，就是1
Dialogue: 0,0:03:47.92,0:03:54.39,Default,,0000,0000,0000,,接着我们求-（x-1）的导数
Dialogue: 0,0:03:54.39,0:03:58.45,Default,,0000,0000,0000,,x-1的导数就是1
Dialogue: 0,0:03:58.45,0:04:01.09,Default,,0000,0000,0000,,所以我们得到-1
Dialogue: 0,0:04:01.09,0:04:08.71,Default,,0000,0000,0000,,接着分子除以分母的的导数
Dialogue: 0,0:04:08.71,0:04:11.34,Default,,0000,0000,0000,,所以我们来求导
Dialogue: 0,0:04:11.34,0:04:16.60,Default,,0000,0000,0000,,第一项为x-1，则其导数为1
Dialogue: 0,0:04:16.60,0:04:20.33,Default,,0000,0000,0000,,乘上第二项的x的自然对数
Dialogue: 0,0:04:20.33,0:04:23.52,Default,,0000,0000,0000,,x的自然对数的导数
Dialogue: 0,0:04:23.52,0:04:28.35,Default,,0000,0000,0000,,是1/x乘上x-1
Dialogue: 0,0:04:32.14,0:04:34.24,Default,,0000,0000,0000,,我想我们可以将其简化一下
Dialogue: 0,0:04:34.24,0:04:37.27,Default,,0000,0000,0000,,1/x乘x得1
Dialogue: 0,0:04:37.27,0:04:38.58,Default,,0000,0000,0000,,我们将从中减去1
Dialogue: 0,0:04:38.58,0:04:40.91,Default,,0000,0000,0000,,所以这些都消掉了，就在这
Dialogue: 0,0:04:40.91,0:04:45.71,Default,,0000,0000,0000,,所以整个表达式可写为，随着x趋于1
Dialogue: 0,0:04:45.71,0:04:51.26,Default,,0000,0000,0000,,分子是x的自然对数
Dialogue: 0,0:04:51.26,0:04:57.16,Default,,0000,0000,0000,,用红笔写出来了，分母则是
Dialogue: 0,0:04:57.16,0:05:03.60,Default,,0000,0000,0000,,x的自然对数加上（x-1）/x
Dialogue: 0,0:05:03.60,0:05:05.25,Default,,0000,0000,0000,,所以让我们求出此极限的值
Dialogue: 0,0:05:05.25,0:05:09.06,Default,,0000,0000,0000,,当x的值为1时
Dialogue: 0,0:05:09.06,0:05:13.64,Default,,0000,0000,0000,,1的自然对数为0
Dialogue: 0,0:05:13.64,0:05:19.72,Default,,0000,0000,0000,,在这，我们得到了1的自然对数为0
Dialogue: 0,0:05:19.72,0:05:27.92,Default,,0000,0000,0000,,紧接着是1-1/1
Dialogue: 0,0:05:27.92,0:05:28.90,Default,,0000,0000,0000,,又是一个0
Dialogue: 0,0:05:28.90,0:05:29.81,Default,,0000,0000,0000,,1-1为0
Dialogue: 0,0:05:29.81,0:05:30.68,Default,,0000,0000,0000,,所以你将有0+0
Dialogue: 0,0:05:30.68,0:05:35.74,Default,,0000,0000,0000,,你有得到了0/0
Dialogue: 0,0:05:35.74,0:05:38.23,Default,,0000,0000,0000,,所以让我们再度应用l'Hopital法则
Dialogue: 0,0:05:38.23,0:05:39.89,Default,,0000,0000,0000,,让我们求它的导数
Dialogue: 0,0:05:39.89,0:05:41.24,Default,,0000,0000,0000,,除以它的导数
Dialogue: 0,0:05:41.24,0:05:44.21,Default,,0000,0000,0000,,所以如果我们想取极值，
Dialogue: 0,0:05:44.21,0:05:51.95,Default,,0000,0000,0000,,等于，当x到达1时，分子的导数
Dialogue: 0,0:05:51.95,0:05:56.32,Default,,0000,0000,0000,,1/x，是的，x的自然对数的导数的值为
Dialogue: 0,0:05:56.32,0:06:00.34,Default,,0000,0000,0000,,1/x除以分母的导数
Dialogue: 0,0:06:00.34,0:06:01.16,Default,,0000,0000,0000,,那将是多少呢
Dialogue: 0,0:06:01.16,0:06:06.95,Default,,0000,0000,0000,,x的自然对数的导数为1/x加上
Dialogue: 0,0:06:06.95,0:06:09.59,Default,,0000,0000,0000,,（x-1）/x的导数
Dialogue: 0,0:06:09.59,0:06:13.12,Default,,0000,0000,0000,,你可以这样想，1/x乘x
Dialogue: 0,0:06:13.12,0:06:16.73,Default,,0000,0000,0000,,好吧，x到负1的导数，我们将取
Dialogue: 0,0:06:16.73,0:06:19.28,Default,,0000,0000,0000,,第一个数的一乘以第二个数的导数，以及
Dialogue: 0,0:06:19.28,0:06:20.67,Default,,0000,0000,0000,,然后是第二个导数乘上
Dialogue: 0,0:06:20.67,0:06:21.61,Default,,0000,0000,0000,,第一个数
Dialogue: 0,0:06:21.61,0:06:24.98,Default,,0000,0000,0000,,因此，第一项的导数，x 到负 1，是
Dialogue: 0,0:06:24.98,0:06:30.03,Default,,0000,0000,0000,,负x的-2次方乘上第二项，
Dialogue: 0,0:06:30.03,0:06:34.83,Default,,0000,0000,0000,,x-1，加上第二项的导数，
Dialogue: 0,0:06:34.83,0:06:39.78,Default,,0000,0000,0000,,就是1乘上第一项，1/x
Dialogue: 0,0:06:39.78,0:06:45.86,Default,,0000,0000,0000,,所以这将等于
Dialogue: 0,0:06:47.07,0:06:48.78,Default,,0000,0000,0000,,我讲到哪了？
Dialogue: 0,0:06:48.78,0:06:50.71,Default,,0000,0000,0000,,哦我们正在化简原式呢
Dialogue: 0,0:06:50.71,0:06:52.21,Default,,0000,0000,0000,,让我们用上l'Hopital法则
Dialogue: 0,0:06:52.21,0:06:58.01,Default,,0000,0000,0000,,所以这将等于
Dialogue: 0,0:06:58.01,0:07:02.39,Default,,0000,0000,0000,,如果我们使x的值为1
Dialogue: 0,0:07:02.39,0:07:05.61,Default,,0000,0000,0000,,整个分子值为1/1，就是1了
Dialogue: 0,0:07:05.61,0:07:09.33,Default,,0000,0000,0000,,所以我们绝对不会得到一个无穷大或0/0
Dialogue: 0,0:07:09.33,0:07:11.46,Default,,0000,0000,0000,,分母的值将为
Dialogue: 0,0:07:11.46,0:07:12.96,Default,,0000,0000,0000,,如果你取x的值为1，那么就是1/1，
Dialogue: 0,0:07:12.96,0:07:18.18,Default,,0000,0000,0000,,加上-1到-2
Dialogue: 0,0:07:18.18,0:07:21.49,Default,,0000,0000,0000,,或者你可以说，-1到-2就是1，所以是1
Dialogue: 0,0:07:21.49,0:07:22.44,Default,,0000,0000,0000,,只不过是负的罢了
Dialogue: 0,0:07:22.44,0:07:24.82,Default,,0000,0000,0000,,但是接着你将其乘1再减1
Dialogue: 0,0:07:24.82,0:07:27.10,Default,,0000,0000,0000,,就得到0，所以整项都消去了
Dialogue: 0,0:07:27.10,0:07:29.89,Default,,0000,0000,0000,,接着你加上另一个1/1，
Dialogue: 0,0:07:29.89,0:07:34.09,Default,,0000,0000,0000,,所以整个式子将为1/2
Dialogue: 0,0:07:34.09,0:07:34.99,Default,,0000,0000,0000,,你解出来了
Dialogue: 0,0:07:34.99,0:07:37.62,Default,,0000,0000,0000,,通过L'Hopital法则，我们求出了一个
Dialogue: 0,0:07:37.62,0:07:39.05,Default,,0000,0000,0000,,并不会得出0/0结果的式子
Dialogue: 0,0:07:39.05,0:07:40.26,Default,,0000,0000,0000,,的值
Dialogue: 0,0:07:40.26,0:07:44.11,Default,,0000,0000,0000,,我们就乘入了两项并分别得求分子与分母
Dialogue: 0,0:07:44.11,0:07:46.46,Default,,0000,0000,0000,,的导数，求了两次
Dialogue: 0,0:07:46.46,0:07:49.18,Default,,0000,0000,0000,,最终我们得到了极值