1
00:00:00,510 --> 00:00:09,250
我们想求出随着x接近1时，表达式x/x-1

2
00:00:09,250 --> 00:00:16,080
乘上1/ln x的极限值

3
00:00:16,080 --> 00:00:21,230
所以让我们看下当我们仅是输入1时

4
00:00:21,230 --> 00:00:24,630
会发生什么

5
00:00:24,630 --> 00:00:30,050
好，接着我们在此处得到1，1-1

6
00:00:30,050 --> 00:00:35,040
所以我们会得到1/0减去

7
00:00:35,040 --> 00:00:37,520
1除以，1的自然对数是多少呢

8
00:00:37,520 --> 00:00:40,250
e的几次方等于1呢

9
00:00:40,250 --> 00:00:43,140
任何数的零次幂都为1，所以e的零次幂也为1

10
00:00:43,140 --> 00:00:45,420
所以1的自然对数值为

11
00:00:45,420 --> 00:00:49,350
0

12
00:00:49,350 --> 00:00:54,300
所以我们得到了奇怪且无解的1/0-1/0

13
00:00:54,300 --> 00:00:56,370
这是一种奇怪的无解形式

14
00:00:56,370 --> 00:00:59,880
但这并不是我们在l'Hopital's rule 中看到的无解形式

15
00:00:59,880 --> 00:01:03,750
我们不会求出0/0，也不会求出∞/∞

16
00:01:03,750 --> 00:01:07,150
所以你也许会说，好吧，这不是一个l'Hopital 法则的问题

17
00:01:07,150 --> 00:01:09,910
我们须以另一种方式将此题解出

18
00:01:09,910 --> 00:01:13,210
不要放弃呀

19
00:01:13,210 --> 00:01:16,880
也许我们可以以某种代数的方式改写这个式子

20
00:01:16,880 --> 00:01:20,380
以使其变化为l'Hopital 的不确定形式

21
00:01:20,380 --> 00:01:23,040
接着我们就可将之直接运用了

22
00:01:23,040 --> 00:01:24,790
为了将之解决，让我们看看如果将这两式相加

23
00:01:24,790 --> 00:01:26,470
又会如何呢

24
00:01:26,470 --> 00:01:29,865
所以如果我将这两式相加

25
00:01:29,865 --> 00:01:36,850
分母将为（x-1）*ln x

26
00:01:36,850 --> 00:01:38,740
我仅是将这两式相乘

27
00:01:38,740 --> 00:01:43,420
接着分子将为

28
00:01:43,420 --> 00:01:46,436
好的，如果我将这整个式子同时乘上ln x

29
00:01:46,436 --> 00:01:51,317
所以分子将为x*ln x

30
00:01:51,317 --> 00:01:52,930
这个式子我将其整体乘以（x-1）

31
00:01:52,930 --> 00:01:54,955
那么即为-（x-1）

32
00:01:58,510 --> 00:02:03,850
你可以将之拆分（验证），并发现其与原式一致

33
00:02:03,900 --> 00:02:10,310
那么在这边，x/x-1,由于ln x消掉了

34
00:02:10,310 --> 00:02:12,220
让我们将其搁一边

35
00:02:12,220 --> 00:02:21,510
那么这边就是-1/ln x由于（x-1）被消掉了

36
00:02:21,510 --> 00:02:25,120
希望你理解了关于我处理这两表达式的用意

37
00:02:25,120 --> 00:02:29,110
所以借此入手，我们看下取x为1时

38
00:02:29,110 --> 00:02:31,600
此式会如何变化呢

39
00:02:31,600 --> 00:02:33,010
因为这些式子是相同的

40
00:02:33,010 --> 00:02:35,320
所以我们得到什么了吗

41
00:02:35,320 --> 00:02:36,360
我们得到了1*ln 1

42
00:02:36,360 --> 00:02:38,810
由于ln 1的值为0所以我们就得到了0

43
00:02:38,810 --> 00:02:47,200
减去0，所以原式值为0

44
00:02:47,200 --> 00:02:51,000
所以我们有了0作为分子

45
00:02:51,000 --> 00:02:55,570
并且在分母中，我们求出了1-1，值为零乘上

46
00:02:55,570 --> 00:03:00,100
ln 1， 其值也为0，故分母值也为0

47
00:03:00,100 --> 00:03:04,940
我们得到了应用l'Hopital法则所需的不定形式

48
00:03:04,940 --> 00:03:07,110
假设我们求出了它的导数

49
00:03:07,110 --> 00:03:09,360
求出极限所在的导数

50
00:03:09,360 --> 00:03:11,130
让我们试着做一下

51
00:03:11,130 --> 00:03:15,340
这将等于

52
00:03:15,340 --> 00:03:19,200
x到1的极限

53
00:03:19,200 --> 00:03:22,490
让我们用品红色将其导数写出

54
00:03:22,490 --> 00:03:26,190
我将取这个分子的导数

55
00:03:26,190 --> 00:03:28,590
所以对第一项，让我们做乘积法则

56
00:03:28,590 --> 00:03:32,970
x的导数是1，接着乘上x的自然对数

57
00:03:32,970 --> 00:03:35,920
第一项的导数乘

58
00:03:35,920 --> 00:03:36,930
第二项

59
00:03:36,930 --> 00:03:39,570
接着我们要加上第二项的导数

60
00:03:39,570 --> 00:03:43,820
加上1/x，乘上第一项

61
00:03:43,820 --> 00:03:45,330
这就是乘积法则

62
00:03:45,330 --> 00:03:47,920
所以1/x乘上x，让我们看下，就是1

63
00:03:47,920 --> 00:03:54,390
接着我们求-（x-1）的导数

64
00:03:54,390 --> 00:03:58,450
x-1的导数就是1

65
00:03:58,450 --> 00:04:01,090
所以我们得到-1

66
00:04:01,090 --> 00:04:08,710
接着分子除以分母的的导数

67
00:04:08,710 --> 00:04:11,340
所以我们来求导

68
00:04:11,340 --> 00:04:16,600
第一项为x-1，则其导数为1

69
00:04:16,600 --> 00:04:20,330
乘上第二项的x的自然对数

70
00:04:20,330 --> 00:04:23,520
x的自然对数的导数

71
00:04:23,520 --> 00:04:28,350
是1/x乘上x-1

72
00:04:32,140 --> 00:04:34,240
我想我们可以将其简化一下

73
00:04:34,240 --> 00:04:37,270
1/x乘x得1

74
00:04:37,270 --> 00:04:38,580
我们将从中减去1

75
00:04:38,580 --> 00:04:40,910
所以这些都消掉了，就在这

76
00:04:40,910 --> 00:04:45,710
所以整个表达式可写为，随着x趋于1

77
00:04:45,710 --> 00:04:51,260
分子是x的自然对数

78
00:04:51,260 --> 00:04:57,160
用红笔写出来了，分母则是

79
00:04:57,160 --> 00:05:03,600
x的自然对数加上（x-1）/x

80
00:05:03,600 --> 00:05:05,250
所以让我们求出此极限的值

81
00:05:05,250 --> 00:05:09,060
当x的值为1时

82
00:05:09,060 --> 00:05:13,640
1的自然对数为0

83
00:05:13,640 --> 00:05:19,720
在这，我们得到了1的自然对数为0

84
00:05:19,720 --> 00:05:27,920
紧接着是1-1/1

85
00:05:27,920 --> 00:05:28,900
又是一个0

86
00:05:28,900 --> 00:05:29,810
1-1为0

87
00:05:29,810 --> 00:05:30,680
所以你将有0+0

88
00:05:30,680 --> 00:05:35,740
你有得到了0/0

89
00:05:35,740 --> 00:05:38,230
所以让我们再度应用l'Hopital法则

90
00:05:38,230 --> 00:05:39,890
让我们求它的导数

91
00:05:39,890 --> 00:05:41,240
除以它的导数

92
00:05:41,240 --> 00:05:44,210
所以如果我们想取极值，

93
00:05:44,210 --> 00:05:51,950
等于，当x到达1时，分子的导数

94
00:05:51,950 --> 00:05:56,320
1/x，是的，x的自然对数的导数的值为

95
00:05:56,320 --> 00:06:00,340
1/x除以分母的导数

96
00:06:00,340 --> 00:06:01,160
那将是多少呢

97
00:06:01,160 --> 00:06:06,950
x的自然对数的导数为1/x加上

98
00:06:06,950 --> 00:06:09,590
（x-1）/x的导数

99
00:06:09,590 --> 00:06:13,120
你可以这样想，1/x乘x

100
00:06:13,120 --> 00:06:16,730
好吧，x到负1的导数，我们将取

101
00:06:16,730 --> 00:06:19,280
第一个数的一乘以第二个数的导数，以及

102
00:06:19,280 --> 00:06:20,670
然后是第二个导数乘上

103
00:06:20,670 --> 00:06:21,610
第一个数

104
00:06:21,610 --> 00:06:24,980
因此，第一项的导数，x 到负 1，是

105
00:06:24,980 --> 00:06:30,030
负x的-2次方乘上第二项，

106
00:06:30,030 --> 00:06:34,830
x-1，加上第二项的导数，

107
00:06:34,830 --> 00:06:39,780
就是1乘上第一项，1/x

108
00:06:39,780 --> 00:06:45,860
所以这将等于

109
00:06:47,070 --> 00:06:48,780
我讲到哪了？

110
00:06:48,780 --> 00:06:50,710
哦我们正在化简原式呢

111
00:06:50,710 --> 00:06:52,210
让我们用上l'Hopital法则

112
00:06:52,210 --> 00:06:58,010
所以这将等于

113
00:06:58,010 --> 00:07:02,390
如果我们使x的值为1

114
00:07:02,390 --> 00:07:05,610
整个分子值为1/1，就是1了

115
00:07:05,610 --> 00:07:09,327
所以我们绝对不会得到一个无穷大或0/0

116
00:07:09,327 --> 00:07:11,460
分母的值将为

117
00:07:11,460 --> 00:07:12,960
如果你取x的值为1，那么就是1/1，

118
00:07:12,960 --> 00:07:18,180
加上-1到-2

119
00:07:18,180 --> 00:07:21,490
或者你可以说，-1到-2就是1，所以是1

120
00:07:21,490 --> 00:07:22,445
只不过是负的罢了

121
00:07:22,445 --> 00:07:24,820
但是接着你将其乘1再减1

122
00:07:24,820 --> 00:07:27,100
就得到0，所以整项都消去了

123
00:07:27,100 --> 00:07:29,890
接着你加上另一个1/1，

124
00:07:29,890 --> 00:07:34,090
所以整个式子将为1/2

125
00:07:34,090 --> 00:07:34,990
你解出来了

126
00:07:34,990 --> 00:07:37,620
通过L'Hopital法则，我们求出了一个

127
00:07:37,620 --> 00:07:39,050
并不会得出0/0结果的式子

128
00:07:39,050 --> 00:07:40,260
的值

129
00:07:40,260 --> 00:07:44,110
我们就乘入了两项并分别得求分子与分母

130
00:07:44,110 --> 00:07:46,460
的导数，求了两次

131
00:07:46,460 --> 00:07:49,180
最终我们得到了极值