0:00:00.510,0:00:09.250
我们想求出随着x接近1时，表达式x/x-1

0:00:09.250,0:00:16.080
乘上1/ln x的极限值

0:00:16.080,0:00:21.230
所以让我们看下当我们仅是输入1时

0:00:21.230,0:00:24.630
会发生什么

0:00:24.630,0:00:30.050
好，接着我们在此处得到1，1-1

0:00:30.050,0:00:35.040
所以我们会得到1/0减去

0:00:35.040,0:00:37.520
1除以，1的自然对数是多少呢

0:00:37.520,0:00:40.250
e的几次方等于1呢

0:00:40.250,0:00:43.140
任何数的零次幂都为1，所以e的零次幂也为1

0:00:43.140,0:00:45.420
所以1的自然对数值为

0:00:45.420,0:00:49.350
0

0:00:49.350,0:00:54.300
所以我们得到了奇怪且无解的1/0-1/0

0:00:54.300,0:00:56.370
这是一种奇怪的无解形式

0:00:56.370,0:00:59.880
但这并不是我们在l'Hopital's rule 中看到的无解形式

0:00:59.880,0:01:03.750
我们不会求出0/0，也不会求出∞/∞

0:01:03.750,0:01:07.150
所以你也许会说，好吧，这不是一个l'Hopital 法则的问题

0:01:07.150,0:01:09.910
我们须以另一种方式将此题解出

0:01:09.910,0:01:13.210
不要放弃呀

0:01:13.210,0:01:16.880
也许我们可以以某种代数的方式改写这个式子

0:01:16.880,0:01:20.380
以使其变化为l'Hopital 的不确定形式

0:01:20.380,0:01:23.040
接着我们就可将之直接运用了

0:01:23.040,0:01:24.790
为了将之解决，让我们看看如果将这两式相加

0:01:24.790,0:01:26.470
又会如何呢

0:01:26.470,0:01:29.865
所以如果我将这两式相加

0:01:29.865,0:01:36.850
分母将为（x-1）*ln x

0:01:36.850,0:01:38.740
我仅是将这两式相乘

0:01:38.740,0:01:43.420
接着分子将为

0:01:43.420,0:01:46.436
好的，如果我将这整个式子同时乘上ln x

0:01:46.436,0:01:51.317
所以分子将为x*ln x

0:01:51.317,0:01:52.930
这个式子我将其整体乘以（x-1）

0:01:52.930,0:01:54.955
那么即为-（x-1）

0:01:58.510,0:02:03.850
你可以将之拆分（验证），并发现其与原式一致

0:02:03.900,0:02:10.310
那么在这边，x/x-1,由于ln x消掉了

0:02:10.310,0:02:12.220
让我们将其搁一边

0:02:12.220,0:02:21.510
那么这边就是-1/ln x由于（x-1）被消掉了

0:02:21.510,0:02:25.120
希望你理解了关于我处理这两表达式的用意

0:02:25.120,0:02:29.110
所以借此入手，我们看下取x为1时

0:02:29.110,0:02:31.600
此式会如何变化呢

0:02:31.600,0:02:33.010
因为这些式子是相同的

0:02:33.010,0:02:35.320
所以我们得到什么了吗

0:02:35.320,0:02:36.360
我们得到了1*ln 1

0:02:36.360,0:02:38.810
由于ln 1的值为0所以我们就得到了0

0:02:38.810,0:02:47.200
减去0，所以原式值为0

0:02:47.200,0:02:51.000
所以我们有了0作为分子

0:02:51.000,0:02:55.570
并且在分母中，我们求出了1-1，值为零乘上

0:02:55.570,0:03:00.100
ln 1， 其值也为0，故分母值也为0

0:03:00.100,0:03:04.940
我们得到了应用l'Hopital法则所需的不定形式

0:03:04.940,0:03:07.110
假设我们求出了它的导数

0:03:07.110,0:03:09.360
求出极限所在的导数

0:03:09.360,0:03:11.130
让我们试着做一下

0:03:11.130,0:03:15.340
这将等于

0:03:15.340,0:03:19.200
x到1的极限

0:03:19.200,0:03:22.490
让我们用品红色将其导数写出

0:03:22.490,0:03:26.190
我将取这个分子的导数

0:03:26.190,0:03:28.590
所以对第一项，让我们做乘积法则

0:03:28.590,0:03:32.970
x的导数是1，接着乘上x的自然对数

0:03:32.970,0:03:35.920
第一项的导数乘

0:03:35.920,0:03:36.930
第二项

0:03:36.930,0:03:39.570
接着我们要加上第二项的导数

0:03:39.570,0:03:43.820
加上1/x，乘上第一项

0:03:43.820,0:03:45.330
这就是乘积法则

0:03:45.330,0:03:47.920
所以1/x乘上x，让我们看下，就是1

0:03:47.920,0:03:54.390
接着我们求-（x-1）的导数

0:03:54.390,0:03:58.450
x-1的导数就是1

0:03:58.450,0:04:01.090
所以我们得到-1

0:04:01.090,0:04:08.710
接着分子除以分母的的导数

0:04:08.710,0:04:11.340
所以我们来求导

0:04:11.340,0:04:16.600
第一项为x-1，则其导数为1

0:04:16.600,0:04:20.330
乘上第二项的x的自然对数

0:04:20.330,0:04:23.520
x的自然对数的导数

0:04:23.520,0:04:28.350
是1/x乘上x-1

0:04:32.140,0:04:34.240
我想我们可以将其简化一下

0:04:34.240,0:04:37.270
1/x乘x得1

0:04:37.270,0:04:38.580
我们将从中减去1

0:04:38.580,0:04:40.910
所以这些都消掉了，就在这

0:04:40.910,0:04:45.710
所以整个表达式可写为，随着x趋于1

0:04:45.710,0:04:51.260
分子是x的自然对数

0:04:51.260,0:04:57.160
用红笔写出来了，分母则是

0:04:57.160,0:05:03.600
x的自然对数加上（x-1）/x

0:05:03.600,0:05:05.250
所以让我们求出此极限的值

0:05:05.250,0:05:09.060
当x的值为1时

0:05:09.060,0:05:13.640
1的自然对数为0

0:05:13.640,0:05:19.720
在这，我们得到了1的自然对数为0

0:05:19.720,0:05:27.920
紧接着是1-1/1

0:05:27.920,0:05:28.900
又是一个0

0:05:28.900,0:05:29.810
1-1为0

0:05:29.810,0:05:30.680
所以你将有0+0

0:05:30.680,0:05:35.740
你有得到了0/0

0:05:35.740,0:05:38.230
所以让我们再度应用l'Hopital法则

0:05:38.230,0:05:39.890
让我们求它的导数

0:05:39.890,0:05:41.240
除以它的导数

0:05:41.240,0:05:44.210
所以如果我们想取极值，

0:05:44.210,0:05:51.950
等于，当x到达1时，分子的导数

0:05:51.950,0:05:56.320
1/x，是的，x的自然对数的导数的值为

0:05:56.320,0:06:00.340
1/x除以分母的导数

0:06:00.340,0:06:01.160
那将是多少呢

0:06:01.160,0:06:06.950
x的自然对数的导数为1/x加上

0:06:06.950,0:06:09.590
（x-1）/x的导数

0:06:09.590,0:06:13.120
你可以这样想，1/x乘x

0:06:13.120,0:06:16.730
好吧，x到负1的导数，我们将取

0:06:16.730,0:06:19.280
第一个数的一乘以第二个数的导数，以及

0:06:19.280,0:06:20.670
然后是第二个导数乘上

0:06:20.670,0:06:21.610
第一个数

0:06:21.610,0:06:24.980
因此，第一项的导数，x 到负 1，是

0:06:24.980,0:06:30.030
负x的-2次方乘上第二项，

0:06:30.030,0:06:34.830
x-1，加上第二项的导数，

0:06:34.830,0:06:39.780
就是1乘上第一项，1/x

0:06:39.780,0:06:45.860
所以这将等于

0:06:47.070,0:06:48.780
我讲到哪了？

0:06:48.780,0:06:50.710
哦我们正在化简原式呢

0:06:50.710,0:06:52.210
让我们用上l'Hopital法则

0:06:52.210,0:06:58.010
所以这将等于

0:06:58.010,0:07:02.390
如果我们使x的值为1

0:07:02.390,0:07:05.610
整个分子值为1/1，就是1了

0:07:05.610,0:07:09.327
所以我们绝对不会得到一个无穷大或0/0

0:07:09.327,0:07:11.460
分母的值将为

0:07:11.460,0:07:12.960
如果你取x的值为1，那么就是1/1，

0:07:12.960,0:07:18.180
加上-1到-2

0:07:18.180,0:07:21.490
或者你可以说，-1到-2就是1，所以是1

0:07:21.490,0:07:22.445
只不过是负的罢了

0:07:22.445,0:07:24.820
但是接着你将其乘1再减1

0:07:24.820,0:07:27.100
就得到0，所以整项都消去了

0:07:27.100,0:07:29.890
接着你加上另一个1/1，

0:07:29.890,0:07:34.090
所以整个式子将为1/2

0:07:34.090,0:07:34.990
你解出来了

0:07:34.990,0:07:37.620
通过L'Hopital法则，我们求出了一个

0:07:37.620,0:07:39.050
并不会得出0/0结果的式子

0:07:39.050,0:07:40.260
的值

0:07:40.260,0:07:44.110
我们就乘入了两项并分别得求分子与分母

0:07:44.110,0:07:46.460
的导数，求了两次

0:07:46.460,0:07:49.180
最终我们得到了极值