WEBVTT

00:00:00.510 --> 00:00:08.060
Chúng ta muốn tìm ra giới hạn khi x tiến tới 1 của

00:00:08.060 --> 00:00:14.570
của biểu thức x trên x trừ đi
1 trừ 1 trên

00:00:14.570 --> 00:00:17.930
log tự nhiên của x.

00:00:17.930 --> 00:00:19.900
Vì vậy, hãy chỉ xem điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta chỉ

00:00:19.900 --> 00:00:21.230
cố gắng đưa 1 vào.

00:00:21.230 --> 00:00:24.630
Điều gì xảy ra nếu chúng ta tính biểu thức này tại 1?

00:00:24.630 --> 00:00:30.050
Vậy thì, chúng ta sẽ có một ở đây, trên 1 trừ 1.

00:00:30.050 --> 00:00:35.040
Vì vậy, chúng tôi sẽ nhận được một cái gì đó giống như 1 trên 0, trừ 1

00:00:35.040 --> 00:00:37.520
trên, và log tự nhiên của 1 là gì?

00:00:37.520 --> 00:00:40.250
e mũ gì sẽ bằng 1?

00:00:40.250 --> 00:00:43.140
Bất cứ cái gì mũ 0 cũng đều bằng 1, vậy e mũ

00:00:43.140 --> 00:00:45.420
0 sẽ bằng 1, vậy log

00:00:45.420 --> 00:00:49.350
tự nhiên của 1 sẽ bằng 0.

00:00:49.350 --> 00:00:51.820
Vậy chúng ta được 1 trên

00:00:51.820 --> 00:00:54.300
trừ 1 trên 0 thật kỳ lạ.

00:00:54.300 --> 00:00:56.370
Đó là dạng không xác định trông kỳ lạ này.

00:00:56.370 --> 00:00:58.820
Nhưng nó không phải là dạng không xác định mà chúng ta tìm kiếm

00:00:58.820 --> 00:00:59.880
trong quy tắc của l'Hopital.

00:00:59.880 --> 00:01:02.625
Chúng ta không nhận được 0 trên 0, chúng ta không nhận được

00:01:02.625 --> 00:01:03.750
vô hạn trên vô hạn.

00:01:03.750 --> 00:01:06.640
Vì vậy, bạn có thể chỉ nói, này, OK, đây là bài tập không thuộc

00:01:06.640 --> 00:01:07.150
quy tắc của L'Hopital.

00:01:07.150 --> 00:01:09.910
Chúng ta sẽ phải tìm ra giới hạn này theo cách khác.

00:01:09.910 --> 00:01:13.210
Và mình sẽ nói, cũng đừng bỏ cuộc!

00:01:13.210 --> 00:01:16.880
Có lẽ chúng ta có thể vận dụng cái này bằng cách nào đó để

00:01:16.880 --> 00:01:20.380
nó cung cấp cho chúng ta dạng không xác định l'Hopital, và sau đó

00:01:20.380 --> 00:01:23.040
chúng ta chỉ có thể áp dụng quy tắc.

00:01:23.040 --> 00:01:24.790
Và để làm điều đó, chúng ta hãy xem, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta

00:01:24.790 --> 00:01:26.470
cộng 2 biểu thức này?

00:01:26.470 --> 00:01:29.865
Vì vậy, nếu chúng ta cộng chúng, vì vậy, biểu thức này, nếu chúng ta cộng nó,

00:01:29.865 --> 00:01:32.160
nó sẽ là... mẫu số chung sẽ là x

00:01:32.160 --> 00:01:36.850
trừ 1 nhân log tự nhiên của x.

00:01:36.850 --> 00:01:38.740
Mình chỉ nhân các mẫu số.

00:01:38.740 --> 00:01:43.420
Và sau đó tử số sẽ là, nếu mình nhân

00:01:43.420 --> 00:01:46.436
cơ bản toàn bộ số hạng này với
log tự nhiên của x, vì vậy nó sẽ

00:01:46.436 --> 00:01:51.317
là x log tự nhiên của x, và sau đó toàn bộ số hạng này mình sẽ

00:01:51.317 --> 00:01:52.930
nhân với x trừ một.

00:01:52.930 --> 00:01:54.955
Vậy trừ x trừ 1.

00:01:58.510 --> 00:02:00.540
Và bạn có thể tách nó ra và thấy rằng biểu thức này

00:02:00.540 --> 00:02:02.870
và biểu thức này cũng giống như vậy.

00:02:02.870 --> 00:02:07.000
Điều này ngay đây, ngay kia, giống như x

00:02:07.000 --> 00:02:10.310
trên x trừ 1, bởi vì
log tự nhiên của x bị triệt tiêu.

00:02:10.310 --> 00:02:12.220
Để mình loại bỏ cái đó.

00:02:12.220 --> 00:02:18.430
Và điều này ngay tại đây cũng giống như 1 trên log

00:02:18.430 --> 00:02:21.510
tự nhiên của x, bởi vì x trừ đi 1 bị triệt tiêu.

00:02:21.510 --> 00:02:23.630
Vì vậy, hy vọng bạn nhận ra, tất cả những gì mình đã làm là mình đã

00:02:23.630 --> 00:02:25.120
cộng hai biểu thức này.

00:02:25.120 --> 00:02:29.110
Vì vậy, hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu mình lấy giới hạn khi x

00:02:29.110 --> 00:02:31.600
tiến tới 1 của điều này.

00:02:31.600 --> 00:02:33.010
Bởi vì đây là những thứ giống nhau.

00:02:33.010 --> 00:02:35.320
Chúng ta có nhận được điều gì thú vị hơn không?

00:02:35.320 --> 00:02:36.360
Vậy chúng ta có gì ở đây nào?

00:02:36.360 --> 00:02:38.810
Chúng ta có một nhân log tự nheien của 1.

00:02:38.810 --> 00:02:43.650
Log tự nhiên của 1 là 0, vì vậy chúng ta có 0 ở đây, vì vậy đó là 0.

00:02:43.650 --> 00:02:47.200
Trừ 1 trừ 0, vì vậy sẽ là một số 0 khác, trừ 0.

00:02:47.200 --> 00:02:51.000
Vì vậy, chúng ta nhận được một số 0 trong tử số.

00:02:51.000 --> 00:02:55.570
Và ở mẫu số, chúng ta nhận được 1 trừ 1, là 0, nhân

00:02:55.570 --> 00:03:00.100
log tự nhiên của 1, là 0, vậy 0 nhân 0, là 0.

00:03:00.100 --> 00:03:00.960
Và bạn có nó rồi đấy!

00:03:00.960 --> 00:03:04.940
Chúng ta có dạng không xác định mà chúng ta cần cho quy tắc của l'Hopital,

00:03:04.940 --> 00:03:07.110
giả sử rằng nếu chúng ta lấy đạo hàm của nó, và đặt nó

00:03:07.110 --> 00:03:09.360
trên đạo hàm của nó,
rằng giới hạn đó tồn tại.

00:03:09.360 --> 00:03:11.130
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng làm điều đó.

00:03:11.130 --> 00:03:15.340
Vì vậy, điều này sẽ bằng, nếu giới hạn tồn tại, điều này

00:03:15.340 --> 00:03:19.200
sẽ bằng
giới hạn khi x tiến tới 1.

00:03:19.200 --> 00:03:22.490
Và hãy lấy đạo hàm bằng màu đỏ, mình sẽ lấy

00:03:22.490 --> 00:03:26.190
đạo hàm của tử số này ngay tại đây.

00:03:26.190 --> 00:03:28.590
Và đối với số hạng đầu tiên này, chỉ cần thực hiện quy tắc tích.

00:03:28.590 --> 00:03:32.970
Đạo hàm của x là một, và sau đó bằng 1 nhân log tự nhiên

00:03:32.970 --> 00:03:35.920
của x, đạo hàm của số hạng thứ nhất nhân với

00:03:35.920 --> 00:03:36.930
số hạng thứ hai.

00:03:36.930 --> 00:03:39.570
Và sau đó chúng ta sẽ cộng với đạo hàm của

00:03:39.570 --> 00:03:43.820
số hạng thứ hai cộng với 1 trên x nhân số hạng đầu tiên.

00:03:43.820 --> 00:03:45.430
Đó chỉ là quy tắc tích.

00:03:45.430 --> 00:03:47.920
Vậy 1 trên x nhân x, chúng ta sẽ thấy, đó chỉ là 1,

00:03:47.920 --> 00:03:54.390
và sau đó chúng ta đã trừ đạo hàm của x trừ đi 1.

00:03:54.390 --> 00:03:58.450
Đạo hàm của x trừ 1 chỉ là 1, vì vậy nó sẽ

00:03:58.450 --> 00:04:01.090
là trừ 1.

00:04:01.090 --> 00:04:08.710
Và sau đó, tất cả trên đạo hàm của cái này.

00:04:08.710 --> 00:04:11.340
Vì vậy, chúng ta hãy lấy đạo hàm của cái đó, ở đây.

00:04:11.340 --> 00:04:16.600
Vì vậy, đạo hàm của số hạng đầu tiên, của x trừ đi 1, chỉ là 1.

00:04:16.600 --> 00:04:20.330
Nhân nó với số hạng thứ hai, bạn được log tự nhiên của x.

00:04:20.330 --> 00:04:23.520
Và sau đó cộng với đạo hàm của số hạng thứ hai, đạo hàm

00:04:23.520 --> 00:04:28.350
của log tự nhiên của x là một
trên x, nhân x trừ 1.

00:04:32.140 --> 00:04:34.240
Mình nghĩ chúng ta có thể rút gọn điều này một chút.

00:04:34.240 --> 00:04:37.270
Đây là 1 trên x nhân x, là 1.

00:04:37.270 --> 00:04:38.580
Chúng ta sẽ trừ 1 từ nó.

00:04:38.580 --> 00:04:40.910
Vậy những cái này triệt tiêu, ngay đây.

00:04:40.910 --> 00:04:45.710
Và do đó, toàn bộ biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng giới hạn

00:04:45.710 --> 00:04:51.260
như tiến tới 1, tử số chỉ là log tự nhiên của x, làm

00:04:51.260 --> 00:04:57.160
bằng màu đỏ, và mẫu số là log tự nhiên

00:04:57.160 --> 00:05:03.600
của x cộng x trừ 1 trên x

00:05:03.600 --> 00:05:05.250
Vì vậy, chúng ta hãy thử tính giới hạn này ở đây.

00:05:05.250 --> 00:05:09.060
Vì vậy, nếu chúng ta lấy x tiến tới 1 của log tự nhiên của x,

00:05:09.060 --> 00:05:13.640
nó sẽ cho chúng ta log tự nhiên của 1 là 0.

00:05:13.640 --> 00:05:19.720
Và ở đây, chúng ta nhận được log tự nhiên của 1, là 0.

00:05:19.720 --> 00:05:27.920
Và sau đó cộng 1 trừ 1 cộng với 1 trừ 1 trên 1,

00:05:27.920 --> 00:05:28.900
đó sẽ là một con số 0 khác.

00:05:28.900 --> 00:05:29.810
1 trừ 1 bằng không.

00:05:29.810 --> 00:05:30.680
Vì vậy, bạn sẽ có 0 cộng với 0.

00:05:30.680 --> 00:05:34.140
Vì vậy, bạn sẽ nhận được 0 trên 0 một lần nữa.

00:05:34.140 --> 00:05:35.740
0 trên 0.

00:05:35.740 --> 00:05:38.230
Vì vậy, một lần nữa, chúng ta hãy áp dụng quy tắc của l'Hopital lần nữa.

00:05:38.230 --> 00:05:39.890
Hãy lấy đạo hàm của điều đó, đặt nó trên

00:05:39.890 --> 00:05:41.240
đạo hàm của nó.

00:05:41.240 --> 00:05:44.210
Vì vậy, điều này, nếu chúng ta sắp đạt đến một giới hạn, sẽ bằng với

00:05:44.210 --> 00:05:51.950
giới hạn khi x tiến tới 1 trong đạo hàm

00:05:51.950 --> 00:05:56.320
của tử số, 1 trên x, đúng, đạo hàm ln của

00:05:56.320 --> 00:06:00.340
x là 1 / x , trên đạo hàm của mẫu số.

00:06:00.340 --> 00:06:01.160
Và cái đó là cái gì?

00:06:01.160 --> 00:06:06.950
Đạo hàm của log tự nhiên của x bằng 1 trên x

00:06:06.950 --> 00:06:09.590
cộng với đạo hàm của x trừ 1 trên x.

00:06:09.590 --> 00:06:13.120
Bạn có thể xem nó theo cách này, 1 trên x nhân x trừ 1.

00:06:13.120 --> 00:06:16.730
Đạo hàm của x đến âm 1, chúng ta sẽ lấy

00:06:16.730 --> 00:06:19.280
đạo hàm của cái thứ nhất nhân với cái thứ hai, và

00:06:19.280 --> 00:06:20.670
và sau đó lấy đạo hàm của cái thứ hai nhân với

00:06:20.670 --> 00:06:21.610
cái thứ nhất.

00:06:21.610 --> 00:06:24.980
Vì vậy, đạo hàm của số hạng đầu tiên, x mũ âm 1,

00:06:24.980 --> 00:06:30.030
là âm x mũ âm 2 nhân số hạng thứ hai, nhân x

00:06:30.030 --> 00:06:34.830
trừ 1, cộng đạo hàm của số hạng thứ hai, chỉ

00:06:34.830 --> 00:06:39.780
là 1 nhân số hạng thứ nhất, cộng 1 trên x.

00:06:39.780 --> 00:06:45.060
Vì vậy, điều này sẽ tương đương với, mình vừa có một thứ ngẫu nhiên

00:06:45.060 --> 00:06:45.860
hiện lên trên máy tính của mình.

00:06:45.860 --> 00:06:47.730
...

00:06:47.730 --> 00:06:48.780
Tiếp tục nào.

00:06:48.780 --> 00:06:50.710
Hãy rút gọn cái này.

00:06:50.710 --> 00:06:52.210
Chúng ta đang thực hiện quy tắc l'Hopital.

00:06:52.210 --> 00:06:58.010
Vì vậy, điều này sẽ bằng, để mình, điều này sẽ bằng,

00:06:58.010 --> 00:07:02.870
nếu chúng ta tính x bằng 1, tử số chỉ

00:07:02.870 --> 00:07:05.610
bằng 1/1, là 1.

00:07:05.610 --> 00:07:07.406
Vì vậy, chúng ta chắc chắn sẽ không có dạng không xác định hoặc

00:07:07.406 --> 00:07:09.480
ít nhất là 0/0 nữa.

00:07:09.480 --> 00:07:12.080
Và mẫu số sẽ là, nếu bạn tính nó ở 1,

00:07:12.080 --> 00:07:18.180
đó là 1/1, là 1, cộng âm 1 mũ âm 2.

00:07:18.180 --> 00:07:21.490
Vậy, hoặc bạn nói, 1 mũ âm 2 chỉ là 1, nó

00:07:21.490 --> 00:07:22.445
chỉ là âm 1.

00:07:22.445 --> 00:07:24.820
Nhưng sau đó bạn nhân nó với 1 trừ 1, là

00:07:24.820 --> 00:07:27.100
0, vậy cả số hạng này sẽ bị triệt tiêu.

00:07:27.100 --> 00:07:29.890
Và bạn có cộng 1 trên 1 khác.

00:07:29.890 --> 00:07:34.090
Và cộng 1, và vì vậy cái này sẽ bằng 1/2.

00:07:34.090 --> 00:07:34.990
Và bạn có nó rồi đấy.

00:07:34.990 --> 00:07:37.620
Sử dụng quy tắc của L'Hopital và một vài bước, chúng ta đã giải

00:07:37.620 --> 00:07:39.050
được vấn đề mà ít nhất ban đầu nó không giống

00:07:39.050 --> 00:07:40.260
như 0/0.

00:07:40.260 --> 00:07:44.110
Chúng ta vừa cộng 2 số hạng, được 0/0, lấy đạo hàm của

00:07:44.110 --> 00:07:46.460
tử số và mẫu số 2 lần liên tiếp

00:07:46.460 --> 00:07:49.180
để cuối cùng có được giới hạn của chúng ta.