1
00:00:00,510 --> 00:00:08,060
Chúng ta muốn tìm ra giới hạn khi x tiến tới 1 của

2
00:00:08,060 --> 00:00:14,570
của biểu thức x trên x trừ đi
1 trừ 1 trên

3
00:00:14,570 --> 00:00:17,930
log tự nhiên của x.

4
00:00:17,930 --> 00:00:19,900
Vì vậy, hãy chỉ xem điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta chỉ

5
00:00:19,900 --> 00:00:21,230
cố gắng đưa 1 vào.

6
00:00:21,230 --> 00:00:24,630
Điều gì xảy ra nếu chúng ta tính biểu thức này tại 1?

7
00:00:24,630 --> 00:00:30,050
Vậy thì, chúng ta sẽ có một ở đây, trên 1 trừ 1.

8
00:00:30,050 --> 00:00:35,040
Vì vậy, chúng tôi sẽ nhận được một cái gì đó giống như 1 trên 0, trừ 1

9
00:00:35,040 --> 00:00:37,520
trên, và log tự nhiên của 1 là gì?

10
00:00:37,520 --> 00:00:40,250
e mũ gì sẽ bằng 1?

11
00:00:40,250 --> 00:00:43,140
Bất cứ cái gì mũ 0 cũng đều bằng 1, vậy e mũ

12
00:00:43,140 --> 00:00:45,420
0 sẽ bằng 1, vậy log

13
00:00:45,420 --> 00:00:49,350
tự nhiên của 1 sẽ bằng 0.

14
00:00:49,350 --> 00:00:51,820
Vậy chúng ta được 1 trên

15
00:00:51,820 --> 00:00:54,300
trừ 1 trên 0 thật kỳ lạ.

16
00:00:54,300 --> 00:00:56,370
Đó là dạng không xác định trông kỳ lạ này.

17
00:00:56,370 --> 00:00:58,820
Nhưng nó không phải là dạng không xác định mà chúng ta tìm kiếm

18
00:00:58,820 --> 00:00:59,880
trong quy tắc của l'Hopital.

19
00:00:59,880 --> 00:01:02,625
Chúng ta không nhận được 0 trên 0, chúng ta không nhận được

20
00:01:02,625 --> 00:01:03,750
vô hạn trên vô hạn.

21
00:01:03,750 --> 00:01:06,640
Vì vậy, bạn có thể chỉ nói, này, OK, đây là bài tập không thuộc

22
00:01:06,640 --> 00:01:07,150
quy tắc của L'Hopital.

23
00:01:07,150 --> 00:01:09,910
Chúng ta sẽ phải tìm ra giới hạn này theo cách khác.

24
00:01:09,910 --> 00:01:13,210
Và mình sẽ nói, cũng đừng bỏ cuộc!

25
00:01:13,210 --> 00:01:16,880
Có lẽ chúng ta có thể vận dụng cái này bằng cách nào đó để

26
00:01:16,880 --> 00:01:20,380
nó cung cấp cho chúng ta dạng không xác định l'Hopital, và sau đó

27
00:01:20,380 --> 00:01:23,040
chúng ta chỉ có thể áp dụng quy tắc.

28
00:01:23,040 --> 00:01:24,790
Và để làm điều đó, chúng ta hãy xem, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta

29
00:01:24,790 --> 00:01:26,470
cộng 2 biểu thức này?

30
00:01:26,470 --> 00:01:29,865
Vì vậy, nếu chúng ta cộng chúng, vì vậy, biểu thức này, nếu chúng ta cộng nó,

31
00:01:29,865 --> 00:01:32,160
nó sẽ là... mẫu số chung sẽ là x

32
00:01:32,160 --> 00:01:36,850
trừ 1 nhân log tự nhiên của x.

33
00:01:36,850 --> 00:01:38,740
Mình chỉ nhân các mẫu số.

34
00:01:38,740 --> 00:01:43,420
Và sau đó tử số sẽ là, nếu mình nhân

35
00:01:43,420 --> 00:01:46,436
cơ bản toàn bộ số hạng này với
log tự nhiên của x, vì vậy nó sẽ

36
00:01:46,436 --> 00:01:51,317
là x log tự nhiên của x, và sau đó toàn bộ số hạng này mình sẽ

37
00:01:51,317 --> 00:01:52,930
nhân với x trừ một.

38
00:01:52,930 --> 00:01:54,955
Vậy trừ x trừ 1.

39
00:01:58,510 --> 00:02:00,540
Và bạn có thể tách nó ra và thấy rằng biểu thức này

40
00:02:00,540 --> 00:02:02,870
và biểu thức này cũng giống như vậy.

41
00:02:02,870 --> 00:02:07,000
Điều này ngay đây, ngay kia, giống như x

42
00:02:07,000 --> 00:02:10,310
trên x trừ 1, bởi vì
log tự nhiên của x bị triệt tiêu.

43
00:02:10,310 --> 00:02:12,220
Để mình loại bỏ cái đó.

44
00:02:12,220 --> 00:02:18,430
Và điều này ngay tại đây cũng giống như 1 trên log

45
00:02:18,430 --> 00:02:21,510
tự nhiên của x, bởi vì x trừ đi 1 bị triệt tiêu.

46
00:02:21,510 --> 00:02:23,630
Vì vậy, hy vọng bạn nhận ra, tất cả những gì mình đã làm là mình đã

47
00:02:23,630 --> 00:02:25,120
cộng hai biểu thức này.

48
00:02:25,120 --> 00:02:29,110
Vì vậy, hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu mình lấy giới hạn khi x

49
00:02:29,110 --> 00:02:31,600
tiến tới 1 của điều này.

50
00:02:31,600 --> 00:02:33,010
Bởi vì đây là những thứ giống nhau.

51
00:02:33,010 --> 00:02:35,320
Chúng ta có nhận được điều gì thú vị hơn không?

52
00:02:35,320 --> 00:02:36,360
Vậy chúng ta có gì ở đây nào?

53
00:02:36,360 --> 00:02:38,810
Chúng ta có một nhân log tự nheien của 1.

54
00:02:38,810 --> 00:02:43,650
Log tự nhiên của 1 là 0, vì vậy chúng ta có 0 ở đây, vì vậy đó là 0.

55
00:02:43,650 --> 00:02:47,200
Trừ 1 trừ 0, vì vậy sẽ là một số 0 khác, trừ 0.

56
00:02:47,200 --> 00:02:51,000
Vì vậy, chúng ta nhận được một số 0 trong tử số.

57
00:02:51,000 --> 00:02:55,570
Và ở mẫu số, chúng ta nhận được 1 trừ 1, là 0, nhân

58
00:02:55,570 --> 00:03:00,100
log tự nhiên của 1, là 0, vậy 0 nhân 0, là 0.

59
00:03:00,100 --> 00:03:00,960
Và bạn có nó rồi đấy!

60
00:03:00,960 --> 00:03:04,940
Chúng ta có dạng không xác định mà chúng ta cần cho quy tắc của l'Hopital,

61
00:03:04,940 --> 00:03:07,110
giả sử rằng nếu chúng ta lấy đạo hàm của nó, và đặt nó

62
00:03:07,110 --> 00:03:09,360
trên đạo hàm của nó,
rằng giới hạn đó tồn tại.

63
00:03:09,360 --> 00:03:11,130
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng làm điều đó.

64
00:03:11,130 --> 00:03:15,340
Vì vậy, điều này sẽ bằng, nếu giới hạn tồn tại, điều này

65
00:03:15,340 --> 00:03:19,200
sẽ bằng
giới hạn khi x tiến tới 1.

66
00:03:19,200 --> 00:03:22,490
Và hãy lấy đạo hàm bằng màu đỏ, mình sẽ lấy

67
00:03:22,490 --> 00:03:26,190
đạo hàm của tử số này ngay tại đây.

68
00:03:26,190 --> 00:03:28,590
Và đối với số hạng đầu tiên này, chỉ cần thực hiện quy tắc tích.

69
00:03:28,590 --> 00:03:32,970
Đạo hàm của x là một, và sau đó bằng 1 nhân log tự nhiên

70
00:03:32,970 --> 00:03:35,920
của x, đạo hàm của số hạng thứ nhất nhân với

71
00:03:35,920 --> 00:03:36,930
số hạng thứ hai.

72
00:03:36,930 --> 00:03:39,570
Và sau đó chúng ta sẽ cộng với đạo hàm của

73
00:03:39,570 --> 00:03:43,820
số hạng thứ hai cộng với 1 trên x nhân số hạng đầu tiên.

74
00:03:43,820 --> 00:03:45,430
Đó chỉ là quy tắc tích.

75
00:03:45,430 --> 00:03:47,920
Vậy 1 trên x nhân x, chúng ta sẽ thấy, đó chỉ là 1,

76
00:03:47,920 --> 00:03:54,390
và sau đó chúng ta đã trừ đạo hàm của x trừ đi 1.

77
00:03:54,390 --> 00:03:58,450
Đạo hàm của x trừ 1 chỉ là 1, vì vậy nó sẽ

78
00:03:58,450 --> 00:04:01,090
là trừ 1.

79
00:04:01,090 --> 00:04:08,710
Và sau đó, tất cả trên đạo hàm của cái này.

80
00:04:08,710 --> 00:04:11,340
Vì vậy, chúng ta hãy lấy đạo hàm của cái đó, ở đây.

81
00:04:11,340 --> 00:04:16,600
Vì vậy, đạo hàm của số hạng đầu tiên, của x trừ đi 1, chỉ là 1.

82
00:04:16,600 --> 00:04:20,330
Nhân nó với số hạng thứ hai, bạn được log tự nhiên của x.

83
00:04:20,330 --> 00:04:23,520
Và sau đó cộng với đạo hàm của số hạng thứ hai, đạo hàm

84
00:04:23,520 --> 00:04:28,350
của log tự nhiên của x là một
trên x, nhân x trừ 1.

85
00:04:32,140 --> 00:04:34,240
Mình nghĩ chúng ta có thể rút gọn điều này một chút.

86
00:04:34,240 --> 00:04:37,270
Đây là 1 trên x nhân x, là 1.

87
00:04:37,270 --> 00:04:38,580
Chúng ta sẽ trừ 1 từ nó.

88
00:04:38,580 --> 00:04:40,910
Vậy những cái này triệt tiêu, ngay đây.

89
00:04:40,910 --> 00:04:45,710
Và do đó, toàn bộ biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng giới hạn

90
00:04:45,710 --> 00:04:51,260
như tiến tới 1, tử số chỉ là log tự nhiên của x, làm

91
00:04:51,260 --> 00:04:57,160
bằng màu đỏ, và mẫu số là log tự nhiên

92
00:04:57,160 --> 00:05:03,600
của x cộng x trừ 1 trên x

93
00:05:03,600 --> 00:05:05,250
Vì vậy, chúng ta hãy thử tính giới hạn này ở đây.

94
00:05:05,250 --> 00:05:09,060
Vì vậy, nếu chúng ta lấy x tiến tới 1 của log tự nhiên của x,

95
00:05:09,060 --> 00:05:13,640
nó sẽ cho chúng ta log tự nhiên của 1 là 0.

96
00:05:13,640 --> 00:05:19,720
Và ở đây, chúng ta nhận được log tự nhiên của 1, là 0.

97
00:05:19,720 --> 00:05:27,920
Và sau đó cộng 1 trừ 1 cộng với 1 trừ 1 trên 1,

98
00:05:27,920 --> 00:05:28,900
đó sẽ là một con số 0 khác.

99
00:05:28,900 --> 00:05:29,810
1 trừ 1 bằng không.

100
00:05:29,810 --> 00:05:30,680
Vì vậy, bạn sẽ có 0 cộng với 0.

101
00:05:30,680 --> 00:05:34,140
Vì vậy, bạn sẽ nhận được 0 trên 0 một lần nữa.

102
00:05:34,140 --> 00:05:35,740
0 trên 0.

103
00:05:35,740 --> 00:05:38,230
Vì vậy, một lần nữa, chúng ta hãy áp dụng quy tắc của l'Hopital lần nữa.

104
00:05:38,230 --> 00:05:39,890
Hãy lấy đạo hàm của điều đó, đặt nó trên

105
00:05:39,890 --> 00:05:41,240
đạo hàm của nó.

106
00:05:41,240 --> 00:05:44,210
Vì vậy, điều này, nếu chúng ta sắp đạt đến một giới hạn, sẽ bằng với

107
00:05:44,210 --> 00:05:51,950
giới hạn khi x tiến tới 1 trong đạo hàm

108
00:05:51,950 --> 00:05:56,320
của tử số, 1 trên x, đúng, đạo hàm ln của

109
00:05:56,320 --> 00:06:00,340
x là 1 / x , trên đạo hàm của mẫu số.

110
00:06:00,340 --> 00:06:01,160
Và cái đó là cái gì?

111
00:06:01,160 --> 00:06:06,950
Đạo hàm của log tự nhiên của x bằng 1 trên x

112
00:06:06,950 --> 00:06:09,590
cộng với đạo hàm của x trừ 1 trên x.

113
00:06:09,590 --> 00:06:13,120
Bạn có thể xem nó theo cách này, 1 trên x nhân x trừ 1.

114
00:06:13,120 --> 00:06:16,730
Đạo hàm của x đến âm 1, chúng ta sẽ lấy

115
00:06:16,730 --> 00:06:19,280
đạo hàm của cái thứ nhất nhân với cái thứ hai, và

116
00:06:19,280 --> 00:06:20,670
và sau đó lấy đạo hàm của cái thứ hai nhân với

117
00:06:20,670 --> 00:06:21,610
cái thứ nhất.

118
00:06:21,610 --> 00:06:24,980
Vì vậy, đạo hàm của số hạng đầu tiên, x mũ âm 1,

119
00:06:24,980 --> 00:06:30,030
là âm x mũ âm 2 nhân số hạng thứ hai, nhân x

120
00:06:30,030 --> 00:06:34,830
trừ 1, cộng đạo hàm của số hạng thứ hai, chỉ

121
00:06:34,830 --> 00:06:39,780
là 1 nhân số hạng thứ nhất, cộng 1 trên x.

122
00:06:39,780 --> 00:06:45,060
Vì vậy, điều này sẽ tương đương với, mình vừa có một thứ ngẫu nhiên

123
00:06:45,060 --> 00:06:45,860
hiện lên trên máy tính của mình.

124
00:06:45,860 --> 00:06:47,730
...

125
00:06:47,730 --> 00:06:48,780
Tiếp tục nào.

126
00:06:48,780 --> 00:06:50,710
Hãy rút gọn cái này.

127
00:06:50,710 --> 00:06:52,210
Chúng ta đang thực hiện quy tắc l'Hopital.

128
00:06:52,210 --> 00:06:58,010
Vì vậy, điều này sẽ bằng, để mình, điều này sẽ bằng,

129
00:06:58,010 --> 00:07:02,870
nếu chúng ta tính x bằng 1, tử số chỉ

130
00:07:02,870 --> 00:07:05,610
bằng 1/1, là 1.

131
00:07:05,610 --> 00:07:07,406
Vì vậy, chúng ta chắc chắn sẽ không có dạng không xác định hoặc

132
00:07:07,406 --> 00:07:09,480
ít nhất là 0/0 nữa.

133
00:07:09,480 --> 00:07:12,080
Và mẫu số sẽ là, nếu bạn tính nó ở 1,

134
00:07:12,080 --> 00:07:18,180
đó là 1/1, là 1, cộng âm 1 mũ âm 2.

135
00:07:18,180 --> 00:07:21,490
Vậy, hoặc bạn nói, 1 mũ âm 2 chỉ là 1, nó

136
00:07:21,490 --> 00:07:22,445
chỉ là âm 1.

137
00:07:22,445 --> 00:07:24,820
Nhưng sau đó bạn nhân nó với 1 trừ 1, là

138
00:07:24,820 --> 00:07:27,100
0, vậy cả số hạng này sẽ bị triệt tiêu.

139
00:07:27,100 --> 00:07:29,890
Và bạn có cộng 1 trên 1 khác.

140
00:07:29,890 --> 00:07:34,090
Và cộng 1, và vì vậy cái này sẽ bằng 1/2.

141
00:07:34,090 --> 00:07:34,990
Và bạn có nó rồi đấy.

142
00:07:34,990 --> 00:07:37,620
Sử dụng quy tắc của L'Hopital và một vài bước, chúng ta đã giải

143
00:07:37,620 --> 00:07:39,050
được vấn đề mà ít nhất ban đầu nó không giống

144
00:07:39,050 --> 00:07:40,260
như 0/0.

145
00:07:40,260 --> 00:07:44,110
Chúng ta vừa cộng 2 số hạng, được 0/0, lấy đạo hàm của

146
00:07:44,110 --> 00:07:46,460
tử số và mẫu số 2 lần liên tiếp

147
00:07:46,460 --> 00:07:49,180
để cuối cùng có được giới hạn của chúng ta.