Chúng ta muốn tìm ra giới hạn khi x tiến tới 1 của
của biểu thức x trên x trừ đi 1 trừ 1 trên
log tự nhiên của x.
Vì vậy, hãy chỉ xem điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta chỉ
cố gắng đưa 1 vào.
Điều gì xảy ra nếu chúng ta tính biểu thức này tại 1?
Vậy thì, chúng ta sẽ có một ở đây, trên 1 trừ 1.
Vì vậy, chúng tôi sẽ nhận được một cái gì đó giống như 1 trên 0, trừ 1
trên, và log tự nhiên của 1 là gì?
e mũ gì sẽ bằng 1?
Bất cứ cái gì mũ 0 cũng đều bằng 1, vậy e mũ
0 sẽ bằng 1, vậy log
tự nhiên của 1 sẽ bằng 0.
Vậy chúng ta được 1 trên
trừ 1 trên 0 thật kỳ lạ.
Đó là dạng không xác định trông kỳ lạ này.
Nhưng nó không phải là dạng không xác định mà chúng ta tìm kiếm
trong quy tắc của l'Hopital.
Chúng ta không nhận được 0 trên 0, chúng ta không nhận được
vô hạn trên vô hạn.
Vì vậy, bạn có thể chỉ nói, này, OK, đây là bài tập không thuộc
quy tắc của L'Hopital.
Chúng ta sẽ phải tìm ra giới hạn này theo cách khác.
Và mình sẽ nói, cũng đừng bỏ cuộc!
Có lẽ chúng ta có thể vận dụng cái này bằng cách nào đó để
nó cung cấp cho chúng ta dạng không xác định l'Hopital, và sau đó
chúng ta chỉ có thể áp dụng quy tắc.
Và để làm điều đó, chúng ta hãy xem, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta
cộng 2 biểu thức này?
Vì vậy, nếu chúng ta cộng chúng, vì vậy, biểu thức này, nếu chúng ta cộng nó,
nó sẽ là... mẫu số chung sẽ là x
trừ 1 nhân log tự nhiên của x.
Mình chỉ nhân các mẫu số.
Và sau đó tử số sẽ là, nếu mình nhân
cơ bản toàn bộ số hạng này với log tự nhiên của x, vì vậy nó sẽ
là x log tự nhiên của x, và sau đó toàn bộ số hạng này mình sẽ
nhân với x trừ một.
Vậy trừ x trừ 1.
Và bạn có thể tách nó ra và thấy rằng biểu thức này
và biểu thức này cũng giống như vậy.
Điều này ngay đây, ngay kia, giống như x
trên x trừ 1, bởi vì log tự nhiên của x bị triệt tiêu.
Để mình loại bỏ cái đó.
Và điều này ngay tại đây cũng giống như 1 trên log
tự nhiên của x, bởi vì x trừ đi 1 bị triệt tiêu.
Vì vậy, hy vọng bạn nhận ra, tất cả những gì mình đã làm là mình đã
cộng hai biểu thức này.
Vì vậy, hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu mình lấy giới hạn khi x
tiến tới 1 của điều này.
Bởi vì đây là những thứ giống nhau.
Chúng ta có nhận được điều gì thú vị hơn không?
Vậy chúng ta có gì ở đây nào?
Chúng ta có một nhân log tự nheien của 1.
Log tự nhiên của 1 là 0, vì vậy chúng ta có 0 ở đây, vì vậy đó là 0.
Trừ 1 trừ 0, vì vậy sẽ là một số 0 khác, trừ 0.
Vì vậy, chúng ta nhận được một số 0 trong tử số.
Và ở mẫu số, chúng ta nhận được 1 trừ 1, là 0, nhân
log tự nhiên của 1, là 0, vậy 0 nhân 0, là 0.
Và bạn có nó rồi đấy!
Chúng ta có dạng không xác định mà chúng ta cần cho quy tắc của l'Hopital,
giả sử rằng nếu chúng ta lấy đạo hàm của nó, và đặt nó
trên đạo hàm của nó, rằng giới hạn đó tồn tại.
Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng làm điều đó.
Vì vậy, điều này sẽ bằng, nếu giới hạn tồn tại, điều này
sẽ bằng giới hạn khi x tiến tới 1.
Và hãy lấy đạo hàm bằng màu đỏ, mình sẽ lấy
đạo hàm của tử số này ngay tại đây.
Và đối với số hạng đầu tiên này, chỉ cần thực hiện quy tắc tích.
Đạo hàm của x là một, và sau đó bằng 1 nhân log tự nhiên
của x, đạo hàm của số hạng thứ nhất nhân với
số hạng thứ hai.
Và sau đó chúng ta sẽ cộng với đạo hàm của
số hạng thứ hai cộng với 1 trên x nhân số hạng đầu tiên.
Đó chỉ là quy tắc tích.
Vậy 1 trên x nhân x, chúng ta sẽ thấy, đó chỉ là 1,
và sau đó chúng ta đã trừ đạo hàm của x trừ đi 1.
Đạo hàm của x trừ 1 chỉ là 1, vì vậy nó sẽ
là trừ 1.
Và sau đó, tất cả trên đạo hàm của cái này.
Vì vậy, chúng ta hãy lấy đạo hàm của cái đó, ở đây.
Vì vậy, đạo hàm của số hạng đầu tiên, của x trừ đi 1, chỉ là 1.
Nhân nó với số hạng thứ hai, bạn được log tự nhiên của x.
Và sau đó cộng với đạo hàm của số hạng thứ hai, đạo hàm
của log tự nhiên của x là một trên x, nhân x trừ 1.
Mình nghĩ chúng ta có thể rút gọn điều này một chút.
Đây là 1 trên x nhân x, là 1.
Chúng ta sẽ trừ 1 từ nó.
Vậy những cái này triệt tiêu, ngay đây.
Và do đó, toàn bộ biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng giới hạn
như tiến tới 1, tử số chỉ là log tự nhiên của x, làm
bằng màu đỏ, và mẫu số là log tự nhiên
của x cộng x trừ 1 trên x
Vì vậy, chúng ta hãy thử tính giới hạn này ở đây.
Vì vậy, nếu chúng ta lấy x tiến tới 1 của log tự nhiên của x,
nó sẽ cho chúng ta log tự nhiên của 1 là 0.
Và ở đây, chúng ta nhận được log tự nhiên của 1, là 0.
Và sau đó cộng 1 trừ 1 cộng với 1 trừ 1 trên 1,
đó sẽ là một con số 0 khác.
1 trừ 1 bằng không.
Vì vậy, bạn sẽ có 0 cộng với 0.
Vì vậy, bạn sẽ nhận được 0 trên 0 một lần nữa.
0 trên 0.
Vì vậy, một lần nữa, chúng ta hãy áp dụng quy tắc của l'Hopital lần nữa.
Hãy lấy đạo hàm của điều đó, đặt nó trên
đạo hàm của nó.
Vì vậy, điều này, nếu chúng ta sắp đạt đến một giới hạn, sẽ bằng với
giới hạn khi x tiến tới 1 trong đạo hàm
của tử số, 1 trên x, đúng, đạo hàm ln của
x là 1 / x , trên đạo hàm của mẫu số.
Và cái đó là cái gì?
Đạo hàm của log tự nhiên của x bằng 1 trên x
cộng với đạo hàm của x trừ 1 trên x.
Bạn có thể xem nó theo cách này, 1 trên x nhân x trừ 1.
Đạo hàm của x đến âm 1, chúng ta sẽ lấy
đạo hàm của cái thứ nhất nhân với cái thứ hai, và
và sau đó lấy đạo hàm của cái thứ hai nhân với
cái thứ nhất.
Vì vậy, đạo hàm của số hạng đầu tiên, x mũ âm 1,
là âm x mũ âm 2 nhân số hạng thứ hai, nhân x
trừ 1, cộng đạo hàm của số hạng thứ hai, chỉ
là 1 nhân số hạng thứ nhất, cộng 1 trên x.
Vì vậy, điều này sẽ tương đương với, mình vừa có một thứ ngẫu nhiên
hiện lên trên máy tính của mình.
...
Tiếp tục nào.
Hãy rút gọn cái này.
Chúng ta đang thực hiện quy tắc l'Hopital.
Vì vậy, điều này sẽ bằng, để mình, điều này sẽ bằng,
nếu chúng ta tính x bằng 1, tử số chỉ
bằng 1/1, là 1.
Vì vậy, chúng ta chắc chắn sẽ không có dạng không xác định hoặc
ít nhất là 0/0 nữa.
Và mẫu số sẽ là, nếu bạn tính nó ở 1,
đó là 1/1, là 1, cộng âm 1 mũ âm 2.
Vậy, hoặc bạn nói, 1 mũ âm 2 chỉ là 1, nó
chỉ là âm 1.
Nhưng sau đó bạn nhân nó với 1 trừ 1, là
0, vậy cả số hạng này sẽ bị triệt tiêu.
Và bạn có cộng 1 trên 1 khác.
Và cộng 1, và vì vậy cái này sẽ bằng 1/2.
Và bạn có nó rồi đấy.
Sử dụng quy tắc của L'Hopital và một vài bước, chúng ta đã giải
được vấn đề mà ít nhất ban đầu nó không giống
như 0/0.
Chúng ta vừa cộng 2 số hạng, được 0/0, lấy đạo hàm của
tử số và mẫu số 2 lần liên tiếp
để cuối cùng có được giới hạn của chúng ta.