We willen de limiet bepalen wanneer x naar 1 gaat
in de vergelijking (x gedeeld door x min 1) minus
(1 gedeeld door de natuurlijke logaritme van x).
Wat gebeurt er als we
proberen 1 in te vullen.
Wat gebeurt er als we in deze vergelijking x gelijk aan 1 evalueren?
Dan krijgen we 1 gedeeld door 1 min 1.
Dus krijgen we 1 gedeeld door 0, minus
1 gedeeld door, de natuurlijke logaritme van 1,
e tot welke macht is gelijk aan een?
Alles tot de nulde macht gelijk is aan 1, dus e tot de
nulde macht is gelijk aan 1, dus het natuurlijke
logartime van 1 is gelijk aan 0.
Zo krijgen we het ongedefinieerde 1 gedeeld door 0
minus 1 gedeeld door 0.
Het is deze vreemd uitziende onbepaalde vorm.
Maar we zochten niet naar onbepaalde waarde in l'Hopital's regel.
We krijgen geen 0 gedeeld door 0, of oneindig gedeeld door oneindig.
Je zou dus kunnen zeggen dat dit geen l'Hopital's regel probleem is.
We gaan deze limiet op een andere manier bepalen.
We geven het nog niet op.
Misschien kunnen wij het algebraïsch zo manipuleren dat
het ons de l'Hopital in onbepaalde vorm geeft, en vervolgens
passen we gewoon de regel toe.
Laten we zien, wat er gebeurt als we
deze twee uitdrukkingen toevoegen?
Dus als we deze uitdrukking toevoegen,
wordt de gemeenschappelijke noemer gelijk aan
x min 1 maal de natuurlijke logaritme van x.
Ik vermenigvuldig enkel de noemers.
En dan zal teller als volgt worden, ik vermenigvuldig
deze hele term met de natuurlijke logaritme van x, dus wordt het
x maal de natuurlijke logaritme van x, en deze hele term ga ik
vermenigvuldigen met x min één.
minus x min 1.
En je kunt het splitsen en zien dat deze uitdrukking
en deze uitdrukking hetzelfde zijn.
Dit stuk hier en dit stuk hier zijn hetzelfde als x gedeeld door x minus 1
omdat de natuurlijke logaritmes van x elkaar opheffen.
Ik haal dit weg.
Dan is dit hetzelfde als 1 over natuurlijke logaritme
van x, omdat de (x - 1)'s elkaar opheffen.
Hopelijk realiseer je je dat ik alleen deze
twee uitdrukkingen heb toegevoegd.
Laten we eens kijken wat er gebeurt als ik de limiet neem
als x naar 1 nadert voor dit ding.
Omdat deze het zelfde zijn.
Krijgen we iets interessants?
Wat hebben we hier?
We hebben een maal de natuurlijke logaritme van 1.
De natuurlijke logaritme van 1 is 0, dus hebben we hier 0, dus dat is 0.
Min 1 minus 0, dus wordt ook 0, minus 0.
Dus krijgen we een 0 in de teller
en in de noemer krijgen we 1 minus 1, welke 0 is.
maal het natuurlijke logaritme van 1, is 0, dus 0 maal 0, dat is 0.
En daar heb je het.
We hebben de onbepaalde vorm die we nodig voor l'Hopital's regel hebben,
Aangenomen dat, als we de afgeleide hiervan nemen en vermenigvuldigen het
met de afgeleide daarvan, dat de limiet bestaat.
Laten we het proberen.
Als de limiet bestaat, is dit dus gelijk aan
de limiet als x naar 1 nadert.
En laten we de afgeleide doen in magenta,
ik neem de afgeleide van de teller.
En voor de eerste term pas ik de productregel toe.
Afgeleide van x is 1, en dan 1 keer de natuurlijke logaritme van x,
de afgeleide van de eerste term
maal de tweede term.
Plus de afgeleide van de tweede term
plus 1 gedeeld door x maal de eerste term.
Het is gewoon de productregel.
Dus 1 gedeeld door x maal x, dat is slechts 1,
en dan hebben we minus de afgeleide van x min 1.
De afgeleide van x min 1 is 1,
dus zal min 1 zijn.
Dat alles gedeeld door de afgeleide van dit ding.
Laten we de afgeleide daarvan nemen.
De afgeleide van de eerste term, x min 1, is 1.
Als u dat vermenigvuldigt met de tweede term, krijgt u de natuurlijke logaritme van x.
En dan plus de afgeleide van de tweede term,
afgeleide natuurlijke logaritme van x is 1 gedeeld door x, maal x min 1.
Ik denk dat we dit kunnen vereenvoudigen.
Deze 1 gedeeld door x maal x, is 1.
We trekken er 1 vanaf.
Deze annuleren elkaar.
Deze hele uitdrukking kan herschreven worden als de limiet
die nadert naar 1, de teller is de natuurlijke logaritme van x,
in magenta, en de deler is de natuurlijke logaritme
van x plus x min 1 gedeeld door x
Dus laten we deze limiet evalueren.
Als x nadert naar 1 van de natuurlijke logaritme van x,
geeft ons dat de natuurlijke logaritme van 1 is 0.
En hier, krijgen we de natuurlijke logartime van 1, die 0 is.
En dan plus 1 min 1 gedeeld door plus 1 min 1 gedeeld door 1,
is weer een 0.
1 min 1 is gelijk aan nul.
Dus heb je 0 plus 0.
Dus krijg je weer 0 gedeeld door 0.
0 gedeeld door 0.
Laten we weer l'Hopital's regel toepassen.
We nemen de afgeleide daarvan, zet het boven
de afgeleide van dat.
Dus, als we naar de limiet gaan, dan wordt dit
gelijk aan de limiet als x naar 1 nadert van de afgeleide
van de teller, 1 gedeeld door x, de afgeleide van ln van
x is 1 / x, gedeeld door de afgeleide van de deler.
En wat is dat?
De afgeleide van de natuurlijke logaritme van x is 1 gedeeld door x plus de
afgeleide van x min 1 gedeeld door x.
U kunt dit zien als 1 gedeeld door x maal x min 1.
Afgeleide van x naar min 1, we nemen de
afgeleide van de eerste maal de tweede, en
dan de afgeleide van de tweede
maal de eerste.
Dus de afgeleide van de eerste term, is x nadert naar -1,
min x tot de macht -2 maal de tweede term maal x
minus 1, plus de afgeleide van de tweede term,
deze is 1 maal de eerste term, plus 1 gedeeld door x.
Dus dit is gelijk aan, er duikt net een willekeurige iets op
op mijn computer.
Sorry dat geluidje, als je het hoorde.
Maar waar was ik?
Oh, laten we dit hier vereenvoudigen.
We deden onze l'Hopital's regel.
Dus dit is gelijk aan, laat me, dit wordt gelijk aan,
als we x gelijk aan 1 nemen, de teller is
slechts 1/1, die is slechts 1.
Dus we gaan zeker geen onbepaalde of
een 0/0 vorm meer krijgen.
En de deler wordt, als je het evalueert op 1,
Dit is 1/1, is 1, plus min 1 tot de macht -2.
Of je zegt, 1 tot de macht -2 is slechts 1,
het is maar min 1.
Maar dan vermenigvuldig je dat maal 1 min 1,
dat is 0, dus de gehele term gaat teniet.
En je hebt een andere 1 gedeeld door 1.
Dus plus 1 en zo is dit gelijk aan 1/2.
En daar heb je het.
Met behulp van L'Hopital's regel en een paar stappen hebben we het opgelost
iets dat aanvankelijk niet leek
op 0/0.
Wij voegden 2 termen toe, kregen 0/0, namen afgeleiden van de
tellers en de noemers, 2 keer op rij en
uiteindelijk krijgen we onze limiet.
QED. (vertaalt door Eric Bleeker)