WEBVTT 00:00:00.510 --> 00:00:08.060 We willen de limiet bepalen wanneer x naar 1 gaat 00:00:08.060 --> 00:00:14.570 in de vergelijking (x gedeeld door x min 1) minus 00:00:14.570 --> 00:00:17.930 (1 gedeeld door de natuurlijke logaritme van x). 00:00:17.930 --> 00:00:19.900 Wat gebeurt er als we 00:00:19.900 --> 00:00:21.230 proberen 1 in te vullen. 00:00:21.230 --> 00:00:24.630 Wat gebeurt er als we in deze vergelijking x gelijk aan 1 evalueren? 00:00:24.630 --> 00:00:30.050 Dan krijgen we 1 gedeeld door 1 min 1. 00:00:30.050 --> 00:00:33.710 Dus krijgen we 1 gedeeld door 0, minus 00:00:33.710 --> 00:00:37.520 1 gedeeld door, de natuurlijke logaritme van 1, 00:00:37.520 --> 00:00:40.250 e tot welke macht is gelijk aan een? 00:00:40.250 --> 00:00:43.140 Alles tot de nulde macht gelijk is aan 1, dus e tot de 00:00:43.140 --> 00:00:45.420 nulde macht is gelijk aan 1, dus het natuurlijke 00:00:45.420 --> 00:00:49.350 logartime van 1 is gelijk aan 0. 00:00:49.350 --> 00:00:51.820 Zo krijgen we het ongedefinieerde 1 gedeeld door 0 00:00:51.820 --> 00:00:54.300 minus 1 gedeeld door 0. 00:00:54.300 --> 00:00:56.370 Het is deze vreemd uitziende onbepaalde vorm. 00:00:56.370 --> 00:00:59.870 Maar we zochten niet naar onbepaalde waarde in l'Hopital's regel. 00:00:59.880 --> 00:01:03.765 We krijgen geen 0 gedeeld door 0, of oneindig gedeeld door oneindig. 00:01:03.765 --> 00:01:07.140 Je zou dus kunnen zeggen dat dit geen l'Hopital's regel probleem is. 00:01:07.150 --> 00:01:09.910 We gaan deze limiet op een andere manier bepalen. 00:01:09.910 --> 00:01:13.210 We geven het nog niet op. 00:01:13.210 --> 00:01:16.880 Misschien kunnen wij het algebraïsch zo manipuleren dat 00:01:16.880 --> 00:01:20.380 het ons de l'Hopital in onbepaalde vorm geeft, en vervolgens 00:01:20.380 --> 00:01:23.040 passen we gewoon de regel toe. 00:01:23.040 --> 00:01:24.790 Laten we zien, wat er gebeurt als we 00:01:24.790 --> 00:01:26.470 deze twee uitdrukkingen toevoegen? 00:01:26.470 --> 00:01:29.865 Dus als we deze uitdrukking toevoegen, 00:01:29.865 --> 00:01:32.160 wordt de gemeenschappelijke noemer gelijk aan 00:01:32.160 --> 00:01:36.850 x min 1 maal de natuurlijke logaritme van x. 00:01:36.850 --> 00:01:38.740 Ik vermenigvuldig enkel de noemers. 00:01:38.740 --> 00:01:43.420 En dan zal teller als volgt worden, ik vermenigvuldig 00:01:43.420 --> 00:01:46.436 deze hele term met de natuurlijke logaritme van x, dus wordt het 00:01:46.436 --> 00:01:51.317 x maal de natuurlijke logaritme van x, en deze hele term ga ik 00:01:51.317 --> 00:01:52.930 vermenigvuldigen met x min één. 00:01:52.930 --> 00:01:54.955 minus x min 1. 00:01:54.955 --> 00:02:00.540 En je kunt het splitsen en zien dat deze uitdrukking 00:02:00.540 --> 00:02:02.519 en deze uitdrukking hetzelfde zijn. 00:02:02.519 --> 00:02:07.222 Dit stuk hier en dit stuk hier zijn hetzelfde als x gedeeld door x minus 1 00:02:07.252 --> 00:02:09.955 omdat de natuurlijke logaritmes van x elkaar opheffen. 00:02:09.965 --> 00:02:12.218 Ik haal dit weg. 00:02:12.220 --> 00:02:18.430 Dan is dit hetzelfde als 1 over natuurlijke logaritme 00:02:18.430 --> 00:02:21.510 van x, omdat de (x - 1)'s elkaar opheffen. 00:02:21.510 --> 00:02:23.630 Hopelijk realiseer je je dat ik alleen deze 00:02:23.630 --> 00:02:25.120 twee uitdrukkingen heb toegevoegd. 00:02:25.120 --> 00:02:29.110 Laten we eens kijken wat er gebeurt als ik de limiet neem 00:02:29.110 --> 00:02:31.600 als x naar 1 nadert voor dit ding. 00:02:31.600 --> 00:02:33.010 Omdat deze het zelfde zijn. 00:02:33.010 --> 00:02:35.320 Krijgen we iets interessants? 00:02:35.320 --> 00:02:36.360 Wat hebben we hier? 00:02:36.360 --> 00:02:38.810 We hebben een maal de natuurlijke logaritme van 1. 00:02:38.810 --> 00:02:43.650 De natuurlijke logaritme van 1 is 0, dus hebben we hier 0, dus dat is 0. 00:02:43.650 --> 00:02:49.133 Min 1 minus 0, dus wordt ook 0, minus 0. 00:02:49.133 --> 00:02:51.508 Dus krijgen we een 0 in de teller 00:02:51.508 --> 00:02:54.813 en in de noemer krijgen we 1 minus 1, welke 0 is. 00:02:54.813 --> 00:03:00.100 maal het natuurlijke logaritme van 1, is 0, dus 0 maal 0, dat is 0. 00:03:00.100 --> 00:03:00.960 En daar heb je het. 00:03:00.960 --> 00:03:04.940 We hebben de onbepaalde vorm die we nodig voor l'Hopital's regel hebben, 00:03:04.940 --> 00:03:07.110 Aangenomen dat, als we de afgeleide hiervan nemen en vermenigvuldigen het 00:03:07.110 --> 00:03:09.360 met de afgeleide daarvan, dat de limiet bestaat. 00:03:09.360 --> 00:03:11.130 Laten we het proberen. 00:03:11.130 --> 00:03:15.340 Als de limiet bestaat, is dit dus gelijk aan 00:03:15.340 --> 00:03:19.200 de limiet als x naar 1 nadert. 00:03:19.200 --> 00:03:22.490 En laten we de afgeleide doen in magenta, 00:03:22.490 --> 00:03:26.190 ik neem de afgeleide van de teller. 00:03:26.190 --> 00:03:28.590 En voor de eerste term pas ik de productregel toe. 00:03:28.590 --> 00:03:32.970 Afgeleide van x is 1, en dan 1 keer de natuurlijke logaritme van x, 00:03:32.970 --> 00:03:35.480 de afgeleide van de eerste term 00:03:35.480 --> 00:03:36.930 maal de tweede term. 00:03:36.930 --> 00:03:39.570 Plus de afgeleide van de tweede term 00:03:39.570 --> 00:03:43.820 plus 1 gedeeld door x maal de eerste term. 00:03:43.820 --> 00:03:45.430 Het is gewoon de productregel. 00:03:45.430 --> 00:03:47.920 Dus 1 gedeeld door x maal x, dat is slechts 1, 00:03:47.920 --> 00:03:54.390 en dan hebben we minus de afgeleide van x min 1. 00:03:54.390 --> 00:03:58.450 De afgeleide van x min 1 is 1, 00:03:58.450 --> 00:04:01.090 dus zal min 1 zijn. 00:04:01.090 --> 00:04:08.710 Dat alles gedeeld door de afgeleide van dit ding. 00:04:08.710 --> 00:04:11.340 Laten we de afgeleide daarvan nemen. 00:04:11.340 --> 00:04:16.600 De afgeleide van de eerste term, x min 1, is 1. 00:04:16.600 --> 00:04:20.330 Als u dat vermenigvuldigt met de tweede term, krijgt u de natuurlijke logaritme van x. 00:04:20.330 --> 00:04:23.520 En dan plus de afgeleide van de tweede term, 00:04:23.520 --> 00:04:28.350 afgeleide natuurlijke logaritme van x is 1 gedeeld door x, maal x min 1. 00:04:32.290 --> 00:04:34.240 Ik denk dat we dit kunnen vereenvoudigen. 00:04:34.240 --> 00:04:37.270 Deze 1 gedeeld door x maal x, is 1. 00:04:37.270 --> 00:04:38.580 We trekken er 1 vanaf. 00:04:38.580 --> 00:04:40.910 Deze annuleren elkaar. 00:04:40.910 --> 00:04:45.710 Deze hele uitdrukking kan herschreven worden als de limiet 00:04:45.710 --> 00:04:51.260 die nadert naar 1, de teller is de natuurlijke logaritme van x, 00:04:51.260 --> 00:04:57.160 in magenta, en de deler is de natuurlijke logaritme 00:04:57.160 --> 00:05:03.600 van x plus x min 1 gedeeld door x 00:05:03.600 --> 00:05:05.250 Dus laten we deze limiet evalueren. 00:05:05.250 --> 00:05:09.060 Als x nadert naar 1 van de natuurlijke logaritme van x, 00:05:09.060 --> 00:05:13.640 geeft ons dat de natuurlijke logaritme van 1 is 0. 00:05:13.640 --> 00:05:19.720 En hier, krijgen we de natuurlijke logartime van 1, die 0 is. 00:05:19.720 --> 00:05:27.920 En dan plus 1 min 1 gedeeld door plus 1 min 1 gedeeld door 1, 00:05:27.920 --> 00:05:28.900 is weer een 0. 00:05:28.900 --> 00:05:29.810 1 min 1 is gelijk aan nul. 00:05:29.810 --> 00:05:30.680 Dus heb je 0 plus 0. 00:05:30.680 --> 00:05:34.140 Dus krijg je weer 0 gedeeld door 0. 00:05:34.140 --> 00:05:35.740 0 gedeeld door 0. 00:05:35.740 --> 00:05:38.230 Laten we weer l'Hopital's regel toepassen. 00:05:38.230 --> 00:05:39.890 We nemen de afgeleide daarvan, zet het boven 00:05:39.890 --> 00:05:41.240 de afgeleide van dat. 00:05:41.240 --> 00:05:44.210 Dus, als we naar de limiet gaan, dan wordt dit 00:05:44.210 --> 00:05:51.950 gelijk aan de limiet als x naar 1 nadert van de afgeleide 00:05:51.950 --> 00:05:56.320 van de teller, 1 gedeeld door x, de afgeleide van ln van 00:05:56.320 --> 00:06:00.340 x is 1 / x, gedeeld door de afgeleide van de deler. 00:06:00.340 --> 00:06:01.160 En wat is dat? 00:06:01.160 --> 00:06:06.950 De afgeleide van de natuurlijke logaritme van x is 1 gedeeld door x plus de 00:06:06.950 --> 00:06:09.590 afgeleide van x min 1 gedeeld door x. 00:06:09.590 --> 00:06:13.120 U kunt dit zien als 1 gedeeld door x maal x min 1. 00:06:13.120 --> 00:06:16.730 Afgeleide van x naar min 1, we nemen de 00:06:16.730 --> 00:06:19.280 afgeleide van de eerste maal de tweede, en 00:06:19.280 --> 00:06:20.670 dan de afgeleide van de tweede 00:06:20.670 --> 00:06:21.610 maal de eerste. 00:06:21.610 --> 00:06:24.980 Dus de afgeleide van de eerste term, is x nadert naar -1, 00:06:24.980 --> 00:06:30.030 min x tot de macht -2 maal de tweede term maal x 00:06:30.030 --> 00:06:34.830 minus 1, plus de afgeleide van de tweede term, 00:06:34.830 --> 00:06:39.780 deze is 1 maal de eerste term, plus 1 gedeeld door x. 00:06:39.780 --> 00:06:45.060 Dus dit is gelijk aan, er duikt net een willekeurige iets op 00:06:45.060 --> 00:06:45.860 op mijn computer. 00:06:45.860 --> 00:06:47.730 Sorry dat geluidje, als je het hoorde. 00:06:47.730 --> 00:06:48.780 Maar waar was ik? 00:06:48.780 --> 00:06:50.710 Oh, laten we dit hier vereenvoudigen. 00:06:50.710 --> 00:06:52.210 We deden onze l'Hopital's regel. 00:06:52.210 --> 00:06:58.010 Dus dit is gelijk aan, laat me, dit wordt gelijk aan, 00:06:58.010 --> 00:07:02.870 als we x gelijk aan 1 nemen, de teller is 00:07:02.870 --> 00:07:05.610 slechts 1/1, die is slechts 1. 00:07:05.610 --> 00:07:07.406 Dus we gaan zeker geen onbepaalde of 00:07:07.406 --> 00:07:09.480 een 0/0 vorm meer krijgen. 00:07:09.480 --> 00:07:12.080 En de deler wordt, als je het evalueert op 1, 00:07:12.080 --> 00:07:18.180 Dit is 1/1, is 1, plus min 1 tot de macht -2. 00:07:18.180 --> 00:07:21.490 Of je zegt, 1 tot de macht -2 is slechts 1, 00:07:21.490 --> 00:07:22.445 het is maar min 1. 00:07:22.445 --> 00:07:24.820 Maar dan vermenigvuldig je dat maal 1 min 1, 00:07:24.820 --> 00:07:27.100 dat is 0, dus de gehele term gaat teniet. 00:07:27.100 --> 00:07:29.890 En je hebt een andere 1 gedeeld door 1. 00:07:29.890 --> 00:07:34.090 Dus plus 1 en zo is dit gelijk aan 1/2. 00:07:34.090 --> 00:07:34.990 En daar heb je het. 00:07:34.990 --> 00:07:37.620 Met behulp van L'Hopital's regel en een paar stappen hebben we het opgelost 00:07:37.620 --> 00:07:39.050 iets dat aanvankelijk niet leek 00:07:39.050 --> 00:07:40.260 op 0/0. 00:07:40.260 --> 00:07:44.110 Wij voegden 2 termen toe, kregen 0/0, namen afgeleiden van de 00:07:44.110 --> 00:07:46.460 tellers en de noemers, 2 keer op rij en 00:07:46.460 --> 00:07:49.180 uiteindelijk krijgen we onze limiet. 00:07:49.180 --> 00:07:49.333 QED. (vertaalt door Eric Bleeker)