0:00:00.510,0:00:08.060
We willen de limiet bepalen wanneer x naar 1 gaat

0:00:08.060,0:00:14.570
in de vergelijking (x gedeeld door x min 1) minus

0:00:14.570,0:00:17.930
(1 gedeeld door de natuurlijke logaritme van x).

0:00:17.930,0:00:19.900
Wat gebeurt er als we

0:00:19.900,0:00:21.230
proberen 1 in te vullen.

0:00:21.230,0:00:24.630
Wat gebeurt er als we in deze vergelijking x gelijk aan 1 evalueren?

0:00:24.630,0:00:30.050
Dan krijgen we 1 gedeeld door 1 min 1.

0:00:30.050,0:00:33.710
Dus krijgen we 1 gedeeld door 0, minus

0:00:33.710,0:00:37.520
1 gedeeld door, de natuurlijke logaritme van 1,

0:00:37.520,0:00:40.250
e tot welke macht is gelijk aan een?

0:00:40.250,0:00:43.140
Alles tot de nulde macht gelijk is aan 1, dus e tot de

0:00:43.140,0:00:45.420
nulde macht is gelijk aan 1, dus het natuurlijke

0:00:45.420,0:00:49.350
logartime van 1 is gelijk aan 0.

0:00:49.350,0:00:51.820
Zo krijgen we het ongedefinieerde 1 gedeeld door 0

0:00:51.820,0:00:54.300
minus 1 gedeeld door 0.

0:00:54.300,0:00:56.370
Het is deze vreemd uitziende onbepaalde vorm.

0:00:56.370,0:00:59.870
Maar we zochten niet naar onbepaalde waarde in l'Hopital's regel.

0:00:59.880,0:01:03.765
We krijgen geen 0 gedeeld door 0, of oneindig gedeeld door oneindig.

0:01:03.765,0:01:07.140
Je zou dus kunnen zeggen dat dit geen l'Hopital's regel probleem is.

0:01:07.150,0:01:09.910
We gaan deze limiet op een andere manier bepalen.

0:01:09.910,0:01:13.210
We geven het nog niet op.

0:01:13.210,0:01:16.880
Misschien kunnen wij het algebraïsch zo manipuleren dat

0:01:16.880,0:01:20.380
het ons de l'Hopital in onbepaalde vorm geeft, en vervolgens

0:01:20.380,0:01:23.040
passen we gewoon de regel toe.

0:01:23.040,0:01:24.790
Laten we zien, wat er gebeurt als we

0:01:24.790,0:01:26.470
deze twee uitdrukkingen toevoegen?

0:01:26.470,0:01:29.865
Dus als we deze uitdrukking toevoegen,

0:01:29.865,0:01:32.160
wordt de gemeenschappelijke noemer gelijk aan

0:01:32.160,0:01:36.850
x min 1 maal de natuurlijke logaritme van x.

0:01:36.850,0:01:38.740
Ik vermenigvuldig enkel de noemers.

0:01:38.740,0:01:43.420
En dan zal teller als volgt worden, ik vermenigvuldig

0:01:43.420,0:01:46.436
deze hele term met de natuurlijke logaritme van x, dus wordt het

0:01:46.436,0:01:51.317
x maal de natuurlijke logaritme van x, en deze hele term ga ik

0:01:51.317,0:01:52.930
vermenigvuldigen met x min één.

0:01:52.930,0:01:54.955
minus x min 1.

0:01:54.955,0:02:00.540
En je kunt het splitsen en zien dat deze uitdrukking

0:02:00.540,0:02:02.519
en deze uitdrukking hetzelfde zijn.

0:02:02.519,0:02:07.222
Dit stuk hier en dit stuk hier zijn hetzelfde als x gedeeld door x minus 1

0:02:07.252,0:02:09.955
omdat de natuurlijke logaritmes van x elkaar opheffen.

0:02:09.965,0:02:12.218
Ik haal dit weg.

0:02:12.220,0:02:18.430
Dan is dit hetzelfde als 1 over natuurlijke logaritme

0:02:18.430,0:02:21.510
van x, omdat de (x - 1)'s elkaar opheffen.

0:02:21.510,0:02:23.630
Hopelijk realiseer je je dat ik alleen deze

0:02:23.630,0:02:25.120
twee uitdrukkingen heb toegevoegd.

0:02:25.120,0:02:29.110
Laten we eens kijken wat er gebeurt als ik de limiet neem

0:02:29.110,0:02:31.600
als x naar 1 nadert voor dit ding.

0:02:31.600,0:02:33.010
Omdat deze het zelfde zijn.

0:02:33.010,0:02:35.320
Krijgen we iets interessants?

0:02:35.320,0:02:36.360
Wat hebben we hier?

0:02:36.360,0:02:38.810
We hebben een maal de natuurlijke logaritme van 1.

0:02:38.810,0:02:43.650
De natuurlijke logaritme van 1 is 0, dus hebben we hier 0, dus dat is 0.

0:02:43.650,0:02:49.133
Min 1 minus 0, dus wordt ook 0, minus 0.

0:02:49.133,0:02:51.508
Dus krijgen we een 0 in de teller

0:02:51.508,0:02:54.813
en in de noemer krijgen we 1 minus 1, welke 0 is.

0:02:54.813,0:03:00.100
maal het natuurlijke logaritme van 1, is 0, dus 0 maal 0, dat is 0.

0:03:00.100,0:03:00.960
En daar heb je het.

0:03:00.960,0:03:04.940
We hebben de onbepaalde vorm die we nodig voor l'Hopital's regel hebben,

0:03:04.940,0:03:07.110
Aangenomen dat, als we de afgeleide hiervan nemen en vermenigvuldigen het

0:03:07.110,0:03:09.360
met de afgeleide daarvan, dat de limiet bestaat.

0:03:09.360,0:03:11.130
Laten we het proberen.

0:03:11.130,0:03:15.340
Als de limiet bestaat, is dit dus gelijk aan

0:03:15.340,0:03:19.200
de limiet als x naar 1 nadert.

0:03:19.200,0:03:22.490
En laten we de afgeleide doen in magenta,

0:03:22.490,0:03:26.190
ik neem de afgeleide van de teller.

0:03:26.190,0:03:28.590
En voor de eerste term pas ik de[br]productregel toe.

0:03:28.590,0:03:32.970
Afgeleide van x is 1, en dan 1 keer de[br]natuurlijke logaritme van x,

0:03:32.970,0:03:35.480
de afgeleide van de eerste term

0:03:35.480,0:03:36.930
maal de tweede term.

0:03:36.930,0:03:39.570
Plus de afgeleide van de tweede term

0:03:39.570,0:03:43.820
plus 1 gedeeld door x maal de eerste term.

0:03:43.820,0:03:45.430
Het is gewoon de productregel.

0:03:45.430,0:03:47.920
Dus 1 gedeeld door x maal x, dat is slechts 1,

0:03:47.920,0:03:54.390
en dan hebben we minus de afgeleide van x min 1.

0:03:54.390,0:03:58.450
De afgeleide van x min 1 is 1,

0:03:58.450,0:04:01.090
dus zal min 1 zijn.

0:04:01.090,0:04:08.710
Dat alles gedeeld door de afgeleide van dit ding.

0:04:08.710,0:04:11.340
Laten we de afgeleide daarvan nemen.

0:04:11.340,0:04:16.600
De afgeleide van de eerste term, x min 1, is 1.

0:04:16.600,0:04:20.330
Als u dat vermenigvuldigt met de tweede term, krijgt u de natuurlijke logaritme van x.

0:04:20.330,0:04:23.520
En dan plus de afgeleide van de tweede term,

0:04:23.520,0:04:28.350
afgeleide natuurlijke logaritme van x is 1 gedeeld door x, maal x min 1.

0:04:32.290,0:04:34.240
Ik denk dat we dit kunnen vereenvoudigen.

0:04:34.240,0:04:37.270
Deze 1 gedeeld door x maal x, is 1.

0:04:37.270,0:04:38.580
We trekken er 1 vanaf.

0:04:38.580,0:04:40.910
Deze annuleren elkaar.

0:04:40.910,0:04:45.710
Deze hele uitdrukking kan herschreven worden als de limiet

0:04:45.710,0:04:51.260
die nadert naar 1, de teller is de natuurlijke logaritme van x,

0:04:51.260,0:04:57.160
in magenta, en de deler is de natuurlijke logaritme

0:04:57.160,0:05:03.600
van x plus x min 1 gedeeld door x

0:05:03.600,0:05:05.250
Dus laten we deze limiet evalueren.

0:05:05.250,0:05:09.060
Als x nadert naar 1 van de natuurlijke logaritme van x,

0:05:09.060,0:05:13.640
geeft ons dat de natuurlijke logaritme van 1 is 0.

0:05:13.640,0:05:19.720
En hier, krijgen we de natuurlijke logartime van 1,[br]die 0 is.

0:05:19.720,0:05:27.920
En dan plus 1 min 1 gedeeld door plus 1 min 1 gedeeld door 1,

0:05:27.920,0:05:28.900
is weer een 0.

0:05:28.900,0:05:29.810
1 min 1 is gelijk aan nul.

0:05:29.810,0:05:30.680
Dus heb je 0 plus 0.

0:05:30.680,0:05:34.140
Dus krijg je weer 0 gedeeld door 0.

0:05:34.140,0:05:35.740
0 gedeeld door 0.

0:05:35.740,0:05:38.230
Laten we weer l'Hopital's regel toepassen.

0:05:38.230,0:05:39.890
We nemen de afgeleide daarvan, zet het boven

0:05:39.890,0:05:41.240
de afgeleide van dat.

0:05:41.240,0:05:44.210
Dus, als we naar de limiet gaan, dan wordt dit

0:05:44.210,0:05:51.950
gelijk aan de limiet als x naar 1 nadert van de afgeleide

0:05:51.950,0:05:56.320
van de teller, 1 gedeeld door x, de afgeleide van ln van

0:05:56.320,0:06:00.340
x is 1 / x, gedeeld door de afgeleide van de deler.

0:06:00.340,0:06:01.160
En wat is dat?

0:06:01.160,0:06:06.950
De afgeleide van de natuurlijke logaritme van x is[br]1 gedeeld door x plus de

0:06:06.950,0:06:09.590
afgeleide van x min 1 gedeeld door x.

0:06:09.590,0:06:13.120
U kunt dit zien als 1 gedeeld door x maal x min 1.

0:06:13.120,0:06:16.730
Afgeleide van x naar min 1, we nemen de

0:06:16.730,0:06:19.280
afgeleide van de eerste maal de tweede, en

0:06:19.280,0:06:20.670
dan de afgeleide van de tweede

0:06:20.670,0:06:21.610
maal de eerste.

0:06:21.610,0:06:24.980
Dus de afgeleide van de eerste term, is x nadert naar -1,

0:06:24.980,0:06:30.030
min x tot de macht -2 maal de tweede term maal x

0:06:30.030,0:06:34.830
minus 1, plus de afgeleide van de tweede term,

0:06:34.830,0:06:39.780
deze is 1 maal de eerste term,[br]plus 1 gedeeld door x.

0:06:39.780,0:06:45.060
Dus dit is gelijk aan,[br]er duikt net een willekeurige iets op

0:06:45.060,0:06:45.860
op mijn computer.

0:06:45.860,0:06:47.730
Sorry dat geluidje, als je het hoorde.

0:06:47.730,0:06:48.780
Maar waar was ik?

0:06:48.780,0:06:50.710
Oh, laten we dit hier vereenvoudigen.

0:06:50.710,0:06:52.210
We deden onze l'Hopital's regel.

0:06:52.210,0:06:58.010
Dus dit is gelijk aan, laat me, dit wordt gelijk aan,

0:06:58.010,0:07:02.870
als we x gelijk aan 1 nemen, de teller is

0:07:02.870,0:07:05.610
slechts 1/1, die is slechts 1.

0:07:05.610,0:07:07.406
Dus we gaan zeker geen onbepaalde of

0:07:07.406,0:07:09.480
een 0/0 vorm meer krijgen.

0:07:09.480,0:07:12.080
En de deler wordt, als je het evalueert op 1,

0:07:12.080,0:07:18.180
Dit is 1/1, is 1, plus min 1 tot de macht -2.

0:07:18.180,0:07:21.490
Of je zegt, 1 tot de macht -2 is slechts 1,

0:07:21.490,0:07:22.445
het is maar min 1.

0:07:22.445,0:07:24.820
Maar dan vermenigvuldig je dat maal 1 min 1,

0:07:24.820,0:07:27.100
dat is 0, dus de gehele term gaat teniet.

0:07:27.100,0:07:29.890
En je hebt een andere 1 gedeeld door 1.

0:07:29.890,0:07:34.090
Dus plus 1 en zo is dit gelijk aan 1/2.

0:07:34.090,0:07:34.990
En daar heb je het.

0:07:34.990,0:07:37.620
Met behulp van L'Hopital's regel en een paar stappen hebben we het opgelost

0:07:37.620,0:07:39.050
iets dat aanvankelijk niet leek

0:07:39.050,0:07:40.260
op 0/0.

0:07:40.260,0:07:44.110
Wij voegden 2 termen toe, kregen 0/0,[br]namen afgeleiden van de

0:07:44.110,0:07:46.460
tellers en de noemers, 2 keer op rij en

0:07:46.460,0:07:49.180
uiteindelijk krijgen we onze limiet.

0:07:49.180,0:07:49.333
QED. (vertaalt door Eric Bleeker)