WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.510


00:00:00.510 --> 00:00:08.060
x가 1로 갈 때

00:00:08.060 --> 00:00:14.570
x/(x－1)－lnx의 극한을 구해 봅시다

00:00:14.570 --> 00:00:17.930
x/(x－1)－lnx의 극한을 구해 봅시다

00:00:17.930 --> 00:00:19.900
그러면 x＝1을 그냥 대입했을 때

00:00:19.900 --> 00:00:21.230
어떻게 되는지 한 번 보겠습니다

00:00:21.230 --> 00:00:24.630
x＝1일 때 이 식을 계산하면

00:00:24.630 --> 00:00:30.050
먼저 1에다가 1－1을 나눕니다

00:00:30.050 --> 00:00:35.040
그러면 1/0꼴이 나오고

00:00:35.040 --> 00:00:37.520
여기는 1 나누기 ln1이 되는데
ln1의 값이 어떻게 되는지 보겠습니다

00:00:37.520 --> 00:00:40.250
e의 몇 제곱을 해야 1이 되는지 생각해 보면

00:00:40.250 --> 00:00:43.140
어떤 수라도 0제곱을 하면 1이 되니

00:00:43.140 --> 00:00:45.420
e의 0제곱도 1이 되고

00:00:45.420 --> 00:00:49.350
그러므로 ln1＝0이 됩니다

00:00:49.350 --> 00:00:51.820
그래서 우리는 굉장히 이상한 부정형을 얻게 됩니다

00:00:51.820 --> 00:00:54.300
1/0－1/0 꼴입니다

00:00:54.300 --> 00:00:56.370
굉장히 기괴하게 생긴 부정형입니다

00:00:56.370 --> 00:00:58.820
그런데 이번 부정형은

00:00:58.820 --> 00:00:59.880
로피탈의 정리를 배울 때 봤던 부정형이 아닙니다

00:00:59.880 --> 00:01:02.625
0/0꼴도 아니고

00:01:02.625 --> 00:01:03.750
무한대/무한대 꼴도 아닙니다

00:01:03.750 --> 00:01:06.640
로피탈의 정리를 사용할 수 없는 문제가 아닌지

00:01:06.640 --> 00:01:07.150
의심되실 겁니다

00:01:07.150 --> 00:01:09.910
그래서 이 극한을 
조금 다른 방식으로 변형해 보아야 합니다

00:01:09.910 --> 00:01:13.210
아직까지 포기하지 마십시요!

00:01:13.210 --> 00:01:16.880
이 식을 어떻게 잘 조작해 보면

00:01:16.880 --> 00:01:20.380
로피탈의 정리를 사용 가능한 부정형 꼴로
만들 수 있을지도 모르는 일입니다

00:01:20.380 --> 00:01:23.040
그런 다음 로피탈의 정리를 쓰면 되니까 말입니다

00:01:23.040 --> 00:01:24.790
그러면 이 두 분수를

00:01:24.790 --> 00:01:26.470
하나로 합쳐 보면

00:01:26.470 --> 00:01:29.865
즉 통분을 해 보면

00:01:29.865 --> 00:01:32.160
먼저 분모의 최소공배수를 구해야 합니다

00:01:32.160 --> 00:01:36.850
(x－1)lnx가 될 것입니다

00:01:36.850 --> 00:01:38.740
분모 둘끼리 곱한 것과 같습니다

00:01:38.740 --> 00:01:43.420
이번에는 분자 차례입니다

00:01:43.420 --> 00:01:46.436
이 첫 번째 분자에는 lnx를 곱해야 합니다

00:01:46.436 --> 00:01:51.317
그러니 xlnx가 되고
이 두 번째 분자에는

00:01:51.317 --> 00:01:52.930
x－1을 곱해야 합니다

00:01:52.930 --> 00:01:54.955
그러므로 (x－1)을 빼면 됩니다

00:01:54.955 --> 00:01:58.510
빼기 (x－1)입니다

00:01:58.510 --> 00:02:00.540
이 상태에서 항 두 개를 분리해 보시면

00:02:00.540 --> 00:02:02.870
위쪽에 쓴 표현과 똑같아짐을 쉽게 확인할 수 있습니다

00:02:02.870 --> 00:02:07.000
여기 네모 친 부분은

00:02:07.000 --> 00:02:10.310
x/(x－1)과 같습니다
분자 분모 양쪽의 lnx가 사라지기 때문입니다

00:02:10.310 --> 00:02:12.220
헷갈리지 않게 네모 표시를 지우겠습니다

00:02:12.220 --> 00:02:18.430
여기 네모 표시한 부분은

00:02:18.430 --> 00:02:21.510
1/lnx와 같습니다
분자 분모 양쪽의 x－1이 사라지기 때문입니다

00:02:21.510 --> 00:02:23.630
무언가 대단한 것을 한 것처럼 보일 수도 있지만

00:02:23.630 --> 00:02:25.120
그냥 두 분수를 통분해서 합친 것에 지나지 않습니다

00:02:25.120 --> 00:02:29.110
이제 통분하고 얻은 새로운 식에

00:02:29.110 --> 00:02:31.600
x를 1로 보내서 극한을 찾아 봅시다

00:02:31.600 --> 00:02:33.010
위의 식과 같은 표현이니까요

00:02:33.010 --> 00:02:35.320
별로 신기할 것은 없습니다

00:02:35.320 --> 00:02:36.360
이제 분자 부분은

00:02:36.360 --> 00:02:38.810
1에다 ln1을 곱합니다

00:02:38.810 --> 00:02:43.650
ln1＝0이니 이 첫 부분은 0이 됩니다

00:02:43.650 --> 00:02:47.200
뒷 부분은 －(1－1)이 되므로
또 0이 나왔습니다

00:02:47.200 --> 00:02:51.000
결국 분자는 0이 됩니다

00:02:51.000 --> 00:02:55.570
이제 분모 차례입니다
1－1＝0이고

00:02:55.570 --> 00:03:00.100
여기에다 ln1을 곱해야 합니다
ln1＝0이니까 0에다 0을 곱하니 0입니다

00:03:00.100 --> 00:03:00.960
이제 됐습니다

00:03:00.960 --> 00:03:04.940
로피탈의 정리를 사용할 수 있는 부정형을 얻었습니다

00:03:04.940 --> 00:03:07.110
물론 분자 분모를 미분해서

00:03:07.110 --> 00:03:09.360
그 극한값이 존재한다는 가정 하에서요

00:03:09.360 --> 00:03:11.130
일단 한 번 해 봅시다

00:03:11.130 --> 00:03:15.340
만약 그 극한값이 존재한다면

00:03:15.340 --> 00:03:19.200
이 극한을 다시 써 보면

00:03:19.200 --> 00:03:22.490
분자 분모를 각각 미분을 할 차례입니다

00:03:22.490 --> 00:03:26.190
이 분자의 도함수를 구해야 합니다

00:03:26.190 --> 00:03:28.590
이 첫 항의 경우는 곱의 미분법을 사용합시다

00:03:28.590 --> 00:03:32.970
x의 도함수는 1이고

00:03:32.970 --> 00:03:35.920
거기다 lnx를 곱하니 lnx가 됩니다

00:03:35.920 --> 00:03:36.930
(첫째 항 미분)×(둘째 항 그대로)를 해 준 것입니다

00:03:36.930 --> 00:03:39.570
여기에다 더 더할 것이 남았습니다

00:03:39.570 --> 00:03:43.820
둘째 항을 미분한 1/x에 첫째 항을 곱한 것을 더합니다

00:03:43.820 --> 00:03:45.430
단순한 곱의 미분법입니다

00:03:45.430 --> 00:03:47.920
1/x에다 x를 곱하니 1이 됩니다

00:03:47.920 --> 00:03:54.390
그리고 나서 (x－1)의 도함수를 빼 줘야 합니다

00:03:54.390 --> 00:03:58.450
x－1의 도함수는 1이니

00:03:58.450 --> 00:04:01.090
그냥 1을 빼 주면 됩니다

00:04:01.090 --> 00:04:08.710
그러면 분자의 도함수를 구하는 과정이 끝났습니다

00:04:08.710 --> 00:04:11.340
그러면 이제 분모를 미분할 차례입니다

00:04:11.340 --> 00:04:16.600
첫째 항 (x－1)의 도함수는 1입니다

00:04:16.600 --> 00:04:20.330
거기에다가 둘째 항을 곱하니까 lnx가 됩니다

00:04:20.330 --> 00:04:23.520
그러고 나서 둘째 항을 미분해야 합니다

00:04:23.520 --> 00:04:28.350
lnx의 도함수는 1/x이고
거기다가 (x－1)을 곱합니다

00:04:28.350 --> 00:04:32.140
(x－1)을 곱합니다

00:04:32.140 --> 00:04:34.240
식을 약간 더 간단하게 정리해 봅시다

00:04:34.240 --> 00:04:37.270
1/x에 x를 곱하면 1입니다

00:04:37.270 --> 00:04:38.580
거기에다가 1을 빼 버리니

00:04:38.580 --> 00:04:40.910
두 개의 1이 사라집니다

00:04:40.910 --> 00:04:45.710
그래서 이 전체 식을 다시 써 보면

00:04:45.710 --> 00:04:51.260
x가 1로 갈 때 
분자는 lnx이고

00:04:51.260 --> 00:04:57.160
분모는

00:04:57.160 --> 00:05:03.600
lnx＋(x－1)/x가 됩니다

00:05:03.600 --> 00:05:05.250
이제 이 극한을 계산해 봅시다

00:05:05.250 --> 00:05:09.060
이제 만약 x를 1로 보내면 분자 부분 lnx는

00:05:09.060 --> 00:05:13.640
ln1＝0이니 0이 됩니다

00:05:13.640 --> 00:05:19.720
이제 분모 차례입니다
첫째 항은 ln1이니 0이 되고

00:05:19.720 --> 00:05:27.920
둘째 항은 (1－1)/1입니다

00:05:27.920 --> 00:05:28.900
그러니 또 0을 얻게 되었습니다

00:05:28.900 --> 00:05:29.810
1－1＝0이니까요

00:05:29.810 --> 00:05:30.680
결국 분모는 0＋0이 되어

00:05:30.680 --> 00:05:34.140
식 전체가 0/0꼴이 됩니다

00:05:34.140 --> 00:05:35.740
0/0꼴이 또 나왔습니다

00:05:35.740 --> 00:05:38.230
또 다시 로피탈의 정리를 써 보겠습니다

00:05:38.230 --> 00:05:39.890
이제 분자의 도함수와

00:05:39.890 --> 00:05:41.240
분모의 도함수를 또 구해 봅시다

00:05:41.240 --> 00:05:44.210
이 극한을 다시 한 번 써 보면

00:05:44.210 --> 00:05:51.950
리미트 x가 1로 갈 때

00:05:51.950 --> 00:05:56.320
분자에는 원래 분자의 도함수 1/x를 써 주고

00:05:56.320 --> 00:06:00.340
거기에다가 분모의 도함수를 나눠야 합니다

00:06:00.340 --> 00:06:01.160
분모의 도함수를 구할 차례입니다

00:06:01.160 --> 00:06:06.950
먼저 lnx의 도함수는 1/x이고

00:06:06.950 --> 00:06:09.590
거기에다가 (x－1)/x의 도함수를 더해야 합니다

00:06:09.590 --> 00:06:13.120
이 식을 1/x 와 (x－1)의 곱으로 생각해 봅시다

00:06:13.120 --> 00:06:16.730
이제 곱의 미분법을 쓰면 됩니다

00:06:16.730 --> 00:06:19.280
(첫째 항 미분)×(둘째 항 그대로)를 하고서

00:06:19.280 --> 00:06:20.670
(둘째 항 미분)×(첫째 항 그대로)를 구해서

00:06:20.670 --> 00:06:21.610
더해 주면 됩니다

00:06:21.610 --> 00:06:24.980
첫째 항
즉 (x의 －1제곱)의 도함수는

00:06:24.980 --> 00:06:30.030
－(x의 －2제곱)입니다 
거기에

00:06:30.030 --> 00:06:34.830
x－1을 곱해 줍니다
그리고 이번에는 둘째 항을 미분할 차례입니다

00:06:34.830 --> 00:06:39.780
1 곱하기 첫째 항
즉 1/x가 됩니다

00:06:39.780 --> 00:06:45.060
자 이제 이 식은

00:06:45.060 --> 00:06:45.860
이런 컴퓨터에 이상한 창이 떴습니다

00:06:45.860 --> 00:06:47.730
약간의 잡음이 있었는데 죄송합니다

00:06:47.730 --> 00:06:48.780
어디까지 했었나요?

00:06:48.780 --> 00:06:50.710
아 이 식을 정리할 차례입니다

00:06:50.710 --> 00:06:52.210
로피탈의 정리를 쓰는 중이었습니다

00:06:52.210 --> 00:06:58.010
그럼 이 식은

00:06:58.010 --> 00:07:02.870
x＝1을 대입해서 계산해 보면

00:07:02.870 --> 00:07:05.610
분자 부분은 1/1이니 1이 됩니다

00:07:05.610 --> 00:07:07.406
그러면 적어도

00:07:07.406 --> 00:07:09.480
부정형 꼴은 절대 나오지 않을 것입니다

00:07:09.480 --> 00:07:12.080
분모 차례입니다
x＝1을 대입해 보면

00:07:12.080 --> 00:07:18.180
첫번 째 항은 1/1 즉 1이고
빼기 1의 －2제곱

00:07:18.180 --> 00:07:21.490
1의 －2제곱은 그냥 1이므로

00:07:21.490 --> 00:07:22.445
그냥 빼기 1이 됩니다

00:07:22.445 --> 00:07:24.820
그런데 여기다가 1－1을 곱하니까

00:07:24.820 --> 00:07:27.100
1－1＝0이므로 두 번째 항은 사라집니다

00:07:27.100 --> 00:07:29.890
거기다 1/1을 한 번 더 더해 줍니다

00:07:29.890 --> 00:07:34.090
그러면 1/2이 나옵니다

00:07:34.090 --> 00:07:34.990
답을 구해 냈습니다

00:07:34.990 --> 00:07:37.620
로피탈의 정리 등 몇몇 과정을 거쳐서

00:07:37.620 --> 00:07:39.050
처음에는 0/0꼴처럼 보이지 않았던

00:07:39.050 --> 00:07:40.260
극한을 풀어 냈습니다

00:07:40.260 --> 00:07:44.110
먼저 두 분수를 합쳐서 0/0꼴 부정형을 얻어 냈고

00:07:44.110 --> 00:07:46.460
두 줄에 걸쳐 분자와 분모를 두 번 미분했고

00:07:46.460 --> 00:07:49.180
결국 극한값을 얻어 냈습니다

00:07:49.180 --> 00:07:49.680