Me tahame leida piirväärtust, kus x läheneb ühele avaldisest (x jagada x-1 miinus 1/ln(x).
Vaatame, mis juhtub, kui me paneme lihtsalt ühe asemele.
Mis juhtub, kui me arvutame seda avaldist väärtusel 1?No me saame ühe siia jagada 1 - 1.
Ehk me saame siis 1 jagada 0 miinus 1 jagada ning mis on ln(x)'i naturaallogaritm ühest?
e astmel mis on võrdne ühega?No ükstapuha, mis arv astmel null on võrdne ühega, ehk siis e astmel 0 on võrdne ühega, ehk siis naturaallogaritm ühest on võrdne nulliga.
Me saame kahtlase, defineerimata 1/0 miinus 1/0.
Me saame kahtlase, määramata 1/0 miinus 1/0.
See on imeliku kujuga defineerimata avaldis.
Aga see ei ole määramata avaldise tüüpi, kus me L'Hopitali reeglit kasutame.
Me ei saanud 0/0 või lõpmatus/lõpmatus.
Nii et te võite mõelda, et see pole L'hopitali reegli järgi.
Et te peaks lahendama selle ülesande mingil muul moel.Ning ma vastaks, et ärge andke nii kiiresti alla!
Äkki me saame seda algebraliselt manipuleerida, et me saaks L'hopitali määramata avaldise ning siis
Äkki me saame seda algebraliselt manipuleerida, et me saaks L'hopitali määramata avaldise ning siis me saaks seda reeglit kasutada.
Ning et seda teha, vaatame, mis juhtub kui me lahutame need kaks avaldist?
Nii et kui me lahutame, see avaldis, kui me lahutame, siis ühine nimetaja on x -1 korrutada ln(x).
Ma korrutasin nimetajad.Ning lugeja hakkab olema, no kui ma korrutan,
põhimõtteliselt seda x'i ln(x)'iga siis saame x korrutada ln(x), ning seda osa korrutan ma x-1'ega, ehk saame x-1.
Ning kui te teeks selle juppideks siis te näeks, et need kaks avaldist on võrdväärsed.
See asi siin on sama, mis 1/ln(x), sest x-1'ed taanduvad ära.
Loodetavasti te mõistate, et ma lihtsalt lahutasin need kaks avaldist.
Ning vaatame, mis juhtub siis, kui ma nüüd leian selle piirväärtuse, kus x läheneb ühele.
Need on põhimõtteliselt täpselt samad asjad.Kas me saame midagi huvitavamat?
Mis meil siin siis on?1 korrutada ln(1).
Naturaallogaritm ühest on 0, ehk meil on siis siin 0 ning see on null.Miinus 1 miinus 0.See on järjekordne null, -0.
..ning ka nimetaja tuleb meil null.
Ja nii ongi.Meil on määramata avaldis, mida meil on vaja L'Hopitali reeglit kasutades, eeldades, et me võtame selle tuletise ning
jagame selle tuletisega, siis see piirväärtus eksisteerib.Proovime seda teha.
See on sisi võrdne, kui piirväärtus eksisteerib, võrdne, kus x läheneb ühele.
Ning võtame tuletised punase värviga.Ma võtan selle lugeja tuletise.
Selle jaoks kasutame lihtsalt korrutamise reeglit.X'i tuletis on 1 ehk siis 1 korrutada ln(x), esimese tuletis korrutada teine tuletis.
Ning me liidame teise liikme tuletise pluss 1/x korrutada esimese liikme tuletis.
See on korrutamise reegel.1/x korrutada x, näeme et see on lihtsalt 1,
miinus x-1'e tuletis.No x-1 tuletis on lihtsalt 1, ehk see on lihtsalt miinus 1.
Ning kõik jagada selle asja tuletisega.Võtame siis selle tuletise.
Esimese liikme x-1 tuletis on lihtsalt 1.Korrutada teise liikmega saame naturaallogaritm x'ist
Liita teise liikme tuletis, ln(x)tuletis on 1/x, korrutada x -1.
Ma usun, et me saame seda natuke lihtsustada.
See 1/x korrutada x on üks.Me lahutame sellest ühe maha.
Ehk need saab maha tõmmata, siin.Ning terve avaldise saab ümberkirjutada, kui
piirväärtus läheneb ühele, lugejaks on lihtsalt ln(x), teen selle punasega ning nimetajaks on ln(x)+(x-1)/x.
Arvutame selle piirvärtuse siis.Kui me võtame, et x läheneb ühele naturaallogaritm x'ist.
See annab meile, no naturaallogaritm ühest on null.Ning siin on ka naturaallogaritm ühest, mis on null.
Liita 1 miinus 1 jagada -- liiga 1 miinus 1 jagada 1, no see on lihtsalt järjekordne null.
Üks miinus üks on null.Nii et meil on null pluss null.
Ehk me saame jälle 0/0.
0/0.
Kasutame jälle L'Hopitali reeglit.Võtame selle tuletise ning jagame selle tuletisega.
Kui me kunagi leiame piirväärtuse, see on võrdne, kui x läheneb ühele, lugeja tuletis, 1/x, ln(x)'i tuletis on 1/x jagada nimetaja tuletisega.
Ning mis selleks on ?No naturaallogaritm x'ist on 1/x pluss (x-1)/x tuletis.
Te võite seda niimodi vaadata, kui 1/x korrutada x miinus 1.No x'i tuletis on -1.me võtame
Te võite seda niimodi vaadata, kui 1/x korrutada x miinus 1.No x'i astmel -1 tuletis on--me võtame
esimese tuletis korrutada teisega ning teine tuletis korrutada esimese asjaga.
Esimese liikme tuletis, x astmel -1 tuletis on -x astmel -2 korrutada teise liikmega,korrutada (x-1) liita teise liikme tuletis, mis on
lihtsalt 1 korrutada esimene liige, pluss 1/x.See hakkab võrdne olema, mul juhuslikult viskas arvutis mingi asja ette.
Vabandan selle heli pärast, kui te kuulsite seda.Kuhu ma jäingi?
Lihtsustame seda siin.Me kasutame L'Hopitali reeglit.
Ehk see hakkab võrdne olema, las ma, see hakkab võrdne olema, kui me arvutame , kus x=1, siis lugeja on.
1/1, mis on lihtsalt 1.Ehk meil kindlasti ei ole enam määramata või 0/0 avaldist.
Ning nimetaja hakkab olema, kui te arvutate seda kohal üks, see on 1/1 mis on 1 pluss -1 astmel -2.
Või te ütlete 1 astmel -2 on lihtsalt 1, mis on miinus 1.
Aga te korrutate seda 1-1'ega mis on 0, ehk kogu liikme saab maha tõmmata.
Ning meil on veel 1+1--pluss 1 ehk see on võrdne 1/2.
Ja nii ongi.Kasutades L'Hopitali reeglit me lahendasime ülesande, mis ei tundunud algus, et oleks 0/0.
Me lihtsalt liitsime kaks liiget, saime 0/0 võtsime kaks korda lugeja ja nimetaja tuletise, et leida meie piirväärtuse.