Đồ thị màu vàng ở đây là của hàm số y bằng f của x
Còn đồ thị màu hồng nhạt là của
hàm số y bằng đạo hàm của f,
hay f phẩy của x.
Và đồ thị màu xanh ở đây là của
hàm số y bằng đạo hàm bậc 2 của hàm số ban đầu.
Nó cũng là đạo hàm của cái này,
của đạo hàm bậc 1 ở ngay đây.
Chúng ta đã thấy các ví dụ
về xác định các điểm cực tiểu và cực đại.
Rõ ràng là nếu có đồ thị cho trước
sẽ rất dễ dàng để não ta xác định được
đây là 1 điểm cực đại.
Và hàm số có thể có giá trị lớn hơn sau đó.
Và ta cũng xác định được đây là 1 điểm cực tiểu
và hàm số cũng có thể có giá trị nhỏ hơn sau đó.
Nhưng ngay cả khi không có sẵn đồ thị
thì ta cũng có thể lấy đạo hàm của hàm số
và ngay cả khi
không lấy được đạo hàm,
ta cũng có thể xác định đây là các điểm cực đại hay cực tiểu.
Cách ta làm là tự hỏi xem
các điểm cực trị của hàm số này là gì?
Điểm cực trị là các điểm mà tại đó, đạo hàm của hàm số
vô nghiệm hoặc bằng 0.
Đây là đạo hàm của hàm số.
Nó bằng 0 ở đây và đây.
Vậy ta sẽ gọi đó là các điểm cực trị.
Mình tạm thời chưa thấy điểm nào mà tại đó
đạo hàm vô nghiệm cả.
Nên ở đây và ở đây là các điểm cực trị.
Đây là các điểm tiềm năng mà hàm số có thể có
giá trị cực tiểu hoặc cực đại.
Và ta đã tìm ra liệu nó là
giá trị cực tiểu hay cực đại bằng cách
xem xét hành vi của đạo hàm quanh các điểm đó.
Tại đây, ta thấy đạo hàm là dương
khi tiến đến điểm đó,
và sau đó nó thành âm.
Nó đi từ dương sang âm
sau khi vượt qua điểm đó.
Nghĩa là hàm số đồng biến.
Nếu đạo hàm là dương,
nghĩa là hàm số đồng biến cho đến
điểm đó, và nghịch biến ngay sau đó,
đây cũng là 1 cách hay để nghĩ về
điểm cực đại này.
Nếu hàm số đồng biến khi tiến đến điểm
và nghịch biến sau đó, thì điểm đó
chắc chắn là 1 điểm cực đại.
Tương tự, ở đây ta có thể thấy
đạo hàm là âm khi ta tiến đến điểm
nghĩa là hàm số nghịch biến.
Và ta thấy hàm số dương
khi ta vượt qua điểm.
Ta có đạo hàm đi từ âm
sang dương, nghĩa là
hàm số đi từ nghịch biến sang đồng biến
quanh điểm đó, đây là dấu hiệu
nhận biết rằng tại điểm cực trị này
hàm số sẽ có giá trị cực tiểu.
Điều mình muốn làm tiếp theo là mở rộng
các lập luận này bằng định nghĩa của tính lồi/lõm.
...
Tính lồi/lõm của hàm số nhé.
Khi nói về tính lồi/lõm, ta nên
nhìn vào đạo hàm bậc 2 thay vì chỉ
xem xét sự đổi dấu ở đây để xác định đó là
điểm cực tiểu hay cực đại.
Cùng nghĩ xem có gì đang diễn ra
ở vùng đầu tiên bên này, phần phía trên
của đồ thị trông như 1 hình cung hướng xuống,
giống 1 chữ A không có
dấu gạch ngang, hoặc 1 chữ U úp ngược.
Và ta sẽ xem xét tiếp đến
phần có chữ U hướng lên bên này.
Trên khoảng đầu tiên
bên này, ta thấy hệ số góc
sẽ có.. để mình chuyển màu...
à thôi màu này cũng được
vì đây là màu mình dùng ở đạo hàm.
Hệ số góc có giá trị dương
rồi lại nhỏ dần
và nhỏ dần hơn nữa
cho đến khi nó bằng 0.
Sau đó lại giảm dần giá trị
Bây giờ thì nó là 1 số âm lớn
sau đó nó nhỏ hơn
và tiếp tục nhỏ hơn rất nhiều.
Và có vẻ như nó đã dần giảm giá trị tại đó.
Vậy hệ số góc dừng giảm giá trị tại đó.
Bạn có thể thấy điều này ở đạo hàm.
Hệ số góc giảm dần liên tục
cho đến điểm đó, và nó lại bắt đầu tăng dần.
Vậy cả phần này ở đây,
hệ số góc giảm dần.
Và bạn có thể thấy, khi ta lấy đạo hàm
ở đây, cả vùng này
đều nghịch biến.
Và ta cũng thấy điều tương ứng khi lấy đạo hàm bậc 2
Nếu đạo hàm nghịch biến,
nghĩa là đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm
của đạo hàm, là âm.
Điều này là đúng trên hình.
Trên cả khoảng này, đạo hàm bậc 2
đúng là âm.
Tiếp theo khi ta chuyển tiếp
sang phần U hướng lên của đồ thị thì sao?
Ở đây, đạo hàm vẫn là âm.
Đạo hàm vẫn là âm ở đây.
Sau đó nó vẫn âm,
nhưng giá trị sẽ bắt đầu tăng dần
và tăng dần đều
cho đến khi nó bằng 0.
Nó bằng 0 ở đây.
Sau đó nó sẽ có giá trị dương càng lớn.
Và bạn cũng có thể thấy điều đó ở đây.
Trên cả khoảng này, hệ số góc hoặc đạo hàm
đều tăng dần.
Hệ số góc tăng dần
và bạn thấy điều đó ở đây.
Ở đây, hệ số góc bằng 0.
Hệ số góc của đạo hàm bằng 0.
Đạo hàm thì không thay đổi tại đó
nhưng bạn lại thấy hệ số góc tăng dần.
Và ta sẽ thấy điều này trên đồ thị
của đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm của đạo hàm.
Nếu đạo hàm đồng biến, nghĩa là
đạo hàm của đạo hàm phải là dương.
Và đúng là đạo hàm bậc 2 là dương.
Ta có 1 từ để diễn tả khoảng hướng xuống
hoặc hướng lên dạng chữ U. Ta gọi đây là lồi.
Để mình ghi rõ ra.
Lồi.
Và ta gọi đây là lõm.
Hãy cùng ôn lại từ đầu đến giờ cách xác định
khoảng lồi và khoảng lõm.
Khi ta nói về sự lồi,
ta thấy có 1 số điều đáng lưu ý.
Ta thấy hệ số góc giảm dần.
Hoặc 1 cách khác để nói là
f phẩy của x nghịch biến.
Và đó là cách nói khác cho việc đạo hàm bậc 2
là âm.
Nếu đạo hàm bậc 1 nghịch biến,
thì đạo hàm bậc 2 là âm,
nghĩa là đạo hàm bậc 2
trên khoảng phải âm.
Nếu bạn có đạo hàm bậc 2 âm,
thì bạn sẽ ở khoảng lồi.
Tương tự
hãy cùng nghĩ về sự lõm
khi mà khoảng trông như chữ U hướng lên...
Trong khoảng như vậy thì hệ số góc tăng dần.
Ta có hệ số góc âm rổi tăng dần đến 0,
sau đó lại có giá trị dương tăng dần đều.
Vậy hệ số góc tăng dần,
nghĩa là đạo hàm của hàm số đồng biến.
Và ta thấy điều đó ở đăy.
Đạo hàm đồng biến,
nghĩa là đạo hàm bậc 2 trên khoảng lõm
phải có giá trị lớn hơn 0.
Nếu đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0,
nghĩa là đạo hàm bậc 1
đồng biến, và hệ số góc tăng dần.
Vậy là ta sẽ ở khoảng lõm.
Sau khi đã tìm hiểu các định nghĩa về
sự lồi và lõm,
ta có thể nghĩ ra 1 cách khác
để xác định 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu
hay cực đại không?
Để bạn có điểm cực đại
thì cực trị của bạn phải ở khoảng lồi
và đó sẽ là 1 điểm cực đại.
Lồi,
nghĩa là nó sẽ hướng xuống như thế này.
Nếu ta nói về 1 điểm cực trị
thuộc khoảng lồi ở đây,
và hàm số khả vi trên khoảng,
thì tại điểm cực trị này,
hệ số góc sẽ bằng 0.
Vậy nó sẽ là điểm này đây.
Nếu bạn có khoảng lồi,
bạn sẽ có điểm mà f phẩy của a, bằng 0
thì ta sẽ có điểm cực đại tại a.
Tương tự, nếu ta có khoảng lõm,
nghĩa là hàm số trông như thế này.
Và ta xác định được cực trị
mà có thể tại đó hàm số vô nghiệm,
nhưng ta giả sử đạo hàm bậc 1 và bậc 2
được xác định ở đây,
thì tại điểm cực trị,
đạo hàm bậc 1 sẽ bằng 0.
Vậy f phẩy của a bằng 0.
Nếu f phẩy của a bằng 0,
và hàm số lõm trong khoảng
quanh a, và đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0
thì khá rõ ràng
ta đang nói đến điểm cực tiểu tại a.