1
00:00:00,500 --> 00:00:04,270
Đồ thị màu vàng ở đây là của hàm số y bằng f của x

2
00:00:04,270 --> 00:00:06,350
Còn đồ thị màu hồng nhạt là của

3
00:00:06,350 --> 00:00:09,310
hàm số y bằng đạo hàm của f,

4
00:00:09,310 --> 00:00:10,870
hay f phẩy của x.

5
00:00:10,870 --> 00:00:12,580
Và đồ thị màu xanh ở đây là của

6
00:00:12,580 --> 00:00:15,740
hàm số y bằng đạo hàm bậc 2 của hàm số ban đầu.

7
00:00:15,740 --> 00:00:18,380
Nó cũng là đạo hàm của cái này,

8
00:00:18,380 --> 00:00:21,550
của đạo hàm bậc 1 ở ngay đây.

9
00:00:21,550 --> 00:00:23,830
Chúng ta đã thấy các ví dụ

10
00:00:23,830 --> 00:00:25,345
về xác định các điểm cực tiểu và cực đại.

11
00:00:25,345 --> 00:00:27,220
Rõ ràng là nếu có đồ thị cho trước

12
00:00:27,220 --> 00:00:29,850
sẽ rất dễ dàng để não ta xác định được

13
00:00:29,850 --> 00:00:31,950
đây là 1 điểm cực đại.

14
00:00:31,950 --> 00:00:34,530
Và hàm số có thể có giá trị lớn hơn sau đó.

15
00:00:34,530 --> 00:00:37,540
Và ta cũng xác định được đây là 1 điểm cực tiểu

16
00:00:37,540 --> 00:00:40,242
và hàm số cũng có thể có giá trị nhỏ hơn sau đó.

17
00:00:40,242 --> 00:00:42,700
Nhưng ngay cả khi không có sẵn đồ thị

18
00:00:42,700 --> 00:00:45,347
thì ta cũng có thể lấy đạo hàm của hàm số

19
00:00:45,347 --> 00:00:47,180
và ngay cả khi

20
00:00:47,180 --> 00:00:48,638
không lấy được đạo hàm,

21
00:00:48,638 --> 00:00:51,501
ta cũng có thể xác định đây là các điểm cực đại hay cực tiểu.

22
00:00:51,501 --> 00:00:53,000
Cách ta làm là tự hỏi xem

23
00:00:53,000 --> 00:00:55,070
các điểm cực trị của hàm số này là gì?

24
00:00:55,070 --> 00:00:58,360
Điểm cực trị là các điểm mà tại đó, đạo hàm của hàm số

25
00:00:58,360 --> 00:01:00,099
vô nghiệm hoặc bằng 0.

26
00:01:00,099 --> 00:01:01,515
Đây là đạo hàm của hàm số.

27
00:01:01,515 --> 00:01:04,170
Nó bằng 0 ở đây và đây.

28
00:01:04,170 --> 00:01:05,810
Vậy ta sẽ gọi đó là các điểm cực trị.

29
00:01:05,810 --> 00:01:08,530
Mình tạm thời chưa thấy điểm nào mà tại đó

30
00:01:08,530 --> 00:01:10,590
đạo hàm vô nghiệm cả.

31
00:01:10,590 --> 00:01:15,590
Nên ở đây và ở đây là các điểm cực trị.

32
00:01:15,590 --> 00:01:19,740
Đây là các điểm tiềm năng mà hàm số có thể có

33
00:01:19,740 --> 00:01:21,800
giá trị cực tiểu hoặc cực đại.

34
00:01:21,800 --> 00:01:23,550
Và ta đã tìm ra liệu nó là

35
00:01:23,550 --> 00:01:25,220
giá trị cực tiểu hay cực đại bằng cách

36
00:01:25,220 --> 00:01:29,320
xem xét hành vi của đạo hàm quanh các điểm đó.

37
00:01:29,320 --> 00:01:36,320
Tại đây, ta thấy đạo hàm là dương

38
00:01:36,320 --> 00:01:37,715
khi tiến đến điểm đó,

39
00:01:41,210 --> 00:01:42,800
và sau đó nó thành âm.

40
00:01:42,800 --> 00:01:44,800
Nó đi từ dương sang âm

41
00:01:44,800 --> 00:01:46,500
sau khi vượt qua điểm đó.

42
00:01:46,500 --> 00:01:48,760
Nghĩa là hàm số đồng biến.

43
00:01:48,760 --> 00:01:50,679
Nếu đạo hàm là dương,

44
00:01:50,679 --> 00:01:52,970
nghĩa là hàm số đồng biến cho đến

45
00:01:52,970 --> 00:01:56,310
điểm đó, và nghịch biến ngay sau đó,

46
00:01:56,310 --> 00:01:58,544
đây cũng là 1 cách hay để nghĩ về

47
00:01:58,544 --> 00:01:59,460
điểm cực đại này.

48
00:01:59,460 --> 00:02:00,765
Nếu hàm số đồng biến khi tiến đến điểm

49
00:02:00,765 --> 00:02:02,630
và nghịch biến sau đó, thì điểm đó

50
00:02:02,630 --> 00:02:06,490
chắc chắn là 1 điểm cực đại.

51
00:02:06,490 --> 00:02:09,330
Tương tự, ở đây ta có thể thấy

52
00:02:09,330 --> 00:02:14,630
đạo hàm là âm khi ta tiến đến điểm

53
00:02:14,630 --> 00:02:17,420
nghĩa là hàm số nghịch biến.

54
00:02:17,420 --> 00:02:19,780
Và ta thấy hàm số dương

55
00:02:19,780 --> 00:02:20,940
khi ta vượt qua điểm.

56
00:02:20,940 --> 00:02:22,710
Ta có đạo hàm đi từ âm

57
00:02:22,710 --> 00:02:24,530
sang dương, nghĩa là

58
00:02:24,530 --> 00:02:27,930
hàm số đi từ nghịch biến sang đồng biến

59
00:02:27,930 --> 00:02:30,680
quanh điểm đó, đây là dấu hiệu

60
00:02:30,680 --> 00:02:33,590
nhận biết rằng tại điểm cực trị này

61
00:02:33,590 --> 00:02:38,710
hàm số sẽ có giá trị cực tiểu.

62
00:02:38,710 --> 00:02:41,150
Điều mình muốn làm tiếp theo là mở rộng

63
00:02:41,150 --> 00:02:43,270
các lập luận này bằng định nghĩa của tính lồi/lõm.

64
00:02:46,365 --> 00:02:47,740
...

65
00:02:47,740 --> 00:02:49,740
Tính lồi/lõm của hàm số nhé.

66
00:02:49,740 --> 00:02:52,630
Khi nói về tính lồi/lõm, ta nên

67
00:02:52,630 --> 00:02:55,380
nhìn vào đạo hàm bậc 2 thay vì chỉ

68
00:02:55,380 --> 00:02:57,990
xem xét sự đổi dấu ở đây để xác định đó là

69
00:02:57,990 --> 00:03:01,280
điểm cực tiểu hay cực đại.

70
00:03:01,280 --> 00:03:03,300
Cùng nghĩ xem có gì đang diễn ra

71
00:03:03,300 --> 00:03:06,030
ở vùng đầu tiên bên này, phần phía trên

72
00:03:06,030 --> 00:03:09,540
của đồ thị trông như 1 hình cung hướng xuống,

73
00:03:09,540 --> 00:03:11,290
giống 1 chữ A không có

74
00:03:11,290 --> 00:03:13,716
dấu gạch ngang, hoặc 1 chữ U úp ngược.

75
00:03:13,716 --> 00:03:15,090
Và ta sẽ xem xét tiếp đến

76
00:03:15,090 --> 00:03:19,950
phần có chữ U hướng lên bên này.

77
00:03:19,950 --> 00:03:21,790
Trên khoảng đầu tiên

78
00:03:21,790 --> 00:03:23,700
bên này, ta thấy hệ số góc

79
00:03:23,700 --> 00:03:26,484
sẽ có.. để mình chuyển màu...

80
00:03:26,484 --> 00:03:27,900
à thôi màu này cũng được

81
00:03:27,900 --> 00:03:30,210
vì đây là màu mình dùng ở đạo hàm.

82
00:03:30,210 --> 00:03:33,210
Hệ số góc có giá trị dương

83
00:03:33,210 --> 00:03:36,640
rồi lại nhỏ dần

84
00:03:36,640 --> 00:03:39,790
và nhỏ dần hơn nữa

85
00:03:39,790 --> 00:03:42,840
cho đến khi nó bằng 0.

86
00:03:42,840 --> 00:03:44,160
Sau đó lại giảm dần giá trị

87
00:03:44,160 --> 00:03:47,260
Bây giờ thì nó là 1 số âm lớn

88
00:03:47,260 --> 00:03:49,250
sau đó nó nhỏ hơn

89
00:03:49,250 --> 00:03:51,200
và tiếp tục nhỏ hơn rất nhiều.

90
00:03:51,200 --> 00:03:56,409
Và có vẻ như nó đã dần giảm giá trị tại đó.

91
00:03:56,409 --> 00:03:58,450
Vậy hệ số góc dừng giảm giá trị tại đó.

92
00:03:58,450 --> 00:03:59,380
Bạn có thể thấy điều này ở đạo hàm.

93
00:03:59,380 --> 00:04:01,380
Hệ số góc giảm dần liên tục

94
00:04:01,380 --> 00:04:04,970
cho đến điểm đó, và nó lại bắt đầu tăng dần.

95
00:04:04,970 --> 00:04:10,920
Vậy cả phần này ở đây,

96
00:04:10,920 --> 00:04:12,575
hệ số góc giảm dần.

97
00:04:18,550 --> 00:04:21,950
Và bạn có thể thấy, khi ta lấy đạo hàm

98
00:04:21,950 --> 00:04:26,070
ở đây, cả vùng này

99
00:04:26,070 --> 00:04:27,287
đều nghịch biến.

100
00:04:27,287 --> 00:04:29,620
Và ta cũng thấy điều tương ứng khi lấy đạo hàm bậc 2

101
00:04:29,620 --> 00:04:31,720
Nếu đạo hàm nghịch biến,

102
00:04:31,720 --> 00:04:33,750
nghĩa là đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm

103
00:04:33,750 --> 00:04:35,050
của đạo hàm, là âm.

104
00:04:35,050 --> 00:04:38,320
Điều này là đúng trên hình.

105
00:04:38,320 --> 00:04:43,190
Trên cả khoảng này, đạo hàm bậc 2

106
00:04:43,190 --> 00:04:45,821
đúng là âm.

107
00:04:45,821 --> 00:04:47,570
Tiếp theo khi ta chuyển tiếp

108
00:04:47,570 --> 00:04:51,250
sang phần U hướng lên của đồ thị thì sao?

109
00:04:51,250 --> 00:04:54,150
Ở đây, đạo hàm vẫn là âm.

110
00:04:54,150 --> 00:04:56,250
Đạo hàm vẫn là âm ở đây.

111
00:04:56,250 --> 00:04:58,570
Sau đó nó vẫn âm,

112
00:04:58,570 --> 00:05:01,850
nhưng giá trị sẽ bắt đầu tăng dần

113
00:05:01,850 --> 00:05:04,670
và tăng dần đều

114
00:05:04,670 --> 00:05:05,980
cho đến khi nó bằng 0.

115
00:05:05,980 --> 00:05:08,000
Nó bằng 0 ở đây.

116
00:05:08,000 --> 00:05:11,170
Sau đó nó sẽ có giá trị dương càng lớn.

117
00:05:11,170 --> 00:05:12,890
Và bạn cũng có thể thấy điều đó ở đây.

118
00:05:12,890 --> 00:05:16,720
Trên cả khoảng này, hệ số góc hoặc đạo hàm

119
00:05:16,720 --> 00:05:18,430
đều tăng dần.

120
00:05:18,430 --> 00:05:24,745
Hệ số góc tăng dần

121
00:05:24,745 --> 00:05:25,870
và bạn thấy điều đó ở đây.

122
00:05:25,870 --> 00:05:27,560
Ở đây, hệ số góc bằng 0.

123
00:05:27,560 --> 00:05:29,950
Hệ số góc của đạo hàm bằng 0.

124
00:05:29,950 --> 00:05:33,220
Đạo hàm thì không thay đổi tại đó

125
00:05:33,220 --> 00:05:37,089
nhưng bạn lại thấy hệ số góc tăng dần.

126
00:05:37,089 --> 00:05:38,630
Và ta sẽ thấy điều này trên đồ thị

127
00:05:38,630 --> 00:05:40,900
của đạo hàm bậc 2, hay đạo hàm của đạo hàm.

128
00:05:40,900 --> 00:05:42,530
Nếu đạo hàm đồng biến, nghĩa là

129
00:05:42,530 --> 00:05:44,680
đạo hàm của đạo hàm phải là dương.

130
00:05:44,680 --> 00:05:49,240
Và đúng là đạo hàm bậc 2 là dương.

131
00:05:49,240 --> 00:05:53,320
Ta có 1 từ để diễn tả khoảng hướng xuống

132
00:05:53,320 --> 00:05:57,640
hoặc hướng lên dạng chữ U. Ta gọi đây là lồi.

133
00:06:02,120 --> 00:06:03,560
Để mình ghi rõ ra.

134
00:06:03,560 --> 00:06:07,920
Lồi.

135
00:06:07,920 --> 00:06:10,030
Và ta gọi đây là lõm.

136
00:06:13,400 --> 00:06:15,330
Hãy cùng ôn lại từ đầu đến giờ cách xác định

137
00:06:15,330 --> 00:06:18,670
khoảng lồi và khoảng lõm.

138
00:06:18,670 --> 00:06:25,840
Khi ta nói về sự lồi,

139
00:06:25,840 --> 00:06:27,780
ta thấy có 1 số điều đáng lưu ý.

140
00:06:27,780 --> 00:06:29,340
Ta thấy hệ số góc giảm dần.

141
00:06:37,590 --> 00:06:41,430
Hoặc 1 cách khác để nói là

142
00:06:41,430 --> 00:06:47,290
f phẩy của x nghịch biến.

143
00:06:51,720 --> 00:06:54,840
Và đó là cách nói khác cho việc đạo hàm bậc 2

144
00:06:54,840 --> 00:06:55,590
là âm.

145
00:06:55,590 --> 00:06:58,090
Nếu đạo hàm bậc 1 nghịch biến,

146
00:06:58,090 --> 00:07:00,460
thì đạo hàm bậc 2 là âm,

147
00:07:00,460 --> 00:07:03,350
nghĩa là đạo hàm bậc 2

148
00:07:03,350 --> 00:07:08,160
trên khoảng phải âm.

149
00:07:08,160 --> 00:07:11,010
Nếu bạn có đạo hàm bậc 2 âm,

150
00:07:11,010 --> 00:07:14,220
thì bạn sẽ ở khoảng lồi.

151
00:07:14,220 --> 00:07:17,480
Tương tự

152
00:07:17,480 --> 00:07:21,640
hãy cùng nghĩ về sự lõm

153
00:07:21,640 --> 00:07:25,630
khi mà khoảng trông như chữ U hướng lên...

154
00:07:25,630 --> 00:07:28,510
Trong khoảng như vậy thì hệ số góc tăng dần.

155
00:07:28,510 --> 00:07:31,030
Ta có hệ số góc âm rổi tăng dần đến 0,

156
00:07:31,030 --> 00:07:34,040
sau đó lại có giá trị dương tăng dần đều.

157
00:07:34,040 --> 00:07:37,780
Vậy hệ số góc tăng dần,

158
00:07:43,240 --> 00:07:50,690
nghĩa là đạo hàm của hàm số đồng biến.

159
00:07:50,690 --> 00:07:52,680
Và ta thấy điều đó ở đăy.

160
00:07:52,680 --> 00:07:56,240
Đạo hàm đồng biến,

161
00:07:56,240 --> 00:08:00,150
nghĩa là đạo hàm bậc 2 trên khoảng lõm

162
00:08:00,150 --> 00:08:03,490
phải có giá trị lớn hơn 0.

163
00:08:03,490 --> 00:08:05,450
Nếu đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0,

164
00:08:05,450 --> 00:08:06,950
nghĩa là đạo hàm bậc 1

165
00:08:06,950 --> 00:08:09,310
đồng biến, và hệ số góc tăng dần.

166
00:08:09,310 --> 00:08:14,630
Vậy là ta sẽ ở khoảng lõm.

167
00:08:14,630 --> 00:08:18,000
Sau khi đã tìm hiểu các định nghĩa về

168
00:08:18,000 --> 00:08:20,150
sự lồi và lõm,

169
00:08:20,150 --> 00:08:22,210
ta có thể nghĩ ra 1 cách khác

170
00:08:22,210 --> 00:08:24,820
để xác định 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu

171
00:08:24,820 --> 00:08:26,490
hay cực đại không?

172
00:08:26,490 --> 00:08:28,420
Để bạn có điểm cực đại

173
00:08:28,420 --> 00:08:32,500
thì cực trị của bạn phải ở khoảng lồi

174
00:08:32,500 --> 00:08:36,130
và đó sẽ là 1 điểm cực đại.

175
00:08:36,130 --> 00:08:38,210
Lồi,

176
00:08:38,210 --> 00:08:42,263
nghĩa là nó sẽ hướng xuống như thế này.

177
00:08:42,263 --> 00:08:44,179
Nếu ta nói về 1 điểm cực trị

178
00:08:44,179 --> 00:08:46,304
thuộc khoảng lồi ở đây,

179
00:08:46,304 --> 00:08:48,784
và hàm số khả vi trên khoảng,

180
00:08:48,784 --> 00:08:50,200
thì tại điểm cực trị này,

181
00:08:50,200 --> 00:08:52,350
hệ số góc sẽ bằng 0.

182
00:08:52,350 --> 00:08:54,810
Vậy nó sẽ là điểm này đây.

183
00:08:54,810 --> 00:08:56,640
Nếu bạn có khoảng lồi,

184
00:08:56,640 --> 00:09:02,250
bạn sẽ có điểm mà f phẩy của a, bằng 0

185
00:09:02,250 --> 00:09:04,730
thì ta sẽ có điểm cực đại tại a.

186
00:09:11,500 --> 00:09:14,210
Tương tự, nếu ta có khoảng lõm,

187
00:09:14,210 --> 00:09:17,340
nghĩa là hàm số trông như thế này.

188
00:09:17,340 --> 00:09:20,210
Và ta xác định được cực trị

189
00:09:20,210 --> 00:09:22,600
mà có thể tại đó hàm số vô nghiệm,

190
00:09:22,600 --> 00:09:24,800
nhưng ta giả sử đạo hàm bậc 1 và bậc 2

191
00:09:24,800 --> 00:09:26,510
được xác định ở đây,

192
00:09:26,510 --> 00:09:28,260
thì tại điểm cực trị,

193
00:09:28,260 --> 00:09:31,380
đạo hàm bậc 1 sẽ bằng 0.

194
00:09:31,380 --> 00:09:35,090
Vậy f phẩy của a bằng 0.

195
00:09:35,090 --> 00:09:38,130
Nếu f phẩy của a bằng 0,

196
00:09:38,130 --> 00:09:40,900
và hàm số lõm trong khoảng

197
00:09:40,900 --> 00:09:44,250
quanh a, và đạo hàm bậc 2 lớn hơn 0

198
00:09:44,250 --> 00:09:46,010
thì khá rõ ràng

199
00:09:46,010 --> 00:09:53,610
ta đang nói đến điểm cực tiểu tại a.