Burada sarı rəngdə y bərabərdir f(x)-in ,
bənövşəyi rəngdə
y bərabərdir f-in törəməsinin,
yəni f ştrix x-in ,
mavi rəngdə isə
funksiyanın ikinci dərəcədən törəməsinin qrafiki verilib.
Bu, funksiyanın birinci dərəcədən
törəməsidir.
Biz artıq nümunələrdən maksimum və minimum
nöqtələri necə müəyyən edəcəyimizi bilirik.
Aydındır ki, qrafikdən
nisbi maksimum nöqtəni
müəyyənləşdirmək elə də çətin deyil.
Funksiya sonradan daha böyük qiymətlər ala bilər.
Bunu nisbi maksimum nöqtəsi kimi təyin edək.
Funksiya sonradan daha kiçik qiymətlər də ala bilər.
Əgər qrafik gözümüzün önündə olmasa idi,
biz funksiyanın törəməsini
ala bilərdik-- yaxud törəməni
ala bilməsəydik də,-- maksimum və
minimum nöqtələrini təyin edə bilərdik.
Belə.
Funksiyanın böhran nöqtələri nədir?
Böhran nöqtələri funkisyanın
təyin olunmadığı, yaxud 0-a bərabər olduğu nöqtələrdir.
Bu, funksiyanın törəməsidir.
Bu və bu, 0-dır.
Onda bu nöqtələri böhran nöqtələri adlandıra bilərik.
Ancaq hələ də, törəmənin
təyin olunmadığı nöqtə görmürəm.
Bunlar böhran nöqtələridir.
Bunlar funksiyanın ala biləcəyi
maksimum, yaxud minimum nöqtələrdir.
Bu nöqtənin ətrafındakı əyrinin
vəziyyətinə əsasən
maksimum, yaxud minimum qiyməti tapa bilərik.
Gördüyümüz kimi bu nöqtəyə yaxınlaşdıqca,
törəmə müsbət olur.
Sonra mənfi olur.
O, müsbətdən başlayaraq bu nöqtədən keçib
mənfiyə doğru gedir.
Yəni, funksiya artır.
Əgər törəmə müsbətdirsə, bu, o deməkdir ki,
biz bu nöqtəyə yaxınlaşdıqca
funksiya artır. Nöqtəni keçdikdən sonra isə azalır.
Bu, maksimum nöqtəni müəyyənləşdirmək üçün
daha yaxşı üsuldur.
Əgər funksiya nöqtəyə yaxınlaşdıqca artır,
nöqtəni keçdikdən sonra azalırsa, onda həmin nöqtə,
mütləq, maksimum nöqtəmiz olacaq.
Eynilə, burada da
görürük ki, bu nöqtəyə yaxınlaşdıqca törəmə mənfi olur.
Bu o, deməkdir ki, funksiya azalır.
Bu nöqtədə
törəmə müsbət olur.
Mənfi törəmədən
müsbət törəməyə gedirik.
Yəni, bu nöqtə ətrafında funksiya azalır və
daha sonra artır. Bu, olduqca aydındır.
Bu, funksiyanın minimum qiymət aldığı
böhran nöqtəsidir.
Funksiyanın qabarıqlığı ilə
bunu aydınlaşdırmaq istəyirəm.
Onu səhv tələffüz etdiyimi bilirəm.
Qabarıqlıq.
Qabarıqlıq haqqında düşünəndə
funksiyanın ikinci dərəcədən törəməsinə nəzər salırıq.
Burada onun
maksimum, yaxud minimum olduğunu müəyyənləşdiririk.
Baxaq görək birinci hissədə
nə baş verir. Qrafikin bu hissəsində
əyri sanki
yuxarıya doğru qalxır. Ortasında xətti olmayan
A hərfi kimi, yaxud tərs U kimi də deyə bilərik.
İndi isə düşünək görək əyrinin
bu tərs U şəkilli hissəsində nə baş verir?
Birinci intervalda,
bucaq əmsalından
başlasaq,-- gəlin
onu da eyni rəngdə edək, çünki
törəmə üçün eyni rəngdən istiafdə edirəm.
Bucaq əmsalı müsbətdir.
Sonra isə daha kiçik müsbət ədəd olur.
Sonra yenə də kiçilir.
Sonda 0-a çatır.
Daha sonra azalır.
Bir az mənfiyə doğru gedir və
daha kiçik mənfi
ədəd olur.
Azalaraq burada dayanır.
Bucaq əmsalı azalaraq burada dayanır.
Burada törəməni görürük.
Bucaq əmsalı
bu nöqtəyə qədər azala-azala gəlir və daha sonra artmağa başlayır.
Beləlikə, bütöv bu hissədə
bucaq əmsalı azalır.
Bu hissədə
törəmə aldıqda
azalır.
İkinci dərəcədən törəmə aldıqda isə
birinci dərəcədən törəmə azalırsa,
onda ikinci dərəcədən törəmə
mənfi olur.
Həqiqətən də, belədir.
Bu intervalda ikinci dərəcədən törəmə,
həqiqətən, mənfidir.
Əyrinin tərs U şəkilli
hissəsində nə baş verir?
Burada törəmə
mənfidir.
Sonra da mənfi olaraq davam edir,
ancaq, getdikcə daha da
mənfidən uzaqlaşır və
0-a çatır.
Burada 0-a bərabər olur.
Daha sonra müsbətə doğru artır.
Bu
intervalda törəmənin
bucaq əmsalı
artır.
Gördüyümüz kimi
burada bucaq əmsalı 0-dır.
Törəmənin bucaq əmsalı 0-dır.
Ancaq törəmə özü burada dəyişmir.
Görürük ki, bucaq əmsalı artır.
Yenidən ikinci dərəcədən
törəməni təsəvvür edirik.
Əgər törəmə artırsa, onda
müsbət olmalıdır.
Bu halda törəmə müsbətdir.
Qolları yuxarı və aşağı açılan U şəkilli
əyrini qabarıqlıq adlandırırıq.
Buranı təmizləyək.
Bunu qolları
aşağı və yuxarı olan əyri adlandırırıq.
Gəlin yenidən üstündən keçək görək əyrinin qollarının
aşağı və yuxarı olmasını necə müəyyənləşdiririk.
Əgər əyrinin qollarının aşağı vəziyyətindən danışırıqsa,
burada bir neçə hal görəcəyik.
Bucaq əmsalı azalır.
Başqa sözlə desək,
f ştrix x azalır.
Bunu da başqa cür də desək, ikinci dərəcədən törəmə
mənfi olmalıdır.
Əgər birinci dərəcədən törəmə azalırsa,
ikinci dərəcədən törəmə mənfi olmalıdır.
Yəni ikinci dərəcədən törəmə
bu intervalda mənfi olmalıdır.
Deməli, ikinci dərəcədən törəmədə
əyrinin qolları aşağı olacaq.
Eynilə,-- bu sözü deməkdə
çətinlik çəkirəm-- indi isə əyrinin qollarının
yuxarı vəziyyətinə baxaq.
Bu intervallarda bucaq əmsalı artır.
Mənfi bucaq əmsalımız var. Mənfidən uzaqlaşır, getdikcə artır, 0-a çatır və
daha sonra müsbət istiqamətdə davam edir.
Bucaq əmsalı artır.
Onda funksiyanın törəməsi də artır.
Burada görürük.
Burada törəmə artır.
İkinci dərəcədən törəmədə, bu intervalda
əyrinin qolları yuxarı olur və 0-dan böyük olur.
Əgər ikinci dərəcədən törəmə 0-dan böyükdürsə,
bu o, deməkdir ki, birinci dərəcədən törəmə
artır. Onda bucaq əmsalı da artır.
Deməli, əyrinin qolları yuxarıdır.
Bütün bunlar funksiyanın aşağı və
yuxarı istiqamətdə qabarıqlığını müəyyən etmək üçündür.
Böhran nöqtəsinin
maksimum, yaxud minimum olmasının
müəyyənləşdirməyin başqa yolu var?
Əgər maksimum nöqtəmiz varsa,
böhran nöqtəmiz varsa, funksiyanın qolları
yuxarıdırsa, onda maksimum nöqtəmiz olacaq.
Buranı təmizləyək.
Əyrinin qolları bu cür olacaq.
Böhran nöqtəsinə baxsaq,
əgər əyrinin qolları aşağıdırsa,
onda bu intervalda funksiya diferensiallanandır.
Böhran nöqtəsi
bucaq əmsalının 0 olduğu nöqtə olacaq.
Burada.
Əyrinin qolları aşağıdırsa,
f ştrix x 0-dırsa,
onda bizim maksimum nöqtəmiz var.
Eynilə, əyrinin qolları aşağıdırsa,
funksiya bu şəkildə olacaq.
Həmin nöqtə
funkisyanın təyin olunmadığı nöqtə olacaq.
Əgər birinci və ikinci dərəcədən
törəmə təyin olunubsa,
onda böhran nöqtəsi
birinci dərəcədən törəmənin 0 olduğu nöqtə olacaq.
f ştrix x bərabərdir 0-a.
Əgər bu intervalda f ştrix x 0-dırsa və
əyrinin qolları yuxarıdırsa,
ikinci dərəcədən törəmə 0-dan böyükdürsə,
onda bizim burada
minimum nöqtəmiz olacaq.