Burada sarı rəngdə y bərabərdir f(x)-in , bənövşəyi rəngdə y bərabərdir f-in törəməsinin, yəni f ştrix x-in , mavi rəngdə isə funksiyanın ikinci dərəcədən törəməsinin qrafiki verilib. Bu, funksiyanın birinci dərəcədən törəməsidir. Biz artıq nümunələrdən maksimum və minimum nöqtələrini necə müəyyən edəcəyimizi bilirik. Aydındır ki, qrafikdən nisbi maksimum nöqtəni müəyyənləşdirmək elə də çətin deyil. Funksiya sonradan daha böyük qiymətlər ala bilər. Bunu nisbi maksimum nöqtəsi kimi təyin edək. Funksiya sonradan daha kiçik qiymətlər də ala bilər. Əgər qrafik gözümüzün önündə olmasa idi, biz funksiyanın törəməsini ala bilərdik-- yaxud törəməni ala bilməsəydik də,-- maksimum və minimum nöqtələrini təyin edə bilərdik. Belə. Funksiyanın böhran nöqtələri nədir? Böhran nöqtələri funkisyanın təyin olunmadığı, yaxud 0-a bərabər olduğu nöqtələrdir. Bu, funksiyanın törəməsidir. Bu və bu 0-dır. Onda bu nöqtələri böhran nöqtələri adlandıra bilərik. Ancaq hələ də, törəmənin təyin olunmadığı nöqtə görümürəm. Bunlar böhran nöqtələridir. Bunlar funksiyanın ala biləcəyi maksimum, yaxud minimum nöqtələrdir. Bu nöqtənin ətrafındakı əyrinin vəziyyətinə əsasən maksimum, yaxud minimum qiyməti tapa bilərik. Gördüyümüz kimi bu nöqtəyə yaxınlaşdıqca, törəmə müsbət olur. Sonra mənfi olur. O, müsbətdən başlayaraq bu nöqtədən keçib mənfiyə doğru gedir. Yəni, funksiya artır. Əgər törəmə müsbətdirsə, bu, o deməkdir ki, biz bu nöqtəyə yaxınlaşdıqca funksiya artır. Nöqtəni keçdikdən sonra isə azalır. Bu, maksimum nöqtəni müəyyənləşdirmək üçün daha yaxşı üsuldur. Əgər funksiya nöqtəyə yaxınlaşdıqca artır, nöqtəni keçdikdən sonra azalırsa, onda həmin nöqtə, mütləq, maksimum nöqtəmiz olacaq. Eynilə, burada da görürük ki, bu nöqtəyə yaxınlaşdıqca törəmə mənfi olur. Bu o, deməkdir ki, funksiya azalır. Biz bu nöqtədə olduqda törəmə müsbsət olur. Mənfi törəmədən müsbət törəməyə gedirik. Yəni, bu nöqtə ətrafında funksiya azalır və daha sonra artır. Bu, olduqca aydındır. Bu, funksiyanın minimum qiymət aldığı böhran nöqtəsidir. Funksiyanın qabarıqlığı ilə bunu aydınlaşdırmaq istəyirəm. Onu səhv tələffüz etdiyimi bilirəm. Qabarıqlıq. Qabarıqlıq haqqında düşünən də biz funksiyanın ikinci dərəcədən törəməsinə nəzər salırıq. Bu çevrilmə nöqtəsində bunun maksimum, yaxud minimum olduğunu müəyyənləşdiririk. Baxaq görək birinci hissədə nə baş verir. Qrafikin bu hissəsində əyri sanki yuxarıya doğru qalxır. Ortasında xətti olmayan A hərfi kimi, yaxud tərs U kimi də deyə bilərik. İndi isə düşünək görək əyrinin bu tərs U şəkilli hissəsində nə baş verir? Birinci intervalda, bucaq əmsalından başlasaq,-- gəlin onu da eyni rəngdə edək, çünki törəmə üçün eyni rəngdən istiafdə edirəm. Bucaq əmsalı müsbətdir. Sonra isə daha kiçik müsbət ədəd olur. Sonra yenə də kiçilir. Sonda 0-a çatır. Daha sonra azalır. Bir az mənfiyə doğru gedir və daha kiçik mənfi ədəd olur. Azalaraq burada dayanır. Bucaq əmsalı azalaraq burada dayanır. Burada törəməni görürük. Bucaq əmsalı bu nöqtəyə qədər azala-azala gəlir və daha sonra artmağa başlayır. Beləlikə, bütöv bu hissədə bucaq əmsalı azalır. Bu hissədə törəmə aldıqda azalır. İkinci dərəcədən törəmə aldıqda isə birinci dərəcədən törəmə azalırsa, onda ikinci dərəcədən törəmə mənfi olur. Həqiqətən də, belədir. Bu intervalda ikinci dərəcədən törəmə, həqiqətən, mənfidir. Əyrinin tərs U şəkilli hissəsində nə baş verir? Burada törəmə mənfidir. Sonra da mənfi olaraq davam edir, ancaq, getdikcə daha da mənfidən uzaqlaşır və 0-a çatır. Burada 0-a bərabər olur. Daha sonra müsbətə doğru artır. Bu intervalda törəmənin bucaq əmsalı artır. Gördüyümüz kimi burada bucaq əmsalı 0-dır. Törəmənin bucaq əmsalı 0-dır. Ancaq törəmə özü burada dəyişmir. Görürük ki, bucaq əmsalı artır. Yenidən ikinci dərəcədən törəməni təsəvvür edirik. Əgər törəmə artırsa, onda müsbət olmalıdır. Bu halda törəmə müsbətdir. Qolları yuxarı və aşağı açılan U şəkilli əyrini qabarıqlıq adlandırırıq. Buranı təmizləyək. Bunu qolları aşağı və yuxarı olan əyri adlandırırıq. Gəlin yenidən üstündən keçək görək əyrinin qollarının aşağı və yuxarı olmasını necə müəyyənləşdiririk. Əgər əyrinin qollarının aşağı vəziyyətindən danışırıqsa, burada bir neçə hal görəcəyik. Bucaq əmsalı azalır. Başqa sözlə desək, f ştrix x azalır. Bunu da başqa cür də desək, ikinci dərəcədən törəmə mənfi olmalıdır. Əgər birinci dərəcdən törəmə azalırsa, ikinci dərəcədən törəmə mənfi olmalıdır. Yəni ikinci dərərcədən törəmə bu intervalda mənfi olmalıdır. Deməli, ikinci dərəcədən törəmədə əyrinin qolları aşağı olacaq. Eynilə,-- bu sözü deməkdə çətinlik çəkirəm-- indi isə əyrinin qollarının yuxarı vəziyyətinə baxaq. Bu intervallarda bucaq əmsalı artır. Mənfi bucaq əmsalımız var. Mənfidən uzaqlaşır, getdikcə artır, 0-a çatır və daha sonra müsbət istiqamətdə davam edir. Bucaq əmsalı artır. Onda funksiyanın törəməsi də artır. Burada görürük. Burada törəmə artır. İkinci dərəcədən törəmədə bu intervalda əyrinin qolları yuxarı olur və 0-dan böyük olur. Əgər ikinci dərəcədən törəmə 0-dan böyükdürsə, bu o, deməkdir ki, birinci dərəcədən törəmə artır. Onda bucaq əmsalı da artır. Deməli, əyrinin qolları yuxarıdır. Bütün bunlar funksiyanın aşağı və yuxarı istiqmətdə qabarıqlığını müəyyən etmək üçündür. Böhran nöqtəsinin maksimum, yaxud minimum olmasının müəyyənləşdirməyin başqa yolu var? Əgər maksimum nöqtəmiz varsa, böhran nöqtəmiz varsa, funksiyanın qolları yuxarıdırsa, onda maksimum nöqtəmiz olacaq. Buranı təmizləyək. Əyrinin qolları bu cür olacaq. Böhran nöqtəsinə baxsaq, əgər əyrinin qolları aşağıdırsa, onda bu intervalda funksiya diferensiallanandır. Böhran nöqtəsi bucaq əmslaının 0 olduğu nöqtə olacaq. Burada. Əyrinin qolları aşağıdırsa, f ştrix x 0-dırsa, onda bizim maksimum nöqtəmiz var. Eynilə, əyrinin qolları aşağıdırsa, funksiya bu şəkildə olacaq. Həmin nöqtə funkisyanın təyin olunmadığı nöqtə olacaq. Əgər birinci və ikinci dərəcədən törəmə təyin olunubsa, onda böhran nöqtəsi birinci dərəcədədn törəmənin 0 olduğu nöqtə olacaq. f ştrix x bərabərdir 0-a. Əgər bu intervalda f ştrix x 0-dırsa və əyrinin qolları yuxarıdırsa, ikinci dərəcədən törəmə 0-dan böyükdürsə, onda bizim burada minimum nöqtəmiz olacaq.