[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:05.02,0:00:07.05,Default,,0000,0000,0000,,И снова привет!
Dialogue: 0,0:00:07.05,0:00:11.02,Default,,0000,0000,0000,,В предыдущем видео я говорил, что результат, который мы получили для вычисления
Dialogue: 0,0:00:11.02,0:00:17.04,Default,,0000,0000,0000,,площади треугольника со сторонами a, b и c, равнозначен формуле Герона.
Dialogue: 0,0:00:17.04,0:00:24.01,Default,,0000,0000,0000,,В этом видео я хочу доказать Вам с помощью некоторых алгебраических преобразований,
Dialogue: 0,0:00:24.01,0:00:26.04,Default,,0000,0000,0000,,что это - то же, что формула Герона.
Dialogue: 0,0:00:26.04,0:00:30.02,Default,,0000,0000,0000,,Прежде всего, давайте внесем 1/2 под знак корня.
Dialogue: 0,0:00:30.02,0:00:36.01,Default,,0000,0000,0000,,То есть, 1/2с – это то же самое, что √с²/4.
Dialogue: 0,0:00:36.01,0:00:39.04,Default,,0000,0000,0000,,Вы извлекаете из этого квадратный корень и получаете ½ с.
Dialogue: 0,0:00:39.04,0:00:42.07,Default,,0000,0000,0000,,Значит, все это выражение равно…
Dialogue: 0,0:00:42.07,0:00:47.01,Default,,0000,0000,0000,,Вместо того, чтобы рисовать знак квадратного корня, я просто напишу словами -
Dialogue: 0,0:00:47.01,0:00:52.00,Default,,0000,0000,0000,,квадратный корень из вот этого - с²/4, умноженного на все это.
Dialogue: 0,0:00:52.00,0:01:00.06,Default,,0000,0000,0000,,Я просто скопирую это выражение. То есть, умножить на это.
Dialogue: 0,0:01:00.06,0:01:11.04,Default,,0000,0000,0000,,Конечно, это нужно разложить на множители - и все это под корнем.
Dialogue: 0,0:01:11.04,0:01:16.06,Default,,0000,0000,0000,,Давайте раскроем скобки. Это будет равняться квадратному корню…
Dialogue: 0,0:01:16.06,0:01:18.09,Default,,0000,0000,0000,,Это будет довольно запутанно, но я думаю, Вы будете довольны, когда увидите,
Dialogue: 0,0:01:18.09,0:01:23.01,Default,,0000,0000,0000,,как все это, в конце концов, придет к простой формуле Герона.
Dialogue: 0,0:01:23.01,0:01:38.02,Default,,0000,0000,0000,,Квадратный корень из с²/4*а²=с²а²/4 минус с²/4, умножить на…
Dialogue: 0,0:01:38.02,0:01:43.03,Default,,0000,0000,0000,,Сейчас я запишу это, как числитель в квадрате, разделенный на знаменатель в квадрате.
Dialogue: 0,0:01:43.03,0:01:57.08,Default,,0000,0000,0000,,Значит, умножить на (с²+а²-b²)², разделенное на – если я возведу знаменатель в квадрат – 4с².
Dialogue: 0,0:01:57.08,0:02:03.09,Default,,0000,0000,0000,,Мы сразу же видим, что это с² и это с² сократятся. Теперь я вот так закрою скобки.
Dialogue: 0,0:02:03.09,0:02:07.07,Default,,0000,0000,0000,,Разумеется, это 4 умножить на это 4, будет -
Dialogue: 0,0:02:07.07,0:02:12.04,Default,,0000,0000,0000,,давайте я запишу это таким образом - это то же самое, что 4 в квадрате.
Dialogue: 0,0:02:12.04,0:02:17.09,Default,,0000,0000,0000,,Вместо того, чтобы написать 16, я запишу это вот так. Скоро Вы увидите, зачем я это делаю.
Dialogue: 0,0:02:17.09,0:02:20.02,Default,,0000,0000,0000,,Теперь я могу переписать это как…
Dialogue: 0,0:02:20.02,0:02:30.02,Default,,0000,0000,0000,,Это будет равняться – я произвольно меняю цвет – квадратному корню из (са/2)².
Dialogue: 0,0:02:30.02,0:02:35.08,Default,,0000,0000,0000,,Это - то же самое, что это, правильно? Я просто возвожу всю дробь в квадрат.
Dialogue: 0,0:02:35.08,0:02:47.09,Default,,0000,0000,0000,,Если я возведу в квадрат все по отдельности, получится с²а², деленные на - 2²=4 - минус -
Dialogue: 0,0:02:47.09,0:02:55.05,Default,,0000,0000,0000,,сейчас я запишу все это выражение в квадрате - получится: (с²+а²-b²)/4.
Dialogue: 0,0:02:55.05,0:02:59.02,Default,,0000,0000,0000,,Мы возводим в квадрат и числитель, и знаменатель.
Dialogue: 0,0:02:59.02,0:03:05.00,Default,,0000,0000,0000,,Интересненько выглядит, да? Давайте я обозначу скобки другим цветом.
Dialogue: 0,0:03:05.00,0:03:15.04,Default,,0000,0000,0000,,Вы должны помнить из разложения многочленов на множители, что х²-у² можно разложить на (х+у)(х-у).
Dialogue: 0,0:03:15.04,0:03:18.07,Default,,0000,0000,0000,,Мы будем пользоваться этим правилом и дальше.
Dialogue: 0,0:03:18.07,0:03:28.06,Default,,0000,0000,0000,,Допустим, са/2, - это «х», а вот это длинное выражение – это «у», тогда у нас получается х²-у².
Dialogue: 0,0:03:28.06,0:03:31.09,Default,,0000,0000,0000,,Значит, мы можем разложить это выражение на множители.
Dialogue: 0,0:03:31.09,0:03:39.08,Default,,0000,0000,0000,,Следовательно, все это будет равняться: √(х+у) или в этом случае из (са/2) плюс у,
Dialogue: 0,0:03:39.08,0:03:53.04,Default,,0000,0000,0000,,которое у нас равняется (с²+а²-b²)/4 умножить на х-у. Это наш х – са/2, минус все это
Dialogue: 0,0:03:53.04,0:04:10.06,Default,,0000,0000,0000,,выражение, или давайте лучше поменяем знаки – плюс -с²-а²+b². Все это делить на 4.
Dialogue: 0,0:04:10.06,0:04:17.03,Default,,0000,0000,0000,,То есть, я здесь сделал следующее: я сказал, что это выражение - то же самое, что это плюс это,
Dialogue: 0,0:04:17.03,0:04:30.06,Default,,0000,0000,0000,,умножить на это минус это – но я поменял знак, и получилось: плюс это выражение с отрицательным знаком, т.е. -с²-а²+b².
Dialogue: 0,0:04:30.06,0:04:34.07,Default,,0000,0000,0000,,Вот, что я сделал. Давайте теперь попробуем это упростить.
Dialogue: 0,0:04:34.07,0:04:40.06,Default,,0000,0000,0000,,Давайте посмотрим, сможем ли мы сложить эти дроби. Мы можем прийти здесь к общему знаменателю.
Dialogue: 0,0:04:40.06,0:04:48.06,Default,,0000,0000,0000,,са/2, - это то же самое, что 2са/4. Мы просто умножаем числитель и знаменатель на 2.
Dialogue: 0,0:04:48.06,0:04:56.08,Default,,0000,0000,0000,,Теперь мы можем сложить числители. Теперь все это выражение будет у нас равняться квадратному корню из…
Dialogue: 0,0:04:56.08,0:05:16.02,Default,,0000,0000,0000,,Это первоначальное выражение превратится в – я запишу это таким образом – (с²+2са+а²-b²)/4.
Dialogue: 0,0:05:16.02,0:05:21.06,Default,,0000,0000,0000,,Это наше первое выражение, а вот наше второе выражение.
Dialogue: 0,0:05:21.06,0:05:27.06,Default,,0000,0000,0000,,Оно тоже будет со знаменателем 4. Так я и запишу.
Dialogue: 0,0:05:27.06,0:05:47.07,Default,,0000,0000,0000,,Значит, мы можем записать это как b²-с²-2са+а².
Dialogue: 0,0:05:47.07,0:05:56.04,Default,,0000,0000,0000,,Давайте проверим: у нас здесь минус а² - плюс умножить на минус, получается минус а².
Dialogue: 0,0:05:56.04,0:06:07.02,Default,,0000,0000,0000,,Здесь у нас плюс 2са – минус умножить на минус дает плюс 2са. Здесь у нас минус с² и здесь минус с².
Dialogue: 0,0:06:07.02,0:06:10.00,Default,,0000,0000,0000,,Значит, эти два выражения равнозначны.
Dialogue: 0,0:06:10.00,0:06:24.01,Default,,0000,0000,0000,,Следующее, что нам нужно понять, - это то, что это выражение здесь – что-то я тут начёркал – это то же самое, что (с+а)².
Dialogue: 0,0:06:24.01,0:06:36.03,Default,,0000,0000,0000,,Давайте я это запишу. Это равняется квадратному корню из - открываем скобки – ((с+а)²-b²)/4.
Dialogue: 0,0:06:36.03,0:06:52.06,Default,,0000,0000,0000,,Это первая часть. Теперь вторая часть. Вот это то же самое, что (с-а)². Все это упростится до (b²-(с-а)²)/4.
Dialogue: 0,0:06:52.06,0:06:58.08,Default,,0000,0000,0000,,Мы двигаемся вперед. Я Вам говорил, что это непростая задача.
Dialogue: 0,0:06:58.08,0:07:04.01,Default,,0000,0000,0000,,Здесь мы видим наглядные примеры разложения многочленов на множители.
Dialogue: 0,0:07:04.01,0:07:09.08,Default,,0000,0000,0000,,А также то, как это сложное и странное на вид уравнение может быть упрощено.
Dialogue: 0,0:07:09.08,0:07:12.07,Default,,0000,0000,0000,,Здесь мы можем использовать тот же принцип.
Dialogue: 0,0:07:12.07,0:07:16.07,Default,,0000,0000,0000,,У нас такой же точно случай – какое-то выражение в квадрате минус еще одно выражение в квадрате, и то же самое - здесь.
Dialogue: 0,0:07:16.07,0:07:20.09,Default,,0000,0000,0000,,То есть, мы можем разложить это на множители.
Dialogue: 0,0:07:20.09,0:07:37.09,Default,,0000,0000,0000,,Это будет равняться квадратному корню из – это разложится на это плюс это, то есть, (с+а+b)(с+а-b).
Dialogue: 0,0:07:37.09,0:07:43.06,Default,,0000,0000,0000,,Это точно такой же пример, как тот, что я делал ранее. Это – х², а это – у².
Dialogue: 0,0:07:43.06,0:07:53.01,Default,,0000,0000,0000,,Итак, умножить на (с+а-b) и все это делить на 4. Теперь это. Тут у нас будет b+с-а.
Dialogue: 0,0:07:53.01,0:08:10.02,Default,,0000,0000,0000,,Давайте я немного передвинусь вправо. Умножить на b+с-а – это х+у – умножить на b-(с-а).
Dialogue: 0,0:08:10.02,0:08:25.01,Default,,0000,0000,0000,,Или - это то же самое, что b-с+а, это ведь то же самое, что и b-(с-а), верно? Все это разделить на 4.
Dialogue: 0,0:08:25.01,0:08:29.02,Default,,0000,0000,0000,,Теперь я могу переписать все это выражение.
Dialogue: 0,0:08:29.02,0:08:31.10,Default,,0000,0000,0000,,Не хочу, чтобы у меня закончилось место, где писать.
Dialogue: 0,0:08:31.10,0:08:41.00,Default,,0000,0000,0000,,Я могу переписать все это выражение как - я могу написать, что 4 – это 2 умножить 2.
Dialogue: 0,0:08:41.00,0:08:48.02,Default,,0000,0000,0000,,Значит, все наше уравнение было упрощено до – выходим на финишную прямую –
Dialogue: 0,0:08:48.02,0:09:00.09,Default,,0000,0000,0000,,до квадратного корня из вот этого выражения, которое я могу просто записать как (а+b+с)/2.
Dialogue: 0,0:09:00.09,0:09:19.01,Default,,0000,0000,0000,,Умножить на эту часть. Давайте упростим это. с+а-b – это то же, что а+b+с-2b.
Dialogue: 0,0:09:19.01,0:09:28.03,Default,,0000,0000,0000,,Эти два выражения равнозначны. У Вас есть а, с, а затем b-2b=-b.
Dialogue: 0,0:09:28.03,0:09:39.06,Default,,0000,0000,0000,,Значит, следующее выражение будет таким: (а+b+с-2b)/2
Dialogue: 0,0:09:39.06,0:09:42.08,Default,,0000,0000,0000,,либо вместо того, чтобы писать это так,
Dialogue: 0,0:09:42.08,0:09:46.09,Default,,0000,0000,0000,,я могу записать это, как это, деленное на 2 минус это, деленное на 2.
Dialogue: 0,0:09:46.09,0:09:51.04,Default,,0000,0000,0000,,Теперь наше следующее выражение. Точно такая же логика.
Dialogue: 0,0:09:51.04,0:09:59.03,Default,,0000,0000,0000,,Это то же самое, что (а+b+с-2а), деленное на 2.
Dialogue: 0,0:09:59.03,0:10:09.05,Default,,0000,0000,0000,,Если мы сложим минус 2а и а, мы получим минус а - значит, у нас b+с-а. Это одно и то же.
Dialogue: 0,0:10:09.05,0:10:14.06,Default,,0000,0000,0000,,Все это разделить на 2, или мы можем разделить знаменатели таким образом.
Dialogue: 0,0:10:14.06,0:10:22.09,Default,,0000,0000,0000,,Теперь последнее выражение. Вы, наверно, уже узнаете вырисовывающуюся здесь формулу Герона
Dialogue: 0,0:10:22.09,0:10:39.03,Default,,0000,0000,0000,,Эта часть – то же самое, что а+b-2с. Вы вычитаете 2с из с и получаете минус с, и у Вас также есть а и b.
Dialogue: 0,0:10:39.03,0:10:42.10,Default,,0000,0000,0000,,Все это делить на 2. Это разделить на 2, и это разделить на 2.
Dialogue: 0,0:10:42.10,0:10:51.03,Default,,0000,0000,0000,,И, конечно, мы извлекаем квадратный корень из всего этого – закрываем скобочку.
Dialogue: 0,0:10:51.03,0:11:02.05,Default,,0000,0000,0000,,Пусть площадь S будет равна (а+b+с)/2, тогда это уравнение сильно упрощается.
Dialogue: 0,0:11:02.05,0:11:12.02,Default,,0000,0000,0000,,Это у нас S. Это тоже S. Вот это S и это S. Эти выражения тоже сильно упрощаются.
Dialogue: 0,0:11:12.02,0:11:23.10,Default,,0000,0000,0000,,Минус 2b/2, - это то же самое, что минус b. Минус 2а/2, - это то же самое, что минус а. Минус 2с/2 - это то же самое, что минус с.
Dialogue: 0,0:11:23.10,0:11:30.04,Default,,0000,0000,0000,,Теперь все наше уравнение для нахождения площади треугольника будет равняться следующему -
Dialogue: 0,0:11:30.04,0:11:38.06,Default,,0000,0000,0000,,я перепишу квадратный корень из S – я напишу это теми же цветами -
Dialogue: 0,0:11:38.06,0:11:57.10,Default,,0000,0000,0000,,умножить на S-b, умножить на S-а, умножить на – мы уже на последнем S-с.
Dialogue: 0,0:11:57.10,0:12:04.08,Default,,0000,0000,0000,,Мы доказали, что формула Герона – это то же, что и то, к чему мы пришли в конце последнего видео.
Dialogue: 0,0:12:04.08,0:12:06.10,Default,,0000,0000,0000,,У нас неплохо получилось.
Dialogue: 0,0:12:06.10,99:59:59.00,Default,,0000,0000,0000,,Просто нужно было сделать немного мудреных алгебраических преобразований для того, чтобы это доказать.