1
00:00:00,239 --> 00:00:04,424
c 小题，假设 y 等于 f(x) 是微分方程

2
00:00:04,424 --> 00:00:07,040
在初始条件 f(2) = 3 时的特解。

3
00:00:11,486 --> 00:00:15,714
那么 f 在 x 等于 2 处是局部极大值？

4
00:00:15,714 --> 00:00:18,767
还是局部极小值？或者都不是？

5
00:00:18,767 --> 00:00:20,889
验证你的结论。

6
00:00:20,889 --> 00:00:22,199
好的，若要考虑

7
00:00:22,199 --> 00:00:24,258
局部极小或极大值，

8
00:00:24,258 --> 00:00:26,706
可以看看这一点的导数。

9
00:00:26,706 --> 00:00:28,633
如果等于 0，那么这里就有可能是

10
00:00:30,063 --> 00:00:32,549
有可能是局部极大或极小值，

11
00:00:32,549 --> 00:00:34,751
如果不等于 0，那么都不是。

12
00:00:34,751 --> 00:00:36,114
而如果确实等于 0，

13
00:00:36,114 --> 00:00:37,705
我们还要判断是极大值还是极小值，

14
00:00:37,705 --> 00:00:40,845
看看二阶导数算出来是正是负，就能判断。

15
00:00:40,845 --> 00:00:42,360
我们回到这一题，

16
00:00:42,360 --> 00:00:45,675
我们要计算 f'

17
00:00:45,675 --> 00:00:49,314
我们要计算的是 f'——

18
00:00:49,314 --> 00:00:53,142
f'(2) 等于什么。

19
00:00:53,142 --> 00:00:56,712
那么我们知道 f'(x)

20
00:00:56,712 --> 00:01:01,576
f'(x)，也就是 dy/dx，

21
00:01:01,576 --> 00:01:05,001
它等于 2x 减 y。

22
00:01:05,001 --> 00:01:06,982
从上一题就能看到。

23
00:01:06,982 --> 00:01:10,028
所以 f'(2)，我这样写

24
00:01:10,028 --> 00:01:14,184
f'(2) 就等于

25
00:01:14,184 --> 00:01:16,064
2 乘以 2，

26
00:01:16,064 --> 00:01:19,121
2 乘以 2 减去

27
00:01:19,121 --> 00:01:21,761
x 等于 2 时 y 的值。

28
00:01:21,761 --> 00:01:24,668
我们知道 x 等于 2 时 y 的值吗？

29
00:01:24,668 --> 00:01:26,873
当然，这里已经给出了。

30
00:01:26,873 --> 00:01:29,056
y 等于 f(x)，

31
00:01:29,056 --> 00:01:31,029
当 x 等于 2，

32
00:01:31,029 --> 00:01:32,664
当 x 等于 2 时，

33
00:01:32,664 --> 00:01:35,197
y 等于 3，

34
00:01:35,197 --> 00:01:37,937
所以是 2 乘以 2 减 3。

35
00:01:37,937 --> 00:01:40,653
那么它就等于 4 减 3，等于 1

36
00:01:42,128 --> 00:01:47,128
由于在 2 点的导数不等于 0，

37
00:01:47,190 --> 00:01:50,081
所以它就不是极小值，局部极小值，

38
00:01:50,081 --> 00:01:53,112
也不是局部极大值，

39
00:01:53,112 --> 00:01:58,112
所以可以说，由于 f'(2)

40
00:01:59,240 --> 00:02:02,514
f'(2) 不等于 0，

41
00:02:02,514 --> 00:02:07,411
这个，我们说 f，
我这样写，

42
00:02:07,411 --> 00:02:12,411
f 在 x 等于 2 处，既没达到极小值，

43
00:02:14,114 --> 00:02:16,274
局部极小值，这样说更好，

44
00:02:16,274 --> 00:02:19,535
局部极小，

45
00:02:19,535 --> 00:02:23,045
也没有达到局部极大值。

46
00:02:26,324 --> 00:02:29,064
好的，下一题。

47
00:02:29,064 --> 00:02:32,942
计算常数 m 和 b 的值，

48
00:02:32,942 --> 00:02:37,487
使得 y 等于 mx 加 b 是微分方程的一个解

49
00:02:39,583 --> 00:02:41,905
这道题有趣

50
00:02:41,905 --> 00:02:44,078
我们来，这样吧，
我们先把所有已知条件都写下来

51
00:02:44,078 --> 00:02:47,257
然后再考虑 y 等于 mx 加 b

52
00:02:47,257 --> 00:02:49,903
是微分方程的一个解这个条件。

53
00:02:49,903 --> 00:02:54,507
我们已经知道，

54
00:02:54,507 --> 00:02:58,939
dy/dx 等于 2x 减 y，

55
00:02:58,939 --> 00:03:00,273
是已知条件。

56
00:03:00,273 --> 00:03:02,281
我们也知道二阶导数，

57
00:03:02,281 --> 00:03:07,281
y 对 x 的二阶导数，等于

58
00:03:07,519 --> 00:03:12,519
2 减 dy/dx，

59
00:03:12,824 --> 00:03:14,333
这是我们在 b 小题中得出的结论。

60
00:03:14,333 --> 00:03:17,269
那么，我们可以将它表示成

61
00:03:17,269 --> 00:03:18,911
我们看，可以写为

62
00:03:18,911 --> 00:03:22,599
2 减 2x 加 y，通过代换

63
00:03:22,599 --> 00:03:25,375
就是把它代换进来

64
00:03:25,375 --> 00:03:27,826
那么这是 2 减 2x 加 y，

65
00:03:27,826 --> 00:03:29,282
我这么写，

66
00:03:29,282 --> 00:03:33,603
它也等于 2 减 2x 加 y，

67
00:03:33,603 --> 00:03:35,785
这就是所有已知条件

68
00:03:35,785 --> 00:03:39,081
现在我们再来考虑

69
00:03:39,081 --> 00:03:42,189
有一个解是 y 等于 mx 加 b 这个问题。

70
00:03:42,189 --> 00:03:44,513
我们从 y 等于 mx 加 b 开始，

71
00:03:44,513 --> 00:03:48,924
如果 y 等于 mx 加 b，
y 等于 mx 加 b

72
00:03:48,924 --> 00:03:50,547
这是一个直线方程

73
00:03:50,547 --> 00:03:54,996
那么 dy/dx 就等于

74
00:03:54,996 --> 00:03:57,362
这部分对 x 的导数是 m，

75
00:03:57,362 --> 00:04:00,007
这部分对 x 的导数，

76
00:04:00,007 --> 00:04:01,576
它是常数，不变的，

77
00:04:01,576 --> 00:04:02,842
所以是 0

78
00:04:02,842 --> 00:04:03,654
这说的通，

79
00:04:03,654 --> 00:04:06,864
y 相对于 x 的变化率就是

80
00:04:06,864 --> 00:04:09,460
这条直线的斜率

81
00:04:09,460 --> 00:04:12,163
那么，我们要——
这些是所有已知条件了，

82
00:04:12,163 --> 00:04:14,233
我们可以多走一步

83
00:04:14,233 --> 00:04:16,074
我们可以计算二阶导数

84
00:04:16,074 --> 00:04:19,177
y 对 x 的二阶导数，

85
00:04:19,177 --> 00:04:21,009
这就等于 0

86
00:04:21,009 --> 00:04:23,549
对一个线性函数求二阶导数，

87
00:04:23,549 --> 00:04:25,582
它就是等于 0，就是这里

88
00:04:25,582 --> 00:04:28,592
这是我们的所有已知信息

89
00:04:28,592 --> 00:04:31,350
这些来自于其他小题的结论，

90
00:04:31,350 --> 00:04:33,890
然后我们求了 y 等于 mx 加 b 的

91
00:04:33,890 --> 00:04:37,317
一阶和二阶导数

92
00:04:37,317 --> 00:04:41,230
从所有这些信息中，我们能否

93
00:04:41,230 --> 00:04:45,391
我们能否计算出 m 和 b 的值？

94
00:04:45,391 --> 00:04:50,204
好的，我们可以这样，

95
00:04:50,204 --> 00:04:55,204
如果我们说，m 等于 2x 减 y，
这不对

96
00:04:55,546 --> 00:04:57,950
这道题还挺难的

97
00:04:57,950 --> 00:05:00,806
好的，我们看

98
00:05:00,806 --> 00:05:03,453
我们已知二阶导数等于 0

99
00:05:03,453 --> 00:05:05,542
我们知道这是等于 0 的，

100
00:05:05,542 --> 00:05:08,317
对于这个特解来说

101
00:05:08,317 --> 00:05:12,149
而且我们知道 dy/dx 就等于 m

102
00:05:12,149 --> 00:05:13,717
我们知道它是 m

103
00:05:13,717 --> 00:05:15,220
这就出来了

104
00:05:15,220 --> 00:05:16,032
这些信息足够解出 m

105
00:05:16,032 --> 00:05:19,011
我们知道 0 等于 2 减 m

106
00:05:19,011 --> 00:05:22,299
0 等于 2 减 m

107
00:05:22,299 --> 00:05:25,120
两边同时加上 m

108
00:05:25,120 --> 00:05:30,120
就得到 m 等于 2

109
00:05:30,832 --> 00:05:34,942
这个结论非常有用

110
00:05:34,942 --> 00:05:38,158
然后我们就能说，
我们看

111
00:05:38,158 --> 00:05:40,933
能继续往下解吗

112
00:05:40,933 --> 00:05:43,497
我们知道，在这里，dy/dx

113
00:05:43,497 --> 00:05:46,285
就是 m，它就是 m

114
00:05:46,285 --> 00:05:48,688
而且它等于 2

115
00:05:48,688 --> 00:05:52,531
所以我们说，2 等于 2x 减 y

116
00:05:52,531 --> 00:05:56,455
2 等于 2x 减 y

117
00:05:56,455 --> 00:05:58,320
然后我们看，如果要表示出 y

118
00:05:58,320 --> 00:06:01,342
两边同时加 y，同时减 2

119
00:06:01,342 --> 00:06:05,152
得到 y 等于 2x 减 2

120
00:06:05,152 --> 00:06:07,328
这就是我们要的答案啊

121
00:06:07,328 --> 00:06:09,973
这就是要计算的 m，就是这个

122
00:06:09,973 --> 00:06:10,952
这是 m

123
00:06:10,952 --> 00:06:14,572
然后这就是我们的 b

124
00:06:14,572 --> 00:06:16,819
这道题真挺难

125
00:06:16,819 --> 00:06:19,717
如果你也碰到了这种，你知道

126
00:06:19,717 --> 00:06:21,761
这种有难度的题，一开始没思路

127
00:06:21,761 --> 00:06:24,005
就像这道题，我一开始看到

128
00:06:24,005 --> 00:06:26,007
思路也不清晰，我就说，好吧

129
00:06:26,007 --> 00:06:28,260
我就先把所有已知条件都写下来

130
00:06:28,260 --> 00:06:29,650
所以我们先写了这些

131
00:06:29,650 --> 00:06:32,339
然后我说，ok，这是一个特解

132
00:06:32,339 --> 00:06:35,701
那么我看看能不能解出什么，

133
00:06:35,701 --> 00:06:37,057
我看看哪些条件没用到

134
00:06:37,057 --> 00:06:39,867
这个我没用到，

135
00:06:39,867 --> 00:06:42,119
这个用到了，

136
00:06:42,119 --> 00:06:44,569
这个肯定用到了

137
00:06:44,569 --> 00:06:47,669
这个用到了，这个还有这个，都用到了

138
00:06:47,669 --> 00:06:49,666
这就像是个有趣的猜谜游戏

139
00:06:49,666 --> 00:06:52,162
我把所有题目里给的信息都写下来

140
00:06:52,162 --> 00:06:54,484
然后试着推理出，根据这些，

141
00:06:54,484 --> 00:06:59,255
推理出 m 和 b 的值

142
00:06:59,255 --> 00:07:01,143
答案很整洁

143
00:07:01,143 --> 00:07:02,725
解是 2x 减 2

144
00:07:02,725 --> 00:07:05,632
我们回到最开始的斜率场，

145
00:07:05,632 --> 00:07:07,027
可能并不直观，

146
00:07:07,027 --> 00:07:09,263
但如果你这样考虑

147
00:07:09,263 --> 00:07:11,300
2x 减 2，y 轴交点在 -2

148
00:07:11,300 --> 00:07:14,356
我换一个颜色

149
00:07:14,356 --> 00:07:17,717
那么这条线看起来应该是

150
00:07:17,717 --> 00:07:20,405
看起来应该是这样

151
00:07:20,405 --> 00:07:22,727
这条线应该是这样

152
00:07:22,727 --> 00:07:25,548
你可以验证，这上面任何一点

153
00:07:25,548 --> 00:07:28,202
在这上面任何一点的斜率

154
00:07:28,202 --> 00:07:33,202
斜率等于，斜率等于 2

155
00:07:33,267 --> 00:07:36,666
比如在点 (2, 2)

156
00:07:36,666 --> 00:07:39,174
它是 2 乘以 2 减 2 等于 2

157
00:07:39,174 --> 00:07:42,680
点 (1, 0)，2 乘以 1 减 0 等于 2

158
00:07:42,680 --> 00:07:46,268
点 -2, 抱歉，应该是 (0, -2)

159
00:07:46,268 --> 00:07:49,240
0 减 -2 也等于 2

160
00:07:49,240 --> 00:07:51,202
这个解非常简洁

161
00:07:51,202 --> 00:07:53,570
周围的斜率很复杂，

162
00:07:53,570 --> 00:07:55,356
但这条简单的直线

163
00:07:55,356 --> 00:07:57,402
却是原微分方程的一个解，

164
00:07:57,402 --> 00:07:59,730
这很酷啊