Подточка с: Нека у = f(х) е дадено решение
на диференциалното уравнение
с предварително условие f(2) = 3.
Дали f има локален минимум, локален максимум
или нито едно от двете за х = 2?
Обоснови отговора си.
За да видим дали има локален минимум или максимум,
трябва да видим каква е производната в тази точка.
Ако е нула, тогава това означава, че е много вероятно
да има локален минимум или локален максимум,
ако не е нула, тогава не е нито едно от двете.
Ако е нула, за да определим дали е локален минимум или максимум
можем да оценим знака на втората производна.
Да разгледаме това.
Ако искаме да намерим f',
искаме да видим на колко е равно f'(2).
Знаем, че f'(х), което е равно на dу/dx,
е равно на 2х – у.
Видяхме го в предишната подточка.
Значи f'(2), ще го напиша по следния начин,
f'(2) е равно на 2 по 2,
минус стойността на у за х = 2.
Знаем ли колко е у, когато х е равно на 2?
Казано ни е ето тук.
у = f(х), когато х е равно на 2,
у е равно на 3.
Значи 2 по 2 минус 3.
Това е равно на 4 – 3, което е равно на 1.
И понеже производната в 2 не е нула,
това няма да е локален минимум или
локален максимум, можем да кажем, че
понеже f'(2) не е равно на нула,
тогава... f има... ще го напиша по този начин:
f няма нито локален минимум,
нито локален максимум
за х = 2.
Добре, да видим следващата подточка.
"Намери стойностите на константите m и b,
за които у = mx + b е решение на диференциалното уравнение."
Това е интересно.
Хайде първо да запишем всичко, което знаем,
преди да започнем да разсъждаваме дали y = mx + b
може да е решение на диференциалното уравнение.
Знаем, че dy/dx е равно на 2х – у,
това ни е дадено.
Знаем също, че втората производна на у спрямо х
е равна на 2 – dy/dx. Установихме това в подточка b на задачата.
Можем също така да изразим това,
видяхме, че можем да го представим като
2 – 2х + у, просто ако заместим това ето тук.
Значи това е 2 – 2х + у.
Ще го запиша по следния начин:
това е равно на 2 – 2х + у.
Това е всичко, което знаем,
преди дори да започнем да разсъждаваме дали може да има
решение на уравнението от вида у = mx + b.
Сега да разгледаме у = mx + b.
Ако у = mx + b,
това е уравнение на права,
тогава dy/dx трябва да е равно на:
производната на това спрямо х е просто m,
производната на това спрямо х – това е константа,
така че тя не се променя спрямо х и е просто нула.
Това е логично, скоростта на изменение спрямо х е наклонът,
е наклонът на правата.
Можем да използваме, и това е всичко, което знаем,
всъщност можем даже да отидем още по-далеч,
можем да намерим втората производна на у спрямо х.
Тя ще бъде нула.
Втората производна на линейна функция,
това е нула, виждаме го ето тук.
Това е цялата информация, която имаме.
Това получихме в предишната подточка на задачата,
и тук просто намерихме първата и втората производна
на у = mx + b.
Като знаем това, можем ли да намерим колко са m и b?
Можем да кажем, че m е равно на
2х – у, което изглежда правилно.
Тук обаче има особеност.
Знаем, че втората производна е равна на нула.
Знаем, че това ще е равно на нула
за това конкретно решение.
Знаем също, че dy/dx е равно на m.
Това е m.
Значи имаме достатъчно информация, за да намерим m.
Знаем, че 0 е равно на 2 – m.
Можем да добавим m към двете страни и получаваме,
че m е равно на 2.
Това е много полезно.
Сега можем да кажем, че... да видим,
можем ли да го решим по-нататък?
Знаем, че това тук, dy/dx,
това е m.
И е равно на 2.
Можем да кажем, че 2 е равно на 2х – у.
И сега, да видим, ако искаме да намерим у,
добавяме у към двете страни, изваждаме 2 от двете страни,
получаваме у = 2х – 2.
И това е цялото ни решение.
Тук получихме m, ето тук.
Това е m.
После намерихме b.
Това беше по-сложното.
Всеки път, когато трябва, разбираш,
трябва да направиш нещо такова и то просто не ти хрумва,
не е очевидно, не ти хрумва от пръв поглед, както не ми хрумна на мен,
когато погледнах задачата, тогава аз казвам, нека да напиша всичко,
което ни е дадено, което вече знаем,
и после виждаме, че това ще бъде решение.
Да видим мога ли някак да го реша, какво не съм използвал.
Не съм използвал това, не съм използвал това.
Използвах това.
Определено използвах това.
Използвах това, използвах това, използвах това.
Това е един забавен малък пъзел,
в който записвам цялата информация, която ни е дадена,
и се опитвам въз основа на това да определя
дали мога да намеря m и b.
И това е много елегантно, че отговорът е 2х – 2.
Ако се бях върнал към полето на наклоните, това
нямаше да ми хрумне.
Но ако помислиш за това, че
2х – 2, тук пресечната точка с оста у
е –2... ще използвам различен цвят,
тогава правата ще изглежда приблизително така.
Правата ще изглежда приблизително така.
И можеш да провериш, че във всяка една от тези точки
наклонът е равен на 2.
Ако сме в точката (2; 2),
това е равно на 2 по 2 минус 2, което е равно на 2.
За (1; 0): 2 по 1 минус 0 е равно на 2.
–2... извинявам се, (0; –2),
0 минус –2 е равно на 2.
Това е много елегантно, наклонът
се променя навсякъде, но това е линейно решение
на първоначалното диференциално уравнение, което е страхотно.