0:00:00.239,0:00:04.424
Подточка с:[br]Нека у = f(х) е дадено решение

0:00:04.424,0:00:07.040
на диференциалното уравнение

0:00:07.040,0:00:11.486
с предварително условие f(2) = 3.

0:00:11.486,0:00:15.714
Дали f има локален минимум,[br]локален максимум

0:00:15.714,0:00:18.767
или нито едно от двете за х = 2?

0:00:18.767,0:00:20.889
Обоснови отговора си.

0:00:20.889,0:00:24.020
За да видим дали има [br]локален минимум или максимум,

0:00:24.260,0:00:26.700
трябва да видим каква[br]е производната в тази точка.

0:00:26.700,0:00:29.100
Ако е нула, тогава това[br]означава, че е много вероятно

0:00:29.220,0:00:32.420
да има локален минимум[br]или локален максимум,

0:00:32.540,0:00:34.740
ако не е нула, тогава [br]не е нито едно от двете.

0:00:34.760,0:00:37.560
Ако е нула, за да определим дали е [br]локален минимум или максимум

0:00:37.700,0:00:40.840
можем да оценим знака[br]на втората производна.

0:00:40.845,0:00:42.360
Да разгледаме това.

0:00:42.360,0:00:45.675
Ако искаме да намерим f',

0:00:45.680,0:00:52.920
искаме да видим на колко[br]е равно f'(2).

0:00:53.140,0:01:01.360
Знаем, че f'(х), което е[br]равно на dу/dx,

0:01:01.580,0:01:05.000
е равно на 2х – у.

0:01:05.001,0:01:06.982
Видяхме го в предишната[br]подточка.

0:01:06.982,0:01:10.028
Значи f'(2), ще го напиша[br]по следния начин,

0:01:10.028,0:01:18.100
f'(2) е равно на 2 по 2,

0:01:18.100,0:01:21.460
минус стойността на у[br]за х = 2.

0:01:21.760,0:01:24.660
Знаем ли колко е у, когато х [br]е равно на 2?

0:01:24.668,0:01:26.873
Казано ни е ето тук.

0:01:26.880,0:01:32.540
у = f(х), когато х[br]е равно на 2,

0:01:32.660,0:01:35.197
у е равно на 3.

0:01:35.197,0:01:37.937
Значи 2 по 2 минус 3.

0:01:37.940,0:01:42.060
Това е равно на 4 – 3,[br]което е равно на 1.

0:01:42.120,0:01:47.120
И понеже производната в[br]2 не е нула,

0:01:47.190,0:01:50.081
това няма да е локален [br]минимум или

0:01:50.081,0:01:53.112
локален максимум,[br]можем да кажем, че

0:01:53.120,0:02:02.360
понеже f'(2) не е равно на нула,

0:02:02.520,0:02:07.411
тогава... f има...[br]ще го напиша по този начин:

0:02:07.420,0:02:17.860
f няма нито локален минимум,

0:02:17.860,0:02:22.840
нито локален максимум

0:02:23.040,0:02:26.320
за х = 2.

0:02:26.324,0:02:29.064
Добре, да видим[br]следващата подточка.

0:02:29.064,0:02:32.942
"Намери стойностите на[br]константите m и b,

0:02:32.942,0:02:39.520
за които у = mx + b е решение[br]на диференциалното уравнение."

0:02:39.580,0:02:41.900
Това е интересно.

0:02:41.900,0:02:45.280
Хайде първо да запишем[br]всичко, което знаем,

0:02:45.280,0:02:47.257
преди да започнем да разсъждаваме [br]дали y = mx + b

0:02:47.257,0:02:49.903
може да е решение на[br]диференциалното уравнение.

0:02:49.903,0:02:58.560
Знаем, че dy/dx е равно[br]на 2х – у,

0:02:58.940,0:03:00.273
това ни е дадено.

0:03:00.280,0:03:06.080
Знаем също, че втората [br]производна на у спрямо х

0:03:06.240,0:03:14.220
е равна на 2 – dy/dx. Установихме[br]това в подточка b на задачата.

0:03:14.340,0:03:17.269
Можем също така да изразим това,

0:03:17.269,0:03:18.911
видяхме, че можем[br]да го представим като

0:03:18.920,0:03:24.940
2 – 2х + у, просто ако[br]заместим това ето тук.

0:03:25.380,0:03:27.826
Значи това е 2 – 2х + у.

0:03:27.826,0:03:29.282
Ще го запиша по следния начин:

0:03:29.282,0:03:33.603
това е равно на 2 – 2х + у.

0:03:33.603,0:03:35.785
Това е всичко, което знаем,

0:03:35.785,0:03:39.081
преди дори да започнем[br]да разсъждаваме дали може да има

0:03:39.081,0:03:42.189
решение на уравнението[br]от вида у = mx + b.

0:03:42.189,0:03:44.513
Сега да разгледаме у = mx + b.

0:03:44.513,0:03:48.924
Ако у = mx + b,

0:03:48.924,0:03:50.547
това е уравнение на права,

0:03:50.547,0:03:54.996
тогава dy/dx трябва да е равно на:

0:03:54.996,0:03:57.362
производната на това[br]спрямо х е просто m,

0:03:57.362,0:04:00.007
производната на това спрямо х –[br]това е константа,

0:04:00.007,0:04:02.680
така че тя не се променя [br]спрямо х и е просто нула.

0:04:02.840,0:04:06.720
Това е логично, скоростта на[br]изменение спрямо х е наклонът,

0:04:06.860,0:04:09.460
е наклонът на правата.

0:04:09.460,0:04:12.163
Можем да използваме, и това е[br]всичко, което знаем,

0:04:12.163,0:04:14.233
всъщност можем даже[br]да отидем още по-далеч,

0:04:14.240,0:04:19.020
можем да намерим втората[br]производна на у спрямо х.

0:04:19.180,0:04:21.009
Тя ще бъде нула.

0:04:21.009,0:04:23.549
Втората производна на [br]линейна функция,

0:04:23.549,0:04:25.582
това е нула, виждаме го[br]ето тук.

0:04:25.582,0:04:28.592
Това е цялата информация,[br]която имаме.

0:04:28.592,0:04:31.350
Това получихме в предишната[br]подточка на задачата,

0:04:31.350,0:04:33.890
и тук просто намерихме първата[br]и втората производна

0:04:33.890,0:04:37.317
на у = mx + b.

0:04:37.320,0:04:45.260
Като знаем това, можем ли[br]да намерим колко са m и b?

0:04:45.400,0:04:50.204
Можем да кажем, че[br]m е равно на

0:04:50.204,0:04:55.204
2х – у, което изглежда правилно.

0:04:55.546,0:04:57.950
Тук обаче има особеност.

0:04:57.950,0:05:03.300
Знаем, че втората производна[br]е равна на нула.

0:05:03.460,0:05:05.540
Знаем, че това ще е[br]равно на нула

0:05:05.542,0:05:08.317
за това конкретно решение.

0:05:08.317,0:05:12.149
Знаем също, че dy/dx е равно на m.

0:05:12.149,0:05:13.717
Това е m.

0:05:13.720,0:05:15.980
Значи имаме достатъчно [br]информация, за да намерим m.

0:05:16.040,0:05:22.060
Знаем, че 0 е равно на 2 – m.

0:05:22.300,0:05:25.120
Можем да добавим m към[br]двете страни и получаваме,

0:05:25.120,0:05:30.120
че m е равно на 2.

0:05:30.832,0:05:34.942
Това е много полезно.

0:05:34.942,0:05:38.158
Сега можем да кажем, че...[br]да видим,

0:05:38.158,0:05:40.933
можем ли да го решим по-нататък?

0:05:40.933,0:05:43.497
Знаем, че това тук, dy/dx,

0:05:43.497,0:05:46.285
това е m.

0:05:46.285,0:05:48.688
И е равно на 2.

0:05:48.688,0:05:56.340
Можем да кажем, че[br]2 е равно на 2х – у.

0:05:56.460,0:05:58.320
И сега, да видим, [br]ако искаме да намерим у,

0:05:58.320,0:06:01.342
добавяме у към двете страни,[br]изваждаме 2 от двете страни,

0:06:01.342,0:06:05.152
получаваме у = 2х – 2.

0:06:05.152,0:06:07.328
И това е цялото ни решение.

0:06:07.328,0:06:09.973
Тук получихме m, ето тук.

0:06:09.973,0:06:10.952
Това е m.

0:06:10.952,0:06:14.572
После намерихме b.

0:06:14.572,0:06:16.819
Това беше по-сложното.

0:06:16.819,0:06:19.717
Всеки път, когато трябва,[br]разбираш,

0:06:19.717,0:06:21.761
трябва да направиш нещо такова[br]и то просто не ти хрумва,

0:06:21.761,0:06:24.005
не е очевидно, не ти хрумва[br]от пръв поглед, както не ми хрумна на мен,

0:06:24.005,0:06:27.760
когато погледнах задачата, тогава[br]аз казвам, нека да напиша всичко,

0:06:27.760,0:06:29.540
което ни е дадено, което[br]вече знаем,

0:06:29.640,0:06:32.320
и после виждаме, че това[br]ще бъде решение.

0:06:32.340,0:06:36.940
Да видим мога ли някак[br]да го реша, какво не съм използвал.

0:06:37.060,0:06:39.867
Не съм използвал това,[br]не съм използвал това.

0:06:39.867,0:06:42.119
Използвах това.

0:06:42.119,0:06:44.569
Определено използвах това.

0:06:44.569,0:06:47.669
Използвах това, използвах това,[br]използвах това.

0:06:47.669,0:06:49.666
Това е един забавен[br]малък пъзел,

0:06:49.666,0:06:52.162
в който записвам цялата информация, [br]която ни е дадена,

0:06:52.162,0:06:54.484
и се опитвам въз основа на това[br]да определя

0:06:54.484,0:06:59.255
дали мога да намеря m и b.

0:06:59.260,0:07:02.640
И това е много елегантно, че[br]отговорът е 2х – 2.

0:07:02.720,0:07:05.620
Ако се бях върнал към полето[br]на наклоните, това

0:07:05.632,0:07:07.027
нямаше да ми хрумне.

0:07:07.027,0:07:09.263
Но ако помислиш за това, че

0:07:09.263,0:07:11.300
2х – 2, тук пресечната[br]точка с оста у

0:07:11.300,0:07:14.356
е –2... ще използвам[br]различен цвят,

0:07:14.360,0:07:19.660
тогава правата ще изглежда[br]приблизително така.

0:07:20.400,0:07:22.720
Правата ще изглежда[br]приблизително така.

0:07:22.720,0:07:27.120
И можеш да провериш, че[br]във всяка една от тези точки

0:07:27.240,0:07:33.200
наклонът е равен на 2.

0:07:33.267,0:07:36.666
Ако сме в точката (2; 2),

0:07:36.666,0:07:39.174
това е равно на 2 по 2 минус 2,[br]което е равно на 2.

0:07:39.174,0:07:42.680
За (1; 0): 2 по 1 минус 0 [br]е равно на 2.

0:07:42.680,0:07:46.268
–2... извинявам се, (0; –2),

0:07:46.268,0:07:49.240
0 минус –2 е равно на 2.

0:07:49.240,0:07:51.202
Това е много елегантно,[br]наклонът

0:07:51.202,0:07:55.200
се променя навсякъде, но това[br]е линейно решение

0:07:55.360,0:07:59.580
на първоначалното диференциално[br]уравнение, което е страхотно.