WEBVTT

00:00:00.239 --> 00:00:04.424
Подточка с:
Нека у = f(х) е дадено решение

00:00:04.424 --> 00:00:07.040
на диференциалното уравнение

00:00:07.040 --> 00:00:11.486
с предварително условие f(2) = 3.

00:00:11.486 --> 00:00:15.714
Дали f има относителен минимум,
относителен максимум

00:00:15.714 --> 00:00:18.767
или нито едно от двете за х = 2?

00:00:18.767 --> 00:00:20.889
Обоснови отговора си.

00:00:20.889 --> 00:00:24.020
За да видим дали има 
относителен минимум или максимум,

00:00:24.260 --> 00:00:26.700
трябва да видим каква
е производната в тази точка.

00:00:26.700 --> 00:00:29.100
Ако е нула, тогава това
означава, че е много вероятно

00:00:29.220 --> 00:00:32.420
да има относителен минимум
или относителен максимум,

00:00:32.540 --> 00:00:34.740
ако не е нула, тогава 
не е нито едно от двете.

00:00:34.760 --> 00:00:37.560
Ако е нула, за да определим дали е 
относителен минимум или максимум

00:00:37.700 --> 00:00:40.840
можем да оценим знака
на втората производна.

00:00:40.845 --> 00:00:42.360
Да разгледаме това.

00:00:42.360 --> 00:00:45.675
Ако искаме да намерим f',

00:00:45.680 --> 00:00:52.920
искаме да видим на колко
е равно f'(2).

00:00:53.140 --> 00:01:01.360
Знаем, че f'(х), което е
равно на dу/dx,

00:01:01.580 --> 00:01:05.000
е равно на 2х – у.

00:01:05.001 --> 00:01:06.982
Видяхме го в предишната
подточка.

00:01:06.982 --> 00:01:10.028
Значи f'(2), ще го напиша
по следния начин,

00:01:10.028 --> 00:01:18.100
f'(2) е равно на 2 по 2,

00:01:18.100 --> 00:01:21.460
минус стойността на у
за х = 2.

00:01:21.760 --> 00:01:24.660
Знаем ли колко е у, когато х 
е равно на 2?

00:01:24.668 --> 00:01:26.873
Казано ни е ето тук.

00:01:26.880 --> 00:01:32.540
у = f(х), когато х
е равно на 2,

00:01:32.660 --> 00:01:35.197
у е равно на 3.

00:01:35.197 --> 00:01:37.937
Значи 2 по 2 минус 3.

00:01:37.940 --> 00:01:42.060
Това е равно на 4 – 3,
което е равно на 1.

00:01:42.120 --> 00:01:47.120
И понеже производната в
2 не е нула,

00:01:47.190 --> 00:01:50.081
това няма да е относителен
минимум или

00:01:50.081 --> 00:01:53.112
относителен максимум,
можем да кажем, че

00:01:53.120 --> 00:02:02.360
понеже f'(2) не е равно на нула,

00:02:02.520 --> 00:02:07.411
тогава... f има...
ще го напиша по този начин:

00:02:07.420 --> 00:02:17.860
f няма нито относителен минимум,

00:02:17.860 --> 00:02:22.840
нито относителен максимум

00:02:23.040 --> 00:02:26.320
за х = 2.

00:02:26.324 --> 00:02:29.064
Добре, да видим
следващата подточка.

00:02:29.064 --> 00:02:32.942
"Намери стойностите на
константите m и b,

00:02:32.942 --> 00:02:39.520
за които у = mx + b е решение
на диференциалното уравнение."

00:02:39.580 --> 00:02:41.900
Това е интересно.

00:02:41.900 --> 00:02:45.280
Хайде първо да запишем
всичко, което знаем,

00:02:45.280 --> 00:02:47.257
преди да започнем да разсъждаваме 
дали y = mx + b

00:02:47.257 --> 00:02:49.903
може да е решение на
диференциалното уравнение.

00:02:49.903 --> 00:02:58.560
Знаем, че dy/dx е равно
на 2х – у,

00:02:58.940 --> 00:03:00.273
това ни е дадено.

00:03:00.280 --> 00:03:06.080
Знаем също, че втората 
производна на у спрямо х

00:03:06.240 --> 00:03:14.220
е равна на 2 – dy/dx. Установихме
това в подточка b на задачата.

00:03:14.340 --> 00:03:17.269
Можем също така да изразим това,

00:03:17.269 --> 00:03:18.911
видяхме, че можем
да го представим като

00:03:18.920 --> 00:03:24.940
2 – 2х + у, просто ако
заместим това ето тук.

00:03:25.380 --> 00:03:27.826
Значи това е 2 – 2х + у.

00:03:27.826 --> 00:03:29.282
Ще го запиша по следния начин:

00:03:29.282 --> 00:03:33.603
това е равно на 2 – 2х + у.

00:03:33.603 --> 00:03:35.785
Това е всичко, което знаем,

00:03:35.785 --> 00:03:39.081
преди дори да започнем
да разсъждаваме дали има

00:03:39.081 --> 00:03:42.189
решение на у = mx + b.

00:03:42.189 --> 00:03:44.513
Сега да разгледаме у = mx + b.

00:03:44.513 --> 00:03:48.924
Ако у = mx + b,

00:03:48.924 --> 00:03:50.547
това е уравнение на права,

00:03:50.547 --> 00:03:54.996
тогава dy/dx трябва да е равно на:

00:03:54.996 --> 00:03:57.362
производната на това
спрямо х е просто m,

00:03:57.362 --> 00:04:00.007
производната на това спрямо х –
това е константа,

00:04:00.007 --> 00:04:02.680
така че тя не се променя 
спрямо х и е просто нула.

00:04:02.840 --> 00:04:06.720
Това е логично, скоростта на
изменение спрямо х е наклонът,

00:04:06.860 --> 00:04:09.460
е наклонът на правата.

00:04:09.460 --> 00:04:12.163
Можем да използваме, и това е
всичко, което знаем,

00:04:12.163 --> 00:04:14.233
всъщност можем даже
да отидем още по-далеч,

00:04:14.240 --> 00:04:19.020
можем да намерим втората
производна на у спрямо х.

00:04:19.180 --> 00:04:21.009
Тя ще бъде нула.

00:04:21.009 --> 00:04:23.549
Втората производна на 
линейна функция,

00:04:23.549 --> 00:04:25.582
това е нула, виждаме го
ето тук.

00:04:25.582 --> 00:04:28.592
Това е цялата информация,
която имаме.

00:04:28.592 --> 00:04:31.350
Това получихме в предишната
подточка на задачата,

00:04:31.350 --> 00:04:33.890
и тук просто намерихме първата
и втората производна

00:04:33.890 --> 00:04:37.317
на у = mx + b.

00:04:37.320 --> 00:04:45.260
Като знаем това, можем ли
да намерим колко са m и b?

00:04:45.400 --> 00:04:50.204
Можем да кажем, че
m е равно на

00:04:50.204 --> 00:04:55.204
2х – у, което изглежда правилно.

00:04:55.546 --> 00:04:57.950
Тук обаче има особеност.

00:04:57.950 --> 00:05:03.300
Знаем, че втората производна
е равна на нула.

00:05:03.460 --> 00:05:05.540
Знаем, че това ще е
равно на нула

00:05:05.542 --> 00:05:08.317
за това конкретно решение.

00:05:08.317 --> 00:05:12.149
Знаем също, че dy/dx е равно на m.

00:05:12.149 --> 00:05:13.717
Това е m.

00:05:13.720 --> 00:05:15.980
Значи имаме достатъчно 
информация, за да намерим m.

00:05:16.040 --> 00:05:22.060
Знаем, че 0 е равно на 2 – m.

00:05:22.300 --> 00:05:25.120
Можем да добавим m към
двете страни и получаваме,

00:05:25.120 --> 00:05:30.120
че m е равно на 2.

00:05:30.832 --> 00:05:34.942
Това е много полезно.

00:05:34.942 --> 00:05:38.158
Сега можем да кажем, че...
да видим,

00:05:38.158 --> 00:05:40.933
можем ли да го решим по-нататък?

00:05:40.933 --> 00:05:43.497
Знаем, че това тук, dy/dx,

00:05:43.497 --> 00:05:46.285
това е m.

00:05:46.285 --> 00:05:48.688
И е равно на 2.

00:05:48.688 --> 00:05:56.340
Можем да кажем, че
2 е равно на 2х – у.

00:05:56.460 --> 00:05:58.320
И сега, да видим, 
ако искаме да намерим у,

00:05:58.320 --> 00:06:01.342
добавяме у към двете страни,
изваждаме 2 от двете страни,

00:06:01.342 --> 00:06:05.152
получаваме у = 2х – 2.

00:06:05.152 --> 00:06:07.328
И това е цялото ни решение.

00:06:07.328 --> 00:06:09.973
Тук получихме m, ето тук.

00:06:09.973 --> 00:06:10.952
Това е m.

00:06:10.952 --> 00:06:14.572
После намерихме b.

00:06:14.572 --> 00:06:16.819
Това беше по-сложното.

00:06:16.819 --> 00:06:19.717
Всеки път, когато трябва,
разбираш,

00:06:19.717 --> 00:06:21.761
трябва да направиш нещо такова
и то просто не ти хрумва,

00:06:21.761 --> 00:06:24.005
не е очевидно, не ти хрумва
от пръв поглед, както не ми хрумна на мен,

00:06:24.005 --> 00:06:27.760
когато погледнах задачата, тогава
аз казвам, нека да напиша всичко,

00:06:27.760 --> 00:06:29.540
което ни е дадено, което
вече знаем,

00:06:29.640 --> 00:06:32.320
и после виждаме, че това
ще бъде решение.

00:06:32.340 --> 00:06:36.940
Да видим мога ли някак
да го реша, какво не съм използвал.

00:06:37.060 --> 00:06:39.867
Не съм използвал това,
не съм използвал това.

00:06:39.867 --> 00:06:42.119
Използвах това.

00:06:42.119 --> 00:06:44.569
Определено използвах това.

00:06:44.569 --> 00:06:47.669
Използвах това, използвах това,
използвах това.

00:06:47.669 --> 00:06:49.666
Това е един забавен
малък пъзел,

00:06:49.666 --> 00:06:52.162
в който записвам цялата информация, 
която ни е дадена,

00:06:52.162 --> 00:06:54.484
и се опитвам въз основа на това
да определя

00:06:54.484 --> 00:06:59.255
дали мога да намеря m и b.

00:06:59.260 --> 00:07:02.640
И това е много елегантно, че
отговорът е 2х – 2.

00:07:02.720 --> 00:07:05.620
Ако се бях върнал към полето
на наклоните, това

00:07:05.632 --> 00:07:07.027
нямаше да ми хрумне.

00:07:07.027 --> 00:07:09.263
Но ако помислиш за това, че

00:07:09.263 --> 00:07:11.300
2х – 2, тук пресечната
точка с оста у

00:07:11.300 --> 00:07:14.356
е –2... ще използвам
различен цвят,

00:07:14.360 --> 00:07:19.660
тогава правата ще изглежда
приблизително така.

00:07:20.400 --> 00:07:22.720
Правата ще изглежда
приблизително така.

00:07:22.720 --> 00:07:27.120
И можеш да провериш, че
във всяка една от тези точки

00:07:27.240 --> 00:07:33.200
наклонът е равен на 2.

00:07:33.267 --> 00:07:36.666
Ако сме в точката (2; 2),

00:07:36.666 --> 00:07:39.174
това е равно на 2 по 2 минус 2,
което е равно на 2.

00:07:39.174 --> 00:07:42.680
За (1; 0): 2 по 1 минус 0 
е равно на 2.

00:07:42.680 --> 00:07:46.268
–2... извинявам се, (0; –2),

00:07:46.268 --> 00:07:49.240
0 минус –2 е равно на 2.

00:07:49.240 --> 00:07:51.202
Това е много елегантно,
наклонът

00:07:51.202 --> 00:07:55.200
се променя навсякъде, но това
е линейно решение

00:07:55.360 --> 00:07:59.580
на първоначалното диференциално
уравнение, което е страхотно.