1
00:00:00,239 --> 00:00:04,424
Подточка с:
Нека у = f(х) е дадено решение

2
00:00:04,424 --> 00:00:07,040
на диференциалното уравнение

3
00:00:07,040 --> 00:00:11,486
с предварително условие f(2) = 3.

4
00:00:11,486 --> 00:00:15,714
Дали f има относителен минимум,
относителен максимум

5
00:00:15,714 --> 00:00:18,767
или нито едно от двете за х = 2?

6
00:00:18,767 --> 00:00:20,889
Обоснови отговора си.

7
00:00:20,889 --> 00:00:24,020
За да видим дали има 
относителен минимум или максимум,

8
00:00:24,260 --> 00:00:26,700
трябва да видим каква
е производната в тази точка.

9
00:00:26,700 --> 00:00:29,100
Ако е нула, тогава това
означава, че е много вероятно

10
00:00:29,220 --> 00:00:32,420
да има относителен минимум
или относителен максимум,

11
00:00:32,540 --> 00:00:34,740
ако не е нула, тогава 
не е нито едно от двете.

12
00:00:34,760 --> 00:00:37,560
Ако е нула, за да определим дали е 
относителен минимум или максимум

13
00:00:37,700 --> 00:00:40,840
можем да оценим знака
на втората производна.

14
00:00:40,845 --> 00:00:42,360
Да разгледаме това.

15
00:00:42,360 --> 00:00:45,675
Ако искаме да намерим f',

16
00:00:45,680 --> 00:00:52,920
искаме да видим на колко
е равно f'(2).

17
00:00:53,140 --> 00:01:01,360
Знаем, че f'(х), което е
равно на dу/dx,

18
00:01:01,580 --> 00:01:05,000
е равно на 2х – у.

19
00:01:05,001 --> 00:01:06,982
Видяхме го в предишната
подточка.

20
00:01:06,982 --> 00:01:10,028
Значи f'(2), ще го напиша
по следния начин,

21
00:01:10,028 --> 00:01:18,100
f'(2) е равно на 2 по 2,

22
00:01:18,100 --> 00:01:21,460
минус стойността на у
за х = 2.

23
00:01:21,760 --> 00:01:24,660
Знаем ли колко е у, когато х 
е равно на 2?

24
00:01:24,668 --> 00:01:26,873
Казано ни е ето тук.

25
00:01:26,880 --> 00:01:32,540
у = f(х), когато х
е равно на 2,

26
00:01:32,660 --> 00:01:35,197
у е равно на 3.

27
00:01:35,197 --> 00:01:37,937
Значи 2 по 2 минус 3.

28
00:01:37,940 --> 00:01:42,060
Това е равно на 4 – 3,
което е равно на 1.

29
00:01:42,120 --> 00:01:47,120
И понеже производната в
2 не е нула,

30
00:01:47,190 --> 00:01:50,081
това няма да е относителен
минимум или

31
00:01:50,081 --> 00:01:53,112
относителен максимум,
можем да кажем, че

32
00:01:53,120 --> 00:02:02,360
понеже f'(2) не е равно на нула,

33
00:02:02,520 --> 00:02:07,411
тогава... f има...
ще го напиша по този начин:

34
00:02:07,420 --> 00:02:17,860
f няма нито относителен минимум,

35
00:02:17,860 --> 00:02:22,840
нито относителен максимум

36
00:02:23,040 --> 00:02:26,320
за х = 2.

37
00:02:26,324 --> 00:02:29,064
Добре, да видим
следващата подточка.

38
00:02:29,064 --> 00:02:32,942
"Намери стойностите на
константите m и b,

39
00:02:32,942 --> 00:02:39,520
за които у = mx + b е решение
на диференциалното уравнение."

40
00:02:39,580 --> 00:02:41,900
Това е интересно.

41
00:02:41,900 --> 00:02:45,280
Хайде първо да запишем
всичко, което знаем,

42
00:02:45,280 --> 00:02:47,257
преди да започнем да разсъждаваме 
дали y = mx + b

43
00:02:47,257 --> 00:02:49,903
може да е решение на
диференциалното уравнение.

44
00:02:49,903 --> 00:02:58,560
Знаем, че dy/dx е равно
на 2х – у,

45
00:02:58,940 --> 00:03:00,273
това ни е дадено.

46
00:03:00,280 --> 00:03:06,080
Знаем също, че втората 
производна на у спрямо х

47
00:03:06,240 --> 00:03:14,220
е равна на 2 – dy/dx. Установихме
това в подточка b на задачата.

48
00:03:14,340 --> 00:03:17,269
Можем също така да изразим това,

49
00:03:17,269 --> 00:03:18,911
видяхме, че можем
да го представим като

50
00:03:18,920 --> 00:03:24,940
2 – 2х + у, просто ако
заместим това ето тук.

51
00:03:25,380 --> 00:03:27,826
Значи това е 2 – 2х + у.

52
00:03:27,826 --> 00:03:29,282
Ще го запиша по следния начин:

53
00:03:29,282 --> 00:03:33,603
това е равно на 2 – 2х + у.

54
00:03:33,603 --> 00:03:35,785
Това е всичко, което знаем,

55
00:03:35,785 --> 00:03:39,081
преди дори да започнем
да разсъждаваме дали има

56
00:03:39,081 --> 00:03:42,189
решение на у = mx + b.

57
00:03:42,189 --> 00:03:44,513
Сега да разгледаме у = mx + b.

58
00:03:44,513 --> 00:03:48,924
Ако у = mx + b,

59
00:03:48,924 --> 00:03:50,547
това е уравнение на права,

60
00:03:50,547 --> 00:03:54,996
тогава dy/dx трябва да е равно на:

61
00:03:54,996 --> 00:03:57,362
производната на това
спрямо х е просто m,

62
00:03:57,362 --> 00:04:00,007
производната на това спрямо х –
това е константа,

63
00:04:00,007 --> 00:04:02,680
така че тя не се променя 
спрямо х и е просто нула.

64
00:04:02,840 --> 00:04:06,720
Това е логично, скоростта на
изменение спрямо х е наклонът,

65
00:04:06,860 --> 00:04:09,460
е наклонът на правата.

66
00:04:09,460 --> 00:04:12,163
Можем да използваме, и това е
всичко, което знаем,

67
00:04:12,163 --> 00:04:14,233
всъщност можем даже
да отидем още по-далеч,

68
00:04:14,240 --> 00:04:19,020
можем да намерим втората
производна на у спрямо х.

69
00:04:19,180 --> 00:04:21,009
Тя ще бъде нула.

70
00:04:21,009 --> 00:04:23,549
Втората производна на 
линейна функция,

71
00:04:23,549 --> 00:04:25,582
това е нула, виждаме го
ето тук.

72
00:04:25,582 --> 00:04:28,592
Това е цялата информация,
която имаме.

73
00:04:28,592 --> 00:04:31,350
Това получихме в предишната
подточка на задачата,

74
00:04:31,350 --> 00:04:33,890
и тук просто намерихме първата
и втората производна

75
00:04:33,890 --> 00:04:37,317
на у = mx + b.

76
00:04:37,320 --> 00:04:45,260
Като знаем това, можем ли
да намерим колко са m и b?

77
00:04:45,400 --> 00:04:50,204
Можем да кажем, че
m е равно на

78
00:04:50,204 --> 00:04:55,204
2х – у, което изглежда правилно.

79
00:04:55,546 --> 00:04:57,950
Тук обаче има особеност.

80
00:04:57,950 --> 00:05:03,300
Знаем, че втората производна
е равна на нула.

81
00:05:03,460 --> 00:05:05,540
Знаем, че това ще е
равно на нула

82
00:05:05,542 --> 00:05:08,317
за това конкретно решение.

83
00:05:08,317 --> 00:05:12,149
Знаем също, че dy/dx е равно на m.

84
00:05:12,149 --> 00:05:13,717
Това е m.

85
00:05:13,720 --> 00:05:15,980
Значи имаме достатъчно 
информация, за да намерим m.

86
00:05:16,040 --> 00:05:22,060
Знаем, че 0 е равно на 2 – m.

87
00:05:22,300 --> 00:05:25,120
Можем да добавим m към
двете страни и получаваме,

88
00:05:25,120 --> 00:05:30,120
че m е равно на 2.

89
00:05:30,832 --> 00:05:34,942
Това е много полезно.

90
00:05:34,942 --> 00:05:38,158
Сега можем да кажем, че...
да видим,

91
00:05:38,158 --> 00:05:40,933
можем ли да го решим по-нататък?

92
00:05:40,933 --> 00:05:43,497
Знаем, че това тук, dy/dx,

93
00:05:43,497 --> 00:05:46,285
това е m.

94
00:05:46,285 --> 00:05:48,688
И е равно на 2.

95
00:05:48,688 --> 00:05:56,340
Можем да кажем, че
2 е равно на 2х – у.

96
00:05:56,460 --> 00:05:58,320
И сега, да видим, 
ако искаме да намерим у,

97
00:05:58,320 --> 00:06:01,342
добавяме у към двете страни,
изваждаме 2 от двете страни,

98
00:06:01,342 --> 00:06:05,152
получаваме у = 2х – 2.

99
00:06:05,152 --> 00:06:07,328
И това е цялото ни решение.

100
00:06:07,328 --> 00:06:09,973
Тук получихме m, ето тук.

101
00:06:09,973 --> 00:06:10,952
Това е m.

102
00:06:10,952 --> 00:06:14,572
После намерихме b.

103
00:06:14,572 --> 00:06:16,819
Това беше по-сложното.

104
00:06:16,819 --> 00:06:19,717
Всеки път, когато трябва,
разбираш,

105
00:06:19,717 --> 00:06:21,761
трябва да направиш нещо такова
и то просто не ти хрумва,

106
00:06:21,761 --> 00:06:24,005
не е очевидно, не ти хрумва
от пръв поглед, както не ми хрумна на мен,

107
00:06:24,005 --> 00:06:27,760
когато погледнах задачата, тогава
аз казвам, нека да напиша всичко,

108
00:06:27,760 --> 00:06:29,540
което ни е дадено, което
вече знаем,

109
00:06:29,640 --> 00:06:32,320
и после виждаме, че това
ще бъде решение.

110
00:06:32,340 --> 00:06:36,940
Да видим мога ли някак
да го реша, какво не съм използвал.

111
00:06:37,060 --> 00:06:39,867
Не съм използвал това,
не съм използвал това.

112
00:06:39,867 --> 00:06:42,119
Използвах това.

113
00:06:42,119 --> 00:06:44,569
Определено използвах това.

114
00:06:44,569 --> 00:06:47,669
Използвах това, използвах това,
използвах това.

115
00:06:47,669 --> 00:06:49,666
Това е един забавен
малък пъзел,

116
00:06:49,666 --> 00:06:52,162
в който записвам цялата информация, 
която ни е дадена,

117
00:06:52,162 --> 00:06:54,484
и се опитвам въз основа на това
да определя

118
00:06:54,484 --> 00:06:59,255
дали мога да намеря m и b.

119
00:06:59,260 --> 00:07:02,640
И това е много елегантно, че
отговорът е 2х – 2.

120
00:07:02,720 --> 00:07:05,620
Ако се бях върнал към полето
на наклоните, това

121
00:07:05,632 --> 00:07:07,027
нямаше да ми хрумне.

122
00:07:07,027 --> 00:07:09,263
Но ако помислиш за това, че

123
00:07:09,263 --> 00:07:11,300
2х – 2, тук пресечната
точка с оста у

124
00:07:11,300 --> 00:07:14,356
е –2... ще използвам
различен цвят,

125
00:07:14,360 --> 00:07:19,660
тогава правата ще изглежда
приблизително така.

126
00:07:20,400 --> 00:07:22,720
Правата ще изглежда
приблизително така.

127
00:07:22,720 --> 00:07:27,120
И можеш да провериш, че
във всяка една от тези точки

128
00:07:27,240 --> 00:07:33,200
наклонът е равен на 2.

129
00:07:33,267 --> 00:07:36,666
Ако сме в точката (2; 2),

130
00:07:36,666 --> 00:07:39,174
това е равно на 2 по 2 минус 2,
което е равно на 2.

131
00:07:39,174 --> 00:07:42,680
За (1; 0): 2 по 1 минус 0 
е равно на 2.

132
00:07:42,680 --> 00:07:46,268
–2... извинявам се, (0; –2),

133
00:07:46,268 --> 00:07:49,240
0 минус –2 е равно на 2.

134
00:07:49,240 --> 00:07:51,202
Това е много елегантно,
наклонът

135
00:07:51,202 --> 00:07:55,200
се променя навсякъде, но това
е линейно решение

136
00:07:55,360 --> 00:07:59,580
на първоначалното диференциално
уравнение, което е страхотно.