WEBVTT

00:00:00.730 --> 00:00:04.700
Тази задача е от изпита AIME от 2003.

00:00:04.700 --> 00:00:08.340
Това е съкращение за Американски изпит по 
математика (само с покана),

00:00:08.340 --> 00:00:10.318
а тази задача е първата в състезанието.

00:00:10.318 --> 00:00:17.330
Произведението N на три положителни цели 
числа е шест пъти техния сбор,

00:00:17.330 --> 00:00:20.180
а едното от числата е равно на сбора на 
останалите две.

00:00:20.180 --> 00:00:24.160
Намерете сбора на всички възможни 
стойности на N.

00:00:24.160 --> 00:00:27.400
Имаме три положителни цели числа.

00:00:27.400 --> 00:00:30.420
Имаме три положителни цели числа
точно тук,

00:00:30.420 --> 00:00:32.910
затова нека да помислим за тези три 
положителни чели числа.

00:00:32.910 --> 00:00:35.450
Да ги наречем a, b и c.

00:00:35.450 --> 00:00:37.670
Всички са положителни, всички са цели.

00:00:37.670 --> 00:00:41.110
Произведението N на тези 3 положителни, 
цели числа...

00:00:41.110 --> 00:00:48.120
Така а х b x c е равно на N и е равно на 
6 пъти техния сбор.

00:00:48.120 --> 00:00:50.660
Това е равно на 6 пъти по сбора.

00:00:50.660 --> 00:00:52.840
Ще оцветя това в различен цвят.

00:00:52.840 --> 00:00:54.430
Това е тяхното произведение.

00:00:54.430 --> 00:01:02.080
Произведението N на три положителни цели 
числа е 6 пъти техния сбор.

00:01:02.080 --> 00:01:09.650
Това е равно на 6 пъти сбора на тези цели
числа, а + b +c.

00:01:09.650 --> 00:01:12.980
Едно от числата е равно на сбора на 
останалите две.

00:01:14.170 --> 00:01:19.240
Едно от целите числа е равно на сбора на 
останалите две.

00:01:19.240 --> 00:01:22.660
Избираме с да бъде сбор на а и b.

00:01:22.660 --> 00:01:25.600
Няма значение кое ще изберем, това са само
имена

00:01:25.600 --> 00:01:28.270
и не твърдим, че едното е по-голямо
от другото.

00:01:28.270 --> 00:01:32.220
Казваме само, че а + b е равно на с,

00:01:32.220 --> 00:01:37.090
Едното от целите числа с е равно на сбора 
на а + b.

00:01:37.090 --> 00:01:40.913
Намерете сбора на всички възможни 
стойности на N.

00:01:40.913 --> 00:01:44.420
Да опитаме малко

00:01:44.420 --> 00:01:47.263
манипулации с информацията, която имаме
и може би

00:01:47.263 --> 00:01:50.570
ще открием някаква връзка или ограничение
за нашите числа

00:01:50.570 --> 00:01:54.050
и след това ще преминем през всички
възможности.

00:01:54.050 --> 00:01:56.730
Да видим, знаем, че а + b = c.

00:01:56.730 --> 00:02:02.970
Можем да заместим с навсякъде с а + b,

00:02:02.970 --> 00:02:09.220
така че този израз става аb, което е
а по b по с,

00:02:09.220 --> 00:02:14.360
но вместо с, ще запиша а + b,

00:02:15.620 --> 00:02:22.140
а след това равно на 6 пъти а + b.

00:02:22.140 --> 00:02:24.958
a + b + c.

00:02:24.958 --> 00:02:30.790
Отново ще заместя с с а + b.

00:02:30.790 --> 00:02:33.710
Какво опростява това.

00:02:33.710 --> 00:02:37.020
От дясната страна имаме
6 пъти a + b + a + b.

00:02:37.020 --> 00:02:43.690
Това е равно на 2а + 2b.

00:02:43.690 --> 00:02:46.820
Събрахме а и b и можем да разделим на 2.

00:02:46.820 --> 00:02:52.350
Това е все едно да извадим 2, 6 по 2 е 
12 пъти а + b,

00:02:52.350 --> 00:02:57.440
лявата страна все още е а по b,

00:02:57.440 --> 00:03:02.434
или а b po a + b,

00:03:02.434 --> 00:03:07.810
така аb по a + b трябва да е равно на 
12 пъти а + b.

00:03:07.810 --> 00:03:12.680
Това е много интересно, можем да
разделим двете страни на а + b.

00:03:12.680 --> 00:03:15.740
Знаем, че а + b не може да е равно на

00:03:15.740 --> 00:03:19.480
0 тъй като всички числа са положителни.

00:03:19.480 --> 00:03:22.060
Ако разделим двете страни и причината да 
кажа това е,

00:03:22.060 --> 00:03:27.450
че ако това беше равно на 0, делението 
на 0 дава недефиниран отговор.

00:03:27.450 --> 00:03:34.130
Така, ако разделим двете страни на а + b,
получаваме, че а по b е равно на 12.

00:03:34.130 --> 00:03:37.430
Така всички дадени ограничения се
сведоха до

00:03:37.430 --> 00:03:40.590
това, че произведението на а и b

00:03:40.590 --> 00:03:43.990
е равно на 12, а има толкова числа,
положителни цели числа,

00:03:43.990 --> 00:03:46.900
чието произведение е равно на 12.

00:03:46.900 --> 00:03:48.520
Да ги намерим.

00:03:48.520 --> 00:03:49.520
Да опитаме.

00:03:49.520 --> 00:03:50.620
Ще използвам колони.

00:03:50.620 --> 00:03:58.730
Да кажем а, b и с, интересува ни
тяхното произведение.

00:03:58.730 --> 00:03:59.980
Тяхното произведение.

00:03:59.980 --> 00:04:01.106
Ще го запиша тук.

00:04:01.106 --> 00:04:03.800
a, b, c.

00:04:03.800 --> 00:04:09.770
Ако а е 1, b ще бъде 12, с - сборът

00:04:09.770 --> 00:04:14.460
на двете ще бъде 13, 12,
1 по 12 по 13,

00:04:14.460 --> 00:04:19.769
12 по 12 е 144 + 12 ще бъде 156.

00:04:19.769 --> 00:04:24.420
Можете да се уверите в това, че

00:04:24.420 --> 00:04:27.240
това ще е равно на 6 пъти техния сбор.

00:04:27.240 --> 00:04:31.650
Техният сбор е 26, 26 по 6 е 156,

00:04:31.650 --> 00:04:34.500
така че това със сигурност работи

00:04:34.500 --> 00:04:36.788
за ограниченията, така и трябва, защото
ги сведохме

00:04:36.788 --> 00:04:39.820
до а по b равно на 12.

00:04:39.820 --> 00:04:45.357
Да опитаме друго, 2 по 6, сборът им е 8,

00:04:45.357 --> 00:04:48.660
и ако взема произведението им,

00:04:48.660 --> 00:04:55.330
получавам 2 по 6 - 12, по 8 - 96.

00:04:55.330 --> 00:05:00.540
След това можем да опитаме 3 и 4, 
3 + 4 е 7,

00:05:00.540 --> 00:05:08.250
3 по 4 е 12, по 7,
всъщност трябва да знам,

00:05:08.250 --> 00:05:11.290
а по b винаги е 12, така че трябва
само да умножим по 12 тази колона.

00:05:11.290 --> 00:05:18.310
12 по 7 е 84 и няма други,

00:05:18.310 --> 00:05:21.150
не можете да получите повече от 12,

00:05:21.150 --> 00:05:23.800
защото тогава трябва да работите с не-цели
числа, с дроби.

00:05:23.800 --> 00:05:25.790
Не можете да използвате и отрицателни,

00:05:25.790 --> 00:05:27.840
защото всички са положителни цели числа.

00:05:27.840 --> 00:05:30.730
Това са всички възможни цели 
положителни числа,

00:05:30.730 --> 00:05:33.010
Взимаме техните произведения, 
получаваме 12.

00:05:33.010 --> 00:05:35.110
Извадихме 12.

00:05:35.110 --> 00:05:40.750
Трябва да намерим сбора на всички
възможни стойности на N.

00:05:40.750 --> 00:05:43.910
Това са всички възможни стойности на N.

00:05:43.910 --> 00:05:46.460
N е произведението на тези цели числа.

00:05:46.460 --> 00:05:51.500
Да вземем сумата, 6 + 6 e 12, + 4 e 16.

00:05:51.500 --> 00:05:59.800
1 + 5 е 6, + 9 е 15, + 8 е 23.

00:05:59.800 --> 00:06:01.880
2 + 1 е 3,

00:06:01.880 --> 00:06:07.189
нашият отговор е 336.