1
00:00:00,730 --> 00:00:04,700
Тази задача е от изпита AIME от 2003.

2
00:00:04,700 --> 00:00:08,340
Това е съкращение за Американски изпит по 
математика (само с покана),

3
00:00:08,340 --> 00:00:10,318
а тази задача е първата в състезанието.

4
00:00:10,318 --> 00:00:17,330
Произведението N на три положителни цели 
числа е шест пъти техния сбор,

5
00:00:17,330 --> 00:00:20,180
а едното от числата е равно на сбора на 
останалите две.

6
00:00:20,180 --> 00:00:24,160
Намерете сбора на всички възможни 
стойности на N.

7
00:00:24,160 --> 00:00:27,400
Имаме три положителни цели числа.

8
00:00:27,400 --> 00:00:30,420
Имаме три положителни цели числа
точно тук,

9
00:00:30,420 --> 00:00:32,910
затова нека да помислим за тези три 
положителни чели числа.

10
00:00:32,910 --> 00:00:35,450
Да ги наречем a, b и c.

11
00:00:35,450 --> 00:00:37,670
Всички са положителни, всички са цели.

12
00:00:37,670 --> 00:00:41,110
Произведението N на тези 3 положителни, 
цели числа...

13
00:00:41,110 --> 00:00:48,120
Така а х b x c е равно на N и е равно на 
6 пъти техния сбор.

14
00:00:48,120 --> 00:00:50,660
Това е равно на 6 пъти по сбора.

15
00:00:50,660 --> 00:00:52,840
Ще оцветя това в различен цвят.

16
00:00:52,840 --> 00:00:54,430
Това е тяхното произведение.

17
00:00:54,430 --> 00:01:02,080
Произведението N на три положителни цели 
числа е 6 пъти техния сбор.

18
00:01:02,080 --> 00:01:09,650
Това е равно на 6 пъти сбора на тези цели
числа, а + b +c.

19
00:01:09,650 --> 00:01:12,980
Едно от числата е равно на сбора на 
останалите две.

20
00:01:14,170 --> 00:01:19,240
Едно от целите числа е равно на сбора на 
останалите две.

21
00:01:19,240 --> 00:01:22,660
Избираме с да бъде сбор на а и b.

22
00:01:22,660 --> 00:01:25,600
Няма значение кое ще изберем, това са само
имена

23
00:01:25,600 --> 00:01:28,270
и не твърдим, че едното е по-голямо
от другото.

24
00:01:28,270 --> 00:01:32,220
Казваме само, че а + b е равно на с,

25
00:01:32,220 --> 00:01:37,090
Едното от целите числа с е равно на сбора 
на а + b.

26
00:01:37,090 --> 00:01:40,913
Намерете сбора на всички възможни 
стойности на N.

27
00:01:40,913 --> 00:01:44,420
Да опитаме малко

28
00:01:44,420 --> 00:01:47,263
манипулации с информацията, която имаме
и може би

29
00:01:47,263 --> 00:01:50,570
ще открием някаква връзка или ограничение
за нашите числа

30
00:01:50,570 --> 00:01:54,050
и след това ще преминем през всички
възможности.

31
00:01:54,050 --> 00:01:56,730
Да видим, знаем, че а + b = c.

32
00:01:56,730 --> 00:02:02,970
Можем да заместим с навсякъде с а + b,

33
00:02:02,970 --> 00:02:09,220
така че този израз става аb, което е
а по b по с,

34
00:02:09,220 --> 00:02:14,360
но вместо с, ще запиша а + b,

35
00:02:15,620 --> 00:02:22,140
а след това равно на 6 пъти а + b.

36
00:02:22,140 --> 00:02:24,958
a + b + c.

37
00:02:24,958 --> 00:02:30,790
Отново ще заместя с с а + b.

38
00:02:30,790 --> 00:02:33,710
Какво опростява това.

39
00:02:33,710 --> 00:02:37,020
От дясната страна имаме
6 пъти a + b + a + b.

40
00:02:37,020 --> 00:02:43,690
Това е равно на 2а + 2b.

41
00:02:43,690 --> 00:02:46,820
Събрахме а и b и можем да разделим на 2.

42
00:02:46,820 --> 00:02:52,350
Това е все едно да извадим 2, 6 по 2 е 
12 пъти а + b,

43
00:02:52,350 --> 00:02:57,440
лявата страна все още е а по b,

44
00:02:57,440 --> 00:03:02,434
или а b po a + b,

45
00:03:02,434 --> 00:03:07,810
така аb по a + b трябва да е равно на 
12 пъти а + b.

46
00:03:07,810 --> 00:03:12,680
Това е много интересно, можем да
разделим двете страни на а + b.

47
00:03:12,680 --> 00:03:15,740
Знаем, че а + b не може да е равно на

48
00:03:15,740 --> 00:03:19,480
0 тъй като всички числа са положителни.

49
00:03:19,480 --> 00:03:22,060
Ако разделим двете страни и причината да 
кажа това е,

50
00:03:22,060 --> 00:03:27,450
че ако това беше равно на 0, делението 
на 0 дава недефиниран отговор.

51
00:03:27,450 --> 00:03:34,130
Така, ако разделим двете страни на а + b,
получаваме, че а по b е равно на 12.

52
00:03:34,130 --> 00:03:37,430
Така всички дадени ограничения се
сведоха до

53
00:03:37,430 --> 00:03:40,590
това, че произведението на а и b

54
00:03:40,590 --> 00:03:43,990
е равно на 12, а има толкова числа,
положителни цели числа,

55
00:03:43,990 --> 00:03:46,900
чието произведение е равно на 12.

56
00:03:46,900 --> 00:03:48,520
Да ги намерим.

57
00:03:48,520 --> 00:03:49,520
Да опитаме.

58
00:03:49,520 --> 00:03:50,620
Ще използвам колони.

59
00:03:50,620 --> 00:03:58,730
Да кажем а, b и с, интересува ни
тяхното произведение.

60
00:03:58,730 --> 00:03:59,980
Тяхното произведение.

61
00:03:59,980 --> 00:04:01,106
Ще го запиша тук.

62
00:04:01,106 --> 00:04:03,800
a, b, c.

63
00:04:03,800 --> 00:04:09,770
Ако а е 1, b ще бъде 12, с - сборът

64
00:04:09,770 --> 00:04:14,460
на двете ще бъде 13, 12,
1 по 12 по 13,

65
00:04:14,460 --> 00:04:19,769
12 по 12 е 144 + 12 ще бъде 156.

66
00:04:19,769 --> 00:04:24,420
Можете да се уверите в това, че

67
00:04:24,420 --> 00:04:27,240
това ще е равно на 6 пъти техния сбор.

68
00:04:27,240 --> 00:04:31,650
Техният сбор е 26, 26 по 6 е 156,

69
00:04:31,650 --> 00:04:34,500
така че това със сигурност работи

70
00:04:34,500 --> 00:04:36,788
за ограниченията, така и трябва, защото
ги сведохме

71
00:04:36,788 --> 00:04:39,820
до а по b равно на 12.

72
00:04:39,820 --> 00:04:45,357
Да опитаме друго, 2 по 6, сборът им е 8,

73
00:04:45,357 --> 00:04:48,660
и ако взема произведението им,

74
00:04:48,660 --> 00:04:55,330
получавам 2 по 6 - 12, по 8 - 96.

75
00:04:55,330 --> 00:05:00,540
След това можем да опитаме 3 и 4, 
3 + 4 е 7,

76
00:05:00,540 --> 00:05:08,250
3 по 4 е 12, по 7,
всъщност трябва да знам,

77
00:05:08,250 --> 00:05:11,290
а по b винаги е 12, така че трябва
само да умножим по 12 тази колона.

78
00:05:11,290 --> 00:05:18,310
12 по 7 е 84 и няма други,

79
00:05:18,310 --> 00:05:21,150
не можете да получите повече от 12,

80
00:05:21,150 --> 00:05:23,800
защото тогава трябва да работите с не-цели
числа, с дроби.

81
00:05:23,800 --> 00:05:25,790
Не можете да използвате и отрицателни,

82
00:05:25,790 --> 00:05:27,840
защото всички са положителни цели числа.

83
00:05:27,840 --> 00:05:30,730
Това са всички възможни цели 
положителни числа,

84
00:05:30,730 --> 00:05:33,010
Взимаме техните произведения, 
получаваме 12.

85
00:05:33,010 --> 00:05:35,110
Извадихме 12.

86
00:05:35,110 --> 00:05:40,750
Трябва да намерим сбора на всички
възможни стойности на N.

87
00:05:40,750 --> 00:05:43,910
Това са всички възможни стойности на N.

88
00:05:43,910 --> 00:05:46,460
N е произведението на тези цели числа.

89
00:05:46,460 --> 00:05:51,500
Да вземем сумата, 6 + 6 e 12, + 4 e 16.

90
00:05:51,500 --> 00:05:59,800
1 + 5 е 6, + 9 е 15, + 8 е 23.

91
00:05:59,800 --> 00:06:01,880
2 + 1 е 3,

92
00:06:01,880 --> 00:06:07,189
нашият отговор е 336.