0:00:00.730,0:00:04.700
Тази задача е от изпита AIME от 2003.

0:00:04.700,0:00:08.340
Това е съкращение за Американски изпит по [br]математика (само с покана),

0:00:08.340,0:00:10.318
а тази задача е първата в състезанието.

0:00:10.318,0:00:17.330
Произведението N на три положителни цели [br]числа е шест пъти техния сбор,

0:00:17.330,0:00:20.180
а едното от числата е равно на сбора на [br]останалите две.

0:00:20.180,0:00:24.160
Намерете сбора на всички възможни [br]стойности на N.

0:00:24.160,0:00:27.400
Имаме три положителни цели числа.

0:00:27.400,0:00:30.420
Имаме три положителни цели числа[br]точно тук,

0:00:30.420,0:00:32.910
затова нека да помислим за тези три [br]положителни чели числа.

0:00:32.910,0:00:35.450
Да ги наречем a, b и c.

0:00:35.450,0:00:37.670
Всички са положителни, всички са цели.

0:00:37.670,0:00:41.110
Произведението N на тези 3 положителни, [br]цели числа...

0:00:41.110,0:00:48.120
Така а х b x c е равно на N и е равно на [br]6 пъти техния сбор.

0:00:48.120,0:00:50.660
Това е равно на 6 пъти по сбора.

0:00:50.660,0:00:52.840
Ще оцветя това в различен цвят.

0:00:52.840,0:00:54.430
Това е тяхното произведение.

0:00:54.430,0:01:02.080
Произведението N на три положителни цели [br]числа е 6 пъти техния сбор.

0:01:02.080,0:01:09.650
Това е равно на 6 пъти сбора на тези цели[br]числа, а + b +c.

0:01:09.650,0:01:12.980
Едно от числата е равно на сбора на [br]останалите две.

0:01:14.170,0:01:19.240
Едно от целите числа е равно на сбора на [br]останалите две.

0:01:19.240,0:01:22.660
Избираме с да бъде сбор на а и b.

0:01:22.660,0:01:25.600
Няма значение кое ще изберем, това са само[br]имена

0:01:25.600,0:01:28.270
и не твърдим, че едното е по-голямо[br]от другото.

0:01:28.270,0:01:32.220
Казваме само, че а + b е равно на с,

0:01:32.220,0:01:37.090
Едното от целите числа с е равно на сбора [br]на а + b.

0:01:37.090,0:01:40.913
Намерете сбора на всички възможни [br]стойности на N.

0:01:40.913,0:01:44.420
Да опитаме малко

0:01:44.420,0:01:47.263
манипулации с информацията, която имаме[br]и може би

0:01:47.263,0:01:50.570
ще открием някаква връзка или ограничение[br]за нашите числа

0:01:50.570,0:01:54.050
и след това ще преминем през всички[br]възможности.

0:01:54.050,0:01:56.730
Да видим, знаем, че а + b = c.

0:01:56.730,0:02:02.970
Можем да заместим с навсякъде с а + b,

0:02:02.970,0:02:09.220
така че този израз става аb, което е[br]а по b по с,

0:02:09.220,0:02:14.360
но вместо с, ще запиша а + b,

0:02:15.620,0:02:22.140
а след това равно на 6 пъти а + b.

0:02:22.140,0:02:24.958
a + b + c.

0:02:24.958,0:02:30.790
Отново ще заместя с с а + b.

0:02:30.790,0:02:33.710
Какво опростява това.

0:02:33.710,0:02:37.020
От дясната страна имаме[br]6 пъти a + b + a + b.

0:02:37.020,0:02:43.690
Това е равно на 2а + 2b.

0:02:43.690,0:02:46.820
Събрахме а и b и можем да разделим на 2.

0:02:46.820,0:02:52.350
Това е все едно да извадим 2, 6 по 2 е [br]12 пъти а + b,

0:02:52.350,0:02:57.440
лявата страна все още е а по b,

0:02:57.440,0:03:02.434
или а b po a + b,

0:03:02.434,0:03:07.810
така аb по a + b трябва да е равно на [br]12 пъти а + b.

0:03:07.810,0:03:12.680
Това е много интересно, можем да[br]разделим двете страни на а + b.

0:03:12.680,0:03:15.740
Знаем, че а + b не може да е равно на

0:03:15.740,0:03:19.480
0 тъй като всички числа са положителни.

0:03:19.480,0:03:22.060
Ако разделим двете страни и причината да [br]кажа това е,

0:03:22.060,0:03:27.450
че ако това беше равно на 0, делението [br]на 0 дава недефиниран отговор.

0:03:27.450,0:03:34.130
Така, ако разделим двете страни на а + b,[br]получаваме, че а по b е равно на 12.

0:03:34.130,0:03:37.430
Така всички дадени ограничения се[br]сведоха до

0:03:37.430,0:03:40.590
това, че произведението на а и b

0:03:40.590,0:03:43.990
е равно на 12, а има толкова числа,[br]положителни цели числа,

0:03:43.990,0:03:46.900
чието произведение е равно на 12.

0:03:46.900,0:03:48.520
Да ги намерим.

0:03:48.520,0:03:49.520
Да опитаме.

0:03:49.520,0:03:50.620
Ще използвам колони.

0:03:50.620,0:03:58.730
Да кажем а, b и с, интересува ни[br]тяхното произведение.

0:03:58.730,0:03:59.980
Тяхното произведение.

0:03:59.980,0:04:01.106
Ще го запиша тук.

0:04:01.106,0:04:03.800
a, b, c.

0:04:03.800,0:04:09.770
Ако а е 1, b ще бъде 12, с - сборът

0:04:09.770,0:04:14.460
на двете ще бъде 13, 12,[br]1 по 12 по 13,

0:04:14.460,0:04:19.769
12 по 12 е 144 + 12 ще бъде 156.

0:04:19.769,0:04:24.420
Можете да се уверите в това, че

0:04:24.420,0:04:27.240
това ще е равно на 6 пъти техния сбор.

0:04:27.240,0:04:31.650
Техният сбор е 26, 26 по 6 е 156,

0:04:31.650,0:04:34.500
така че това със сигурност работи

0:04:34.500,0:04:36.788
за ограниченията, така и трябва, защото[br]ги сведохме

0:04:36.788,0:04:39.820
до а по b равно на 12.

0:04:39.820,0:04:45.357
Да опитаме друго, 2 по 6, сборът им е 8,

0:04:45.357,0:04:48.660
и ако взема произведението им,

0:04:48.660,0:04:55.330
получавам 2 по 6 - 12, по 8 - 96.

0:04:55.330,0:05:00.540
След това можем да опитаме 3 и 4, [br]3 + 4 е 7,

0:05:00.540,0:05:08.250
3 по 4 е 12, по 7,[br]всъщност трябва да знам,

0:05:08.250,0:05:11.290
а по b винаги е 12, така че трябва[br]само да умножим по 12 тази колона.

0:05:11.290,0:05:18.310
12 по 7 е 84 и няма други,

0:05:18.310,0:05:21.150
не можете да получите повече от 12,

0:05:21.150,0:05:23.800
защото тогава трябва да работите с не-цели[br]числа, с дроби.

0:05:23.800,0:05:25.790
Не можете да използвате и отрицателни,

0:05:25.790,0:05:27.840
защото всички са положителни цели числа.

0:05:27.840,0:05:30.730
Това са всички възможни цели [br]положителни числа,

0:05:30.730,0:05:33.010
Взимаме техните произведения, [br]получаваме 12.

0:05:33.010,0:05:35.110
Извадихме 12.

0:05:35.110,0:05:40.750
Трябва да намерим сбора на всички[br]възможни стойности на N.

0:05:40.750,0:05:43.910
Това са всички възможни стойности на N.

0:05:43.910,0:05:46.460
N е произведението на тези цели числа.

0:05:46.460,0:05:51.500
Да вземем сумата, 6 + 6 e 12, + 4 e 16.

0:05:51.500,0:05:59.800
1 + 5 е 6, + 9 е 15, + 8 е 23.

0:05:59.800,0:06:01.880
2 + 1 е 3,

0:06:01.880,0:06:07.189
нашият отговор е 336.