เวลานักเบสบอลเมเจอร์ลีกขว้าง
ลูกเร็ว ลูกบอลนั้นมีพลังงานจลน์แน่นอน
เรารู้ว่าเพราถ้าคุณขวางทางมัน
มันจะทำงานใส่คุณ และคุณจะเจ็บ
ต้องระวังด้วย
แต่นี่คือคำถามของผม ลูกขว้างส่วนใหญ่
ยกเว้นคุณจะขว้างแบบไม่หมุน
ลูกขว้างส่วนใหญ่ที่พุ่งเข้าหาโฮมเพลต
โดยลูกเบสบอลหมุนนั้น หมายความว่าลูกบอลนั้น
มีพลังงานจลน์เพิ่มไหม?
มันมี แล้วเราจะหามันได้อย่างไร
นั่นคือเป้าหมายของวิดีโอนี้
เราจะหาว่าพลังงานจลน์
เชิงหมุนของวัตถุเป็นเท่าใด?
ถ้าผมลองครั้งแรก
ผมก็เดาว่า โอเค
ผมรู้ว่าพลังงานจลน์ปกติเป็นอย่างไร
สูตรสำหรับพลังงานจลน์ปกติ
คือ 1/2 mv กำลังสอง
แล้วบอกว่า ผมอยากได้พลังงานจลน์เชิงหมุน
ขอผมเรียกว่ามันว่า k หมุนนะ
มันจะเท่ากับอะไร?
ผมรู้ว่าสำหรับวัตถุที่กำลังหมุน
สิ่งที่เทียบเท่ากับมวลคือโมเมนต์ความเฉื่อย
ผมก็เดาว่า แทนที่จะเป็นมวล
ผมมีโมเมนต์ความเฉื่อย เพราะในกฎข้อสองของนิวตัน
สำหรับการหมุน ผมรู้ว่า แทนที่จะเป็นมวล
มันมีโมเมนต์ความเฉื่อย ผมก็แทนที่มัน
และแทนที่จะเป็นอัตราเร็วกำลังสอง บางทีเนื่องจากผมมี
อะไรสักอย่างหมุน ผมจะได้อัตราเร็วเชิงมุมกำลังสอง
ปรากฏว่ามันใช้ได้
คุณมักพิสูจน์ มันไม่ใช่การพิสูจน์จริงๆ
แต่คุณเดาอย่างมีหลักการได้
คุณมักได้สูตรสำหรับการหมุน
จากสูตรเชิงเส้น โดยการแทนค่าที่คู่กันในการหมุน
สำหรับแต่ละตัวแปร ถ้าผมแทนที่มวลด้วย
มวลเชิงหมุน ผมจะได้โมเมนต์ความเฉื่อย
ถ้าผมแทนที่อัตราเร็วด้วยอัตราเร็วเชิงหมุน
ผมจะได้อัตราเร็วเชิงมุม และนี่คือสูตรที่ถูกต้อง
ในวิดีโอนี้ เราต้องเชื่อสูตรนี้ไป เพราะ
มันไม่ใช่การพิสูจน์จริง เราไม่ได้
พิสูจน์สูตรนี้ เราแค่แสดงว่ามันน่าจะใช่
แล้วเราพิสูจน์ได้อย่างไรว่านี่คือพลังงานจลน์
เชิงหมุนสำหรับวัตถุที่กำลังหมุน
อย่างเบสบอลจริงๆ
อย่างแรกที่ต้องสังเกตคือว่า พลังงานจลน์
เชิงหมุนนี้ไม่ใช่พลังงานจลน์แบบใหม่
มันยังคงเป็นพลังงานจลน์
ปกติแบบเดิมสำหรับสิ่งที่กำลังหมุน
ผมหมายความว่าอย่างนี้
นึกภาพลูกบอลเบสบอลนี้หมุนในวงกลม
ทุกจุดบนลูกเบสบอลจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว
สิ่งที่ผมหมายถึงคือว่า อันนี้ จุดนี้ด้านบน
ตรงนี้ นึกภาพส่วนหนังเล็กๆ ตรงนี้
มันจะมีอัตราเร็วไปข้างหน้า
ผมจะเรียกมวลนี้ว่า m1 ส่วนมวลเล็กๆ
ตอนนี้ ผมจะเรียกอัตราเร็วของมันว่า v1
เช่นเดียวกัน จุดนี้บนผืนหนังตรงนี้
ผมจะเรียกมันว่า m2 มันจะเคลื่อนที่ลง
เพราะมันหมุนรอบเป็นวงกม ผมจะเรียกมันว่า v2
และจุดที่ใกล้แกนหมุนจะเคลื่อนที่
ด้วยอัตราเร็วน้อยกว่า จุดนี้ตรงนี้
เราจะเรียกว่า m3 เลื่อนลงด้วยอัตราเร็ว v3
มันไม่มากเท่ากับ v2 หรือ v1
คุณอาจเห็นไม่ชัดนัก
ผมใช้สีเขียวเข้ม m3 นี่ตรงนี้
ใกล้กับแกน แกนอยู่ตรงจุดนี้
ตรงศูนย์กลาง ใกล้กับแกน อัตราเร็วของมันจะน้อยกว่า
จุดที่ห่างออกไปจากแกนนี้
คุณเห็นได้ว่ามันค่อนข้างซับซ้อน
ทุกจุดบนลูกเบสบอลนี้ จะเคลื่อนที่
ด้วยอัตราเร็วต่างๆ กัน จุดตรงนี้ที่
ใกล้แกนมาก แทบจะไม่เลื่อนที่เลย
ผมจะเรียกมันว่า m4 และมันจะ
เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v4
สิ่งที่เราหมายถึง คำว่าพลังงานจลน์เชิงหมุน
จริงๆ แล้วก็แค่พลังงานจลน์ปกติทั้งหมด
ที่มวลเหล่านี้มี เทียบกับ ศูนย์กลางมวลของเบสบอล
กล่าวอีกอย่างคือ ความหมายของ k หมุน
คือคุณบวกพลังงานเหล่านี้ทั้งหมด
คุณมี 1/2 หนังส่วนเล็กๆ นี้
ตรงนี้ จะมีพลังงานจลน์
คุณได้ 1/2 m1 v1 กำลังสอง บวก
และ m2 นี้มีพลังงานจลน์
ไม่ต้องกังวลวันมันชี้ลง
ทิศไม่สำคัญว่าคิดสิ่งที่ไม่ใช่เวกเตอร์
v นี้กำลังสอง พลังงานจลน์จึงไม่ใช่เวกเตอร์
มันจึงไม่สำคัญว่าความเร็วชี้ลง
เพราะนี่เป็นเพียงอัตราเร็ว เช่นเดียวกัน
คุณก็บวก 1/2 m3 v3 กำลังสอง
แต่คุณอาจบอกว่า มันเป็นไปไม่ได้
มันมีจุดนับไม่ถ้วนบนลูกเบสบอลนี้
ฉันจะหาค่านี้ได้อย่างไร
สิ่งที่น่าอัศจรรย์กำลังจะเกิดขึ้น
นี่คือการพิสูจน์ที่ผมชอบอันหนึ่ง
สั้นและสวย ดูกันว่าเกิดอะไรขึ้น
KE การหมุน ก็แค่ผลบวก
ถ้าผมบวกทั้งหมดนี้เข้า ผมจะได้ผลบวก
ของ 1/2 mv กำลังสองสำหรับทุกจุด
บนลูกเบสบอล นึกภาพว่าแบ่งลูกเบสบอลนี้
เป็นชิ้นเล็กมากๆ
ไม่ต้องแบ่งจริงๆ แต่คิดในจินตนาการเอา
มองภาพชิ้นส่วนเล็กจิ๋ว
อนุภาคของลูกเบสบอลนี้ และมันเคลื่อนที่เร็วแค่ไหน
สิ่งที่ผมกำลังบอกคือว่า ถ้าคุณบวกทั้งหมดเข้า
คุณจะได้พลังงานจลน์เชิงหมุนทั้งหมด
มันดูเป็นไปไม่ได้
แต่เรื่องมหัศจรรย์กำลังจะเกิดขึ้น
นี่คือสิ่งที่เราทำได้
เราเขียนมันใหม่ ปัญหาตรงนี้คือ v
ทุกจุดในนี้มีอัตราเร็ว v ต่างกัน
แต่เราใช้กลเม็ดได้ กลเม็ดที่เราชอบ
ใช้ในฟิสิกส์ แทนที่จะเขียนอันนี้ว่า v
เราจะเขียน v เป็น นึกดู สำหรับสิ่ง
ที่กำลังหมุน v ก็แค่ r คูณโอเมก้า
รัศมี ระยะจากแกน
คูณอัตราเร็วเชิงมุม หรืออัตราเร็วเชิงมุม
จะให้อัตราเร็วปกติ
สูตรนี้มีประโยชน์มาก เราจะแทนที่
v ด้วย r โอเมก้า แล้วอันนี้จะได้ r โอเมก้า
แล้วคุณจะต้องกำลังสองมัน และถึงจุดนี้
คุณอาจจะคิดว่า มันแย่กว่าเดิมอีก
เราทำไปเพื่ออะไร
ดูนะ ถ้าเราบวกอันนี้เข้า ผมจะได้ 1/2 m
ผมจะได้ r กำลังสอง แล้วก็โอเมก้ากำลังสอง
และสาเหตุที่อันนี้ดีกว่าคือว่า ถึงแม้
ทุกจุดบนลูกเบสบอลจะมีอัตราเร็ว v ต่างกัน
แต่พวกมันมีอัตราเร็วเชิงมุม โอเมก้า เท่ากัน
นั่นคือสิ่งที่ดีในปริมาณเชิงมุมเหล่านี้
พวกมันเท่ากันสำหรับทุกจุดบนลูกเบสบอล
ไม่ว่าคุณจะห่างจากแกนแค่ไหน
และเนื่องจากมันเท่ากันสำหรับทุกจุด ผมก็
นำมันออกมาจากเครื่องหมายรวม ผมเขียน
ผลบวกนี้ใหม่ และนำทุกอย่างที่คงที่
สำหรับมวลทุกก้อนออกจาก เครื่องหมายรวม ผม
เขียนอันนี้ได้เป็น 1/2 คูณผลบวก
ของ m คูณ r กำลังสอง และปิดวงเล็บ
จบการรวม แล้วดึง โอเมก้ากำลังสองออกมา
เพราะมันเท่ากันสำหรับทุกเทอม
ผมแค่แยกตัวประกอบค่านี้ออกมาสำหรับ
ทุกเทอมในผลบวก มันอยู่บนนี้
ทั้งหมดนี้มี 1/2
คุณนึกภาพการแยก 1/2 ออกมา
แล้วเขียนปริมาณทั้งหมดนี้เป็น
1/2 คูณ m1 v1 กำลังสองบวก
m2 v2 กำลังสองไปเรื่อยๆ
นั่นคือสาเหตุที่ผมทำข้างล่างนี้ เป็น 1/2
แล้วก็โอเมก้ากำลังสอง นั่นคือสาเหตุที่เราเลือก
แทนที่ v ด้วย r โอเมก้า
โอเมก้าเท่ากันสำหรับทุกตัว
คุณดึงออกมาได้
คุณอาจยังกังวล คุณอาจบอกว่า
เราติด m ในนี้เพราะคุณ
มี m ต่างกันที่จุดต่างๆ
เราติด r ในนี้กำลังสอง
ทุกจุดบนลูกเบสบอลมี r ต่างกัน
พวกมันห่างจากแกนต่างกัน
ระยะจากแกนต่างกัน เราจึงนำ
พวกมันออกมาไม่ได้ ทีนี้ เราทำอะไรได้ ถ้าคุณหัวไว
คุณจะสังเกตเทอมนี้ได้
เทอมผลบวกนี้คือ ไม่ใช่อะไรนอกจากโมเมนต์
ความเฉื่อยรวมของวัตถุ
นึกดูว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ
เราเรียนไปก่อนหน้านี้ ก็แค่ mr กำลังสอง
โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดมวล
คือ m กำลังสองและโมเมนต์ความเฉื่อย
ของจุดมวลหลายๆ จุดก็คือผลบวกของ
mr กำลังสองทั้งหมด และนั่นคือสิ่งที่เราได้ตรงนี้
นี่ก็แค่โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกเบสบอลนี้
หรือวัตถุใดก็ตาม มันไม่จำเป็นต้อง
มีรูปร่างเจาะจง เราจะบวก
mr กำลังสองทั้งหมด มันจะเท่ากับ
โมเมนต์ความเฉื่อยรวม
สิ่งที่เราพบก็คือ k เชิงหมุน
เท่ากับ 1/2 คูณปริมาณนี้
ซึ่งก็คือ I โมเมนต์ความเฉื่อย
คูณโอเมก้ากำลังสอง และนั่นคือสูตร
ที่เราได้บนนี้โดยการเดา
แต่มันใช้ได้ และนี่คือสาเหตุที่มันใช้ได้
เพราะคุณจะได้ปริมาณข้างล่างนี้เสมอ
ซึ่งก็คือ 1/2 โอเมก้ากำลังสอง ไม่ว่า
รูปร่างของวัตถุคืออะไร
สิ่งที่ตัวนี้บอกคุณ สิ่งที่ปริมาณนี้
บอกเราคือ พลังานจลน์เชิงหมุนทั้งหมด
ของทุกจุดบนมวลนั้นรอบจุดศูนย์กลาง
มวล แต่ตรงนี้คือสิ่งที่มันไม่ได้บอกคุณ
เทอมนี้ตรงนี้ไม่ได้รวม
พลังงานจลน์เลื่อนที่ ความจริงที่
ลูกเบสบอลนี้ลอยไปในอากาศ ยังไม่ได้
รวมเข้าไปในสูตรนี้
เราไม่ได้คิดความจริงที่ว่า
ลูกเบสบอลกำลังเคลื่อนที่ผ่านอากาศ
กล่าวอีกอย่างคือว่า เราไม่ได้คิด
ว่าศูนย์กลางมวลของลูกเบสบอลนี้
กำลังเลื่อนที่ไปในอากาศ
แต่เราทำได้ง่ายๆ ด้วยสูตรตรงนี้
นี่คือพลังงานจลน์เชิงเลื่อนที่
บางครั้งแทนที่จะเขียนเป็นพลังงานจลน์ปกติ
ตอนนี้เราจะระบุลงไปว่า นี่ก็คือ
พลังงานจลน์เชิงเลื่อนที่
เราจึงได้สูตรสำหรับพลังงานจลน์เชิงเลื่อนที่
พลังงานที่มีเนื่องจากความจริงที่ว่าศูนย์กลาง
ของมวลวัตถุนั้นกำลังเคลื่อนที่ และเรามีสูตร
ที่นับรวมความจริงที่ว่าวัตถุมี
พลังงานจลน์เนื่องจากการหมุนด้วย
นั่นคือ k หมุน ถ้าวัตถุกำลังหมุน
มันมีพลังงานจลน์เชิงหมุน
ถ้าวัตถุเลื่อนที่ มันจะมี
พลังงานจลน์เชิงเลื่อนที่
กล่าวคือ ถ้าศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่
ถ้าวัตถุเลื่อนที่ และมันหมุน
แล้วมันจะมีพลังงานจลน์ทั้งสองตัว
พร้อมกันและนี่คือสิ่งที่สวยงาม
ถ้าวัตถุเลื่อนที่และหมุน และคุณอยาก
หาพลังงานจลน์รวมของวัตถุทั้งหมด
คุณก็บวกสองเทอมนี้เข้าด้วยกันได้
ถ้าผมนำพลังงานเลื่อนที่ 1/2 mv กำลังสอง
และอันนี้จะเป็นความเร็วของศูนย์กลางมวล
คุณต้องระวังหน่อย
ขอผมหาที่เพิ่มหน่อย ขอผมกำจัด
ทั้งหมดตรงนี้นะ
ถ้าคุณนำ 1/2 m มาคูณอัตราเร็วของศูนย์กลาง
มวลกำลังสอง คุณจะได้พลังงานจลน์เลื่อนที่
ทั้งหมดของลูกเบสบอล
และถ้าเราบวก 1/2 I โอเมก้ากำลังสองเข้าไป
โอเมก้ารอบจุดศูนย์กลางมวล คุณจะได้
พลังงานจลน์รวม ทั้งเลื่อนที่และหมุน
มันเยี่ยมเลย เราหาพลังงานจลน์รวม
ได้แล้ว การเคลื่อนที่แบบหมุน การเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่
จากการนำสองเทอมนี้รวมกัน
ตัวอย่างนี้จะเป็นอย่างไร
ลองเอาทั้งหมดนี้ออกไป
สมมุติว่าลูกเบสบอลนี้ มีคนขว้างลูกนี้มา
และปืนเรดาร์แสดงว่าลูกเบสบอลนี้
แหวกอากาศมาด้วยอัตรา 40 เมตรต่อวินาที
มันกำลังวิ่งเข้าหาโฮมเพลตด้วยอัตรา 40 เมตรต่อวินาที
ศูนย์กลางมวลของเบสบอลนี้จะ
เป็น 40 เมตรต่อวินาทีเข้าหาโฮมเพลต
สมมุติว่า คนขว้างลูกเร็ว
ลูกนี้หมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม
50 เรเดียนต่อวินาที
เรารู้มวลลูกบอล ผมเพิ่งหามา
มวลของลูกเบสบอล มีค่าประมาณ 0.145 กิโลกรัม
และรัศมีของลูกเบสบอล รัศมีของลูกเบสบอล
มีค่าประมาณ 7 เซนติเมตร ในรูปของเมตร
มันจะเป็น 0.07 เมตร เราก็หาได้ว่า
พลังงานจลน์รวมเป็นเท่าใด มันจะเท่ากับ
พลังงานจลน์เชิงหมุน และมันมี
พลังงานจลน์เชิงเลื่อนที่
พลังงานจลน์เชิงเลื่อนที่ จะเท่ากับ 1/2
มวลของลูกเบสบอล คูณอัตราเร็วศูนย์กลางมวล
ของลูกเบสบอลกำลังสอง ซึ่งจะให้ค่าเป็น 1/2
มวลของลูกเบสบอลเป็น 0.145 และศูนย์กลางมวล
อัตราเร็วของลูกเบสบอลเป็น 40 นั่นคือความเร็วของ
ศูนย์กลางมวลลูกเบสบอลที่เดินทาง
ถ้าเราบวกพวกมันเข้า เราจะได้ 116 จูล
เป็นพลังงานจลน์เลื่อนที่
พลังงานจลน์เชิงหมุนจะเป็นเท่าใด
เรามีพลังงานจลน์เชิงหมุน
เนื่องจากความจริงที่ว่า ลูกเบสบอลก็หมุนด้วย
เป็นเท่าใด เราจะใช้ 1/2 I โอเมก้ากำลังสอง
ผมจะได้ 1/2 แล้ว I คืออะไร ลูกเบสบอล
เป็นทรงกลม ถ้าคุณหาโมเมนต์ความเฉื่อยของ
ทรงกลัมตัน ผมไม่อยากหาผลบวก
ของ mr กำลังสองทั้งหมดเอง ถ้าคุณคิดด้วยแคลคูลัส
คุณจะได้สูตรนี้
ในวิชาฟิสิกส์ที่เน้นพีชคณิต
คุณต้องหาสูตรนี้เอา ไม่ในหนังสือ
ก็แผนภาพหรือตาราง คุณหาออนไลน์ก็ได้
สำหรับทรงกลม โมเมนต์ความเฉือย เท่ากับ 2/5 mr กำลังสอง
กล่าวอีกอย่างคือ 2/5 มวลของลูกเบสบอล
คูณรัศมีของลูกเบสบอลกำลังสอง
มันก็แค่ นั่นคือโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลม
เรากำลังสมมุติว่า ลูกเบสบอลนี้ คือทรงกลมสมบูรณ์
มันมีความหนาแน่นสม่ำเสมอ ซึ่งไม่จริงเสียทีเดียว
แต่มันเป็นการประมาณที่ดี
แล้วเราคูณด้วยโอเมก้านี้กำลังสอง
อัตราเร็วเชิงมุมกำลังสอง
แล้วเราได้อะไร เราจะได้ 1/2 คูณ
2/5 มวลของลูกเบสบอล คือ 0.145
รัศมีของลูกเบสบอลมีค่าประมาณ เราบอกว่าอะไร
0.07 เมตร มันก็คือ 0.07 เมตรกำลังสอง แล้วสุดท้าย
เราคูณด้วยโอเมก้ากำลังสอง และอันนี้
50 เรเดียนกำลังสอง แล้วเรากำลังสอง
มันรวมกันได้ 0.355 จูล
พลังงานของลูกเบสบอลนี้แทบไม่ได้
มาจากการหมุน
พลังงานเกือบทั้งหมดอยู่ในรูปของพลังงาน
เชิงเลื่อนที่ ซึ่งสมเหตุสมผล
นั่นคือความจริงที่ว่าลูกเบสบอลนี้กำลังพุ่ง
เข้าหาโอมเพลต มันจะเจ็บทีเดียวถ้าลูกโดนคุณ
เทียบกับความจริงที่ว่าลูกจะหมุนเมื่อ
มันกระทบคุณ มันไม่ได้สร้างความเสียหาย
เท่ากับความจริงที่ว่า พลังงานจลน์ของลูกเบสบอลนี้
อยู่ในรูปของพลังงานจลน์เลื่อนที่เป็นส่วนใหญ่
แต่ถ้าคุณอยากได้พลังงานจลน์รวม ของลูกเบสบอล
คุณก็บวกสองค่านี้เข้าด้วยกันได้
k รวมจะเท่ากับพลังงานจลน์เลื่อนที่
บวกพลังงานจลน์เชิงหมุน
นั่นหมายความว่า พลังงานจลน์รวม ซึ่งก็คือ 116 จูล
บวก 0.355 จูล จะให้ค่า
116.355 จูล
ทบทวนหน่อย ถ้าวัตถุทั้งหมุน
และเลื่อนที่ คุณหาพลังงานจลน์
เลื่อนที่ได้โดยใช้ 1/2 M อัตราเร็ว
ของศูนย์กลางมวลของวัตถุนั้นกำลังสอง และคุณ
หาพลังงานจลน์เชิงหมุนได้โดยใช้
1/2 I โมเมนต์ความเฉื่อย
เราจะบอกว่ารูปร่างคืออะไร
ถ้ามันเป็นจุดมวลวนรอบวงกลมใหญ่
คุณก็ใช้ mr กำลังสอง ถ้ามันเป็นทรงกลม
หมุนรอบศูนย์กลางของมัน คุณก็ใช้ 2/5
mr กำลังสอง ทรงกระบอกเป็น 1/2 mr กำลังสอง
คุณหาค่าเหล่านี้ได้จากตารางเพื่อหา
ว่า I คืออะไร แล้วคุณต้องคูณอัตราเร็ว
เชิงมุมกำลังสองของวัตถุนั้น รอบจุดศูนย์กลางมวล
และถ้าคุณบวกสองเทอมนี้เข้าด้วยกัน คุณจะได้
พลังงานจลน์รวมของวัตถุนั้น