메이저리그 야구선수가 던진 속구에 운동에너지가 있음을 우린 분명히 알 수 있습니다 공에 맞으면 당신에게 일을하고 아플 것이기 때문이죠 공에 맞으면 당신에게 일을하고 아플 것이기 때문이죠 조심하는게 좋습니다 제 질문입니다 너클볼이 아닌 대부분의 공은 홈플레이트로 회전하며 떨어집니다 이는 추가적인 운동에너지를 가진 것일까요? 이는 추가적인 운동에너지를 가진 것일까요? 맞습니다 그리고 그 운동에너지를 구하는 것이 이 영상의 목적입니다 맞습니다 그리고 그 운동에너지를 구하는 것이 이 영상의 목적입니다 어떻게 회전하는 물체의 운동에너지를 구할까요? 어떻게 회전하는 물체의 운동에너지를 구할까요? 제가 한번 생각해보죠 제가 한번 생각해보죠 일반적인 운동에너지는 일반적인 운동에너지는 1/2mv² 입니다 그렇다면 회전 운동 에너지를 구해보죠 krot 이라고 쓰겠습니다 그 값은 얼마일까요 회전하는 물체는 관성 모멘트와 질량이 같습니다 질량대신 관성 모멘트를 넣어도 괜찮습니다 회전에 대한 뉴턴의 2법칙에선 질량대신 관성 모멘트가 있죠 회전에 대한 뉴턴의 2법칙에선 질량대신 관성 모멘트가 있죠 회전에 대한 뉴턴의 2법칙에선 질량대신 관성 모멘트가 있죠 그리고 속도를 ²하기보다 각속도를 ²하겠습니다 그리고 속도를 ²하기보다 각속도를 ²하겠습니다 실제 공식이 만들어집니다 공식을 유도할 수도 있지만 단순히 회전하는 물리값을 선형 운동 물체의 각 변수에 대입해 단순히 회전하는 물리값을 선형 운동 물체의 각 변수에 대입해 공식을 계산 할 수 있죠 질량을 회전 질량으로 바꾸면 관성 모멘트를 사용하면 되고 질량을 회전 질량으로 바꾸면 관성 모멘트를 사용하면 되고 속도를 회전 속도로 바꾸면 각속도를 사용해 공식을 구합니다 속도를 회전 속도로 바꾸면 각속도를 사용해 공식을 구합니다 때문에 정확히 이야기하면 이 공식은 증명되진 않았습니다 때문에 정확히 이야기하면 이 공식은 증명되진 않았습니다 그럴듯하다는 것만을 확인했습니다 어떻게 하면 이 공식이 야구공처럼 회전하는 물체의 운동에너지임을 어떻게 하면 이 공식이 야구공처럼 회전하는 물체의 운동에너지임을 증명할 수 있을까요? 일단 이 회전 운동에너지는 새로운 형태의 운동에너지가 아닙니다 일단 이 회전 운동에너지는 새로운 형태의 운동에너지가 아닙니다 원래 보던 운동에너지인데 회전할때 사용할 뿐이죠 원래 보던 운동에너지인데 회전할때 사용할 뿐이죠 무슨 말인가 하면 이 야구공이 회전한다고 생각하죠 야구공의 모든 부분은 속도를 가지고 있죠 여기 위의 지점을 보면 아주 작은 가죽 조각을 상상하세요 어느 정도의 속도를 가지고 있습니다 질량을 M1 속도를 V1이라고 지정하겠습니다 질량을 M1 속도를 V1이라고 지정하겠습니다 비슷한 방법으로 이 가죽 조각을 본다면 질량을 M2 아래를 향하는 속도를 V2라고 지정하겠습니다 질량을 M2 아래를 향하는 속도를 V2라고 지정하겠습니다 그리고 회전축에 가까울 수록 속도는 느리게 갈 것입니다 그리고 회전축에 가까울 수록 속도는 느리게 갈 것입니다 이 지점은 M3 V3라고 하고 속도는 V1과 V2보다는 느립니다 이 지점은 M3 V3라고 하고 속도는 V1과 V2보다는 느립니다 잘 안보이네요 진한 초록색으로 쓰겠습니다 회전축은 여기 공의 중심입니다 M3은 회전축에 가깝기 때문에 먼 지점보다 속도가 느립니다 M3은 회전축에 가깝기 때문에 먼 지점보다 속도가 느립니다 복잡해 보이죠 야구공의 모든 지점들은 다 다른 속도를 가질겁니다 야구공의 모든 지점들은 다 다른 속도를 가질겁니다 회전축에 정말 가까운 지점은 거의 움직이지도 않습니다 M4 V4라고 지정하죠 M4 V4라고 지정하죠 회전 운동에너지는 이런 점들의 운동에너지를 전부 더한겁니다 회전 운동에너지는 이런 점들의 운동에너지를 전부 더한겁니다 회전 운동에너지는 이런 점들의 운동에너지를 전부 더한겁니다 다시말해 K rot는 이 에너지의 총합입니다 다시말해 K rot는 이 에너지의 총합입니다 여기 M1의 운동에너지를 보죠 여기 M1의 운동에너지를 보죠 1/2*M1*V1² 입니다 M2의 운동에너지를 구하는데 속도가 아래를 향합니다 M2의 운동에너지를 구하는데 속도가 아래를 향합니다 하지만 에너지는 벡터가 아니고 V는 ²을 하니 상관 없습니다 하지만 에너지는 벡터가 아니고 V는 ²을 하니 상관 없습니다 하지만 에너지는 벡터가 아니고 V는 ²을 하니 상관 없습니다 하지만 에너지는 벡터가 아니고 V는 ²을 하니 상관 없습니다 1/2*M3*V3 도 같은 방법으로 더해줍니다 불가능해 보이네요 이 야구공에는 끝없는 지점들이 있습니다 언제 다 더하겠습니까 신기한걸 보여주겠습니다 제가 좋아하는 방법인데요 짧고 임팩트 있습니다 보세요 K rot는 그냥 sum입니다 모든 지점의 1/2*M*V²을 더한 것이죠 모든 지점의 1/2*M*V²을 더한 것이죠 이 야구공을 정말 작은 조각으로 분해하는 것을 상상하세요 이 야구공을 정말 작은 조각으로 분해하는 것을 상상하세요 물론 실제로 하라는건 아닙니다 머릿속으로 조각들을 떠올리고 움직임을 상상해보세요 머릿속으로 조각들을 떠올리고 움직임을 상상해보세요 이들의 운동에너지를 다 더하면 회전 운동에너지를 구할 수 있습니다 이들의 운동에너지를 다 더하면 회전 운동에너지를 구할 수 있습니다 불가능해 보이나요 가능합니다 해보죠 다시 써보겠씁니다 문제는 V입니다 모든 지점은 다른 속도를 가집니다 하지만 좋은 방법이 있죠 V를 다시 써보겠습니다 움직이는 것들의 속도는 r*ω(반지름*오메가)입니다 r은 반지름 즉 회전축에서의 거리를 이야기합니다 ω는 각속도입니다 이둘을 곱하면 속도가 나오죠 굉장히 유용한 공식입니다 V를 rω로 대체하겠습니다 ²은 해야겠죠 공식이 더 어려워 보인다고요? 잘 보세요 다시 ²을 풀면 1/2*m*r²*ω²입니다 다시 ²을 풀면 1/2*m*r²*ω²입니다 이게 좋은 이유는 지점마다 속도는 다르지만 각속도는 같기 때문입니다 이게 좋은 이유는 지점마다 속도는 다르지만 각속도는 같기 때문입니다 이게 좋은 이유는 지점마다 속도는 다르지만 각속도는 같기 때문입니다 모든 지점에서 각속도는 같습니다 모든 지점에서 각속도는 같습니다 회전축에서의 거리와 상관없습니다 모든 지점에서 동일하기 때문에 시그마에서 상수들을 빼낼 수 있죠 모든 지점에서 동일하기 때문에 시그마에서 상수들을 빼낼 수 있죠 모든 지점에서 동일하기 때문에 시그마에서 상수들을 빼낼 수 있죠 다시 적어보면 1/2M곱하기 시그마r² 이고 다시 적어보면 1/2M곱하기 시그마r² 이고 다시 적어보면 1/2M곱하기 시그마r² 이고 ω²도 항상 일정하니 빼낼 수 있습니다 ω²도 항상 일정하니 빼낼 수 있습니다 잘 보면 이 항들의 합을 인수분해 하는 겁니다 잘 보면 이 항들의 합을 인수분해 하는 겁니다 여기만 봐도 1/2를 항마다 가지고 있습니다 1/2를 인수분해해 빼내고 M1*V1²+M2*V2²+ 1/2를 인수분해해 빼내고 M1*V1²+M2*V2²+ 1/2를 인수분해해 빼내고 M1*V1²+M2*V2²+ 이런식으로 정리 할 수 있죠 이 식에서도 마찬가지 입니다 1/2와 ω²을 빼낼 수 있죠 이것이 V를 rω로 바꾼겁니다 오메가는 항상 일정함으로 빼낼 수있죠 오메가는 항상 일정함으로 빼낼 수있죠 하지만 아직 질량이 남았습니다 지점마다 질량은 다르죠 하지만 아직 질량이 남았습니다 지점마다 질량은 다르죠 하지만 아직 질량이 남았습니다 지점마다 질량은 다르죠 또한 질량마다 지점이 달라 r²도 항상 바뀝니다 또한 질량마다 지점이 달라 r²도 항상 바뀝니다 또한 질량마다 지점이 달라 r²도 항상 바뀝니다 또한 질량마다 지점이 달라 r²도 항상 바뀝니다 어떻게 하죠? 이 공식이 보이나요? 이 합계는 물체의 관성 모멘트와 동일한 공식입니다 이 합계는 물체의 관성 모멘트와 동일한 공식입니다 물체의 관성 모멘트는 m*r² 입니다 물체의 관성 모멘트는 m*r² 입니다 어느 점의 관성 모멘트는 m*r²이고 다수의 점의 관성 모멘트는 m*r²들의 합산일 겁니다 다수의 점의 관성 모멘트는 m*r²들의 합산일 겁니다 다수의 점의 관성 모멘트는 m*r²들의 합산일 겁니다 이것이 야구공의 총 관성 모멘트입니다 물체의 모양은 상관 없습니다 m*r²의 총합은 물체의 모양은 상관 없습니다 m*r²의 총합은 물체의 모양은 상관 없습니다 m*r²의 총합은 총 관성 모멘트와 같습니다 K rot는 총 관성모멘트에 1/2와 ω²을 곱한 것과 같습니다 K rot는 총 관성모멘트에 1/2와 ω²을 곱한 것과 같습니다 K rot는 총 관성모멘트에 1/2와 ω²을 곱한 것과 같습니다 K rot는 총 관성모멘트에 1/2와 ω²을 곱한 것과 같습니다 처음에 생각으로 유추한 공식이 맞았습니다 문제가 없는 공식입니다 1/2*ω² 값은 항상 같습니다 물체의 모양과 무관하게요 1/2*ω² 값은 항상 같습니다 물체의 모양과 무관하게요 1/2*ω² 값은 항상 같습니다 물체의 모양과 무관하게요 이 공식은 회전축에 대한 모든 점에서 회전 운동에너지를 다 합산합니다 이 공식은 회전축에 대한 모든 점에서 회전 운동에너지를 다 합산합니다 이 공식은 회전축에 대한 모든 점에서 회전 운동에너지를 다 합산합니다 하나 못구하는게 있습니다 하나 못구하는게 있습니다 바로 병진 운동에너지 입니다 야구공이 공기중을 가로지르는 운동에너지는 반영이 안됩니다 야구공이 공기중을 가로지르는 운동에너지는 반영이 안됩니다 야구공이 공기중을 날아가는건 값에 포함되지 않습니다 야구공이 공기중을 날아가는건 값에 포함되지 않습니다 다른말로 물체의 무게중심 자체가 이동하고 있음은 반영되지 않습니다 다른말로 물체의 무게중심 자체가 이동하고 있음은 반영되지 않습니다 다른말로 물체의 무게중심 자체가 이동하고 있음은 반영되지 않습니다 하지만 옆에 이 공식으로 구할 수 있죠 이 공식이 병진 운동에너지입니다 일반적 운동에너지 라고도 하지만 세부화해 병진 운동에너지라고 합니다 일반적 운동에너지 라고도 하지만 세부화해 병진 운동에너지라고 합니다 일반적 운동에너지 라고도 하지만 세부화해 병진 운동에너지라고 합니다 병진 운동에너지의 공식입니다 무게중심이 이동하는데 있는 운동에너지를 말합니다 또 회전 운동에너지 공식으론 회전으로 가지는 에너지를 구합니다 또 회전 운동에너지 공식으론 회전으로 가지는 에너지를 구합니다 또 회전 운동에너지 공식으론 회전으로 가지는 에너지를 구합니다 K rot라고 칭했죠 회전할때 가지는 운동에너지입니다 K rot라고 칭했죠 회전할때 가지는 운동에너지입니다 만약 물체가 이동하고 있으면 병진 운동에너지가 있죠 만약 물체가 이동하고 있으면 병진 운동에너지가 있죠 다른말로 무게중심이 이동 한다는 것입니다 그리고 물체가 이동하고 회전하면 두 종류의 운동에너지를 다 가집니다 그리고 물체가 이동하고 회전하면 두 종류의 운동에너지를 다 가집니다 그리고 물체가 이동하고 회전하면 두 종류의 운동에너지를 다 가집니다 물체가 이동하고 회전하면 총 운동에너지를 구해야 합니다 물체가 이동하고 회전하면 총 운동에너지를 구해야 합니다 단순히 이 두 값을 더하면 됩니다 병진식 운동에너지를 구해보죠 v는 무게중심의 속도입니다 헷갈릴까봐 말씀드리는겁니다 v는 무게중심의 속도입니다 헷갈릴까봐 말씀드리는겁니다 여기 있는 것들을 좀 지우겠습니다 여기 있는 것들을 좀 지우겠습니다 1/2*m*v²을 하면 야구공의 병진식 운동에너지를 구합니다 1/2*m*v²을 하면 야구공의 병진식 운동에너지를 구합니다 1/2*m*v²을 하면 야구공의 병진식 운동에너지를 구합니다 그리곤 1/2*I*ω²을 더하면 전체 운동에너지를 구합니다 그리곤 1/2*I*ω²을 더하면 전체 운동에너지를 구합니다 병진과 회전 운동에너지를 더한 값이지요 좋습니다 이젠 전체 운동에너지를 구할 수 있습니다 좋습니다 이젠 전체 운동에너지를 구할 수 있습니다 한번 실제로 구해보죠 한번 실제로 구해보죠 다 지우겠습니다 이 야구공을 누가 던졌다고 합시다 측정기에 따르면 속도는 40 m/s라고 나옵니다 측정기에 따르면 속도는 40 m/s라고 나옵니다 홈플레이트를 향해 40 m/s의 속도로 이동하고 있네요 무게중심의 속도를 말하는 거죠 무게중심의 속도를 말하는 거죠 또한 공을 회전하게 던진다고 생각합시다 각속도는 50 라디안/s 입니다 각속도는 50 라디안/s 입니다 야구공의 질량은 찾아본 결과 0.145 kg 이라고 합니다 야구공의 질량은 찾아본 결과 0.145 kg 이라고 합니다 야구공의 반지름은 대략 7cm이죠 약 0.07 m인 겁니다 야구공의 반지름은 대략 7cm이죠 약 0.07 m인 겁니다 야구공의 반지름은 대략 7cm이죠 약 0.07 m인 겁니다 운동에너지의 총합을 구합시다 회전 운동에너지와 병진 운동에너지를 더해야 합니다 회전 운동에너지와 병진 운동에너지를 더해야 합니다 병진식 운동에너지는 1/2*m*v² 입니다 병진식 운동에너지는 1/2*m*v² 입니다 야구공의 질량은 0.145 그리고 속도는 40이었습니다 야구공의 질량은 0.145 그리고 속도는 40이었습니다 야구공의 질량은 0.145 그리고 속도는 40이었습니다 야구공의 질량은 0.145 그리고 속도는 40이었습니다 계산하면 병진 운동에너지는 116 J임을 알 수 있습니다 계산하면 병진 운동에너지는 116 J임을 알 수 있습니다 회전 운동에너지를 구해볼까요 공이 회전하고 있음으로 회전 운동에너지를 가지고 있죠 공이 회전하고 있음으로 회전 운동에너지를 가지고 있죠 1/2*I*ω²을 사용해야 합니다 야구공은 구인데요 구의 관성모멘트를 찾아보죠 야구공은 구인데요 구의 관성모멘트를 찾아보죠 모든 m*r²을 구할 수는 없으니깐요 모든 m*r²을 구할 수는 없으니깐요 모든 m*r²을 구할 수는 없으니깐요 수학적인 물리시간에는 책이나 인터넷을 참고하세요 수학적인 물리시간에는 책이나 인터넷을 참고하세요 수학적인 물리시간에는 책이나 인터넷을 참고하세요 구의 관성 모멘트는 2/5*m*r²입니다 2/5*야구공의 질량* 야구공의 반지름의 ²을 말하죠 2/5*야구공의 질량* 야구공의 반지름의 ²을 말하죠 구의 관성모멘트입니다 야구공이 완벽한 구라고 가정하긴 한겁니다 일정한 밀도를 가진가죠 물론 그럴수는 없지만 비슷한 수치일 겁니다 각속도의 ²이죠 각속도의 ²이죠 다시 계산해 보면 1/2*2/5 *야구공의 질량(0.145) *야구공의 반지름 (0.07) ² *야구공의 반지름 (0.07) ² *ω(50)² 까지 곱하면 총 0.355 J이 나옵니다 *ω(50)² 까지 곱하면 총 0.355 J이 나옵니다 *ω(50)² 까지 곱하면 총 0.355 J이 나옵니다 계산해보니 회전에 포함된 운동에너지는 미미합니다 계산해보니 회전에 포함된 운동에너지는 미미합니다 대부분 병진 운동에너지에 포함되어 있죠 대부분 병진 운동에너지에 포함되어 있죠 야구공에 맞는다고 하면 회전해서 아픈 것보단 야구공에 맞는다고 하면 회전해서 아픈 것보단 날라와 아픈것이 더 논리적이죠 대부분의 에너지가 병진 운동에너지이기 때문입니다 대부분 병진 운동에너지가 에너지를 차지하기 때문입니다 대부분 병진 운동에너지가 에너지를 차지하기 때문입니다 어쨌든 총 운동에너지를 구하려면 두가지 에너지를 더해야 합니다 어쨌든 총 운동에너지를 구하려면 두가지 에너지를 더해야 합니다 K total은 병진운동에너지와 회전운동에너지의 합입니다 K total은 병진운동에너지와 회전운동에너지의 합입니다 116 J + 0.355 J을 계산하면 116.355 J의 총합이 나옵니다 116 J + 0.355 J을 계산하면 116.355 J의 총합이 나옵니다 116 J + 0.355 J을 계산하면 116.355 J의 총합이 나옵니다 정리하자면 물체가 회전하고 이동하고 있다면 1/2*m*v²으로 병진 운동에너지를 구하고 1/2*m*v²으로 병진 운동에너지를 구하고 1/2*m*v²으로 병진 운동에너지를 구하고 회전 운동에너지는 1/2*I*ω²인데 물체가 만약 큰 원이라면 I 대신 m*r²을 사용하고 만약 큰 원이라면 I 대신 m*r²을 사용하고 만약 구라면 2/5*m*r²을 사용할 수 있습니다 만약 구라면 2/5*m*r²을 사용할 수 있습니다 원통은 1/2*m*r²으로 대신 할 수 있다고 하네요 관성 모멘트는 표를 통해 찾을 수 있습니다 그리곤 각속도 ²을 곱하면 됩니다 그리곤 각속도 ²을 곱하면 됩니다 그리곤 두 에너지를 더해 물체의 총 운동에너지를 구할 수 있습니다 그리곤 두 에너지를 더해 물체의 총 운동에너지를 구할 수 있습니다