메이저리그 야구선수가 던진 속구에 운동에너지가 있음을
우린 분명히 알 수 있습니다
공에 맞으면 당신에게 일을하고 아플 것이기 때문이죠
조심하는게 좋습니다
제 질문입니다
너클볼이 아닌 대부분의 공은
홈플레이트로 회전하며 떨어집니다
이는 추가적인 운동에너지를 가진 것일까요?
맞습니다 그리고 그 운동에너지를 구하는 것이 이 영상의 목적입니다
어떻게 회전하는 물체의 운동에너지를 구할까요?
제가 한번 생각해보죠
일반적인 운동에너지는
1/2mv² 입니다
그렇다면 회전 운동 에너지를 구해보죠
krot 이라고 쓰겠습니다
그 값은 얼마일까요
회전하는 물체는
관성 모멘트와 질량이 같습니다
질량대신 관성 모멘트를 넣어도 괜찮습니다
회전에 대한 뉴턴의 2법칙에선 질량대신 관성 모멘트가 있죠
그리고 속도를 ²하기보다 각속도를 ²하겠습니다
실제 공식이 만들어집니다
공식을 유도할 수도 있지만
단순히 회전하는 물리값을 선형 운동 물체의 각 변수에 대입해
공식을 계산 할 수 있죠
질량을 회전 질량으로 바꾸면 관성 모멘트를 사용하면 되고
속도를 회전 속도로 바꾸면 각속도를 사용해 공식을 구합니다
때문에 정확히 이야기하면 이 공식은 증명되진 않았습니다
그럴듯하다는 것만을 확인했습니다
어떻게 하면 이 공식이 야구공처럼 회전하는 물체의 운동에너지임을
증명할 수 있을까요?
일단 이 회전 운동에너지는 새로운 형태의 운동에너지가 아닙니다
원래 보던 운동에너지인데 회전할때 사용할 뿐이죠
무슨 말인가 하면
이 야구공이 회전한다고 생각하죠
야구공의 모든 부분은 속도를 가지고 있죠
여기 위의 지점을 보면
아주 작은 가죽 조각을 상상하세요
어느 정도의 속도를 가지고 있습니다
질량을 M1 속도를 V1이라고 지정하겠습니다
비슷한 방법으로 이 가죽 조각을 본다면
질량을 M2 아래를 향하는 속도를 V2라고 지정하겠습니다
그리고 회전축에 가까울 수록 속도는 느리게 갈 것입니다
이 지점은 M3 V3라고 하고 속도는 V1과 V2보다는 느립니다
잘 안보이네요
진한 초록색으로 쓰겠습니다
회전축은 여기 공의 중심입니다
M3은 회전축에 가깝기 때문에 먼 지점보다 속도가 느립니다
복잡해 보이죠
야구공의 모든 지점들은 다 다른 속도를 가질겁니다
회전축에 정말 가까운 지점은 거의 움직이지도 않습니다
M4 V4라고 지정하죠
회전 운동에너지는 이런 점들의 운동에너지를 전부 더한겁니다
다시말해 K rot는 이 에너지의 총합입니다
여기 M1의 운동에너지를 보죠
1/2*M1*V1² 입니다
M2의 운동에너지를 구하는데 속도가 아래를 향합니다
하지만 에너지는 벡터가 아니고 V는 ²을 하니 상관 없습니다
1/2*M3*V3 도 같은 방법으로 더해줍니다
불가능해 보이네요
이 야구공에는 끝없는 지점들이 있습니다
언제 다 더하겠습니까
신기한걸 보여주겠습니다
제가 좋아하는 방법인데요
짧고 임팩트 있습니다 보세요
K rot는 그냥 sum입니다
모든 지점의 1/2*M*V²을 더한 것이죠
이 야구공을 정말 작은 조각으로 분해하는 것을 상상하세요
물론 실제로 하라는건 아닙니다
머릿속으로 조각들을 떠올리고 움직임을 상상해보세요
이들의 운동에너지를 다 더하면 회전 운동에너지를 구할 수 있습니다
불가능해 보이나요
가능합니다
해보죠
다시 써보겠씁니다 문제는 V입니다
모든 지점은 다른 속도를 가집니다
하지만 좋은 방법이 있죠
V를 다시 써보겠습니다
움직이는 것들의 속도는
r*ω(반지름*오메가)입니다
r은 반지름 즉 회전축에서의 거리를 이야기합니다
ω는 각속도입니다
이둘을 곱하면 속도가 나오죠
굉장히 유용한 공식입니다
V를 rω로 대체하겠습니다
²은 해야겠죠
공식이 더 어려워 보인다고요?
잘 보세요
다시 ²을 풀면 1/2*m*r²*ω²입니다
이게 좋은 이유는 지점마다 속도는 다르지만 각속도는 같기 때문입니다
모든 지점에서 각속도는 같습니다
회전축에서의 거리와 상관없습니다
모든 지점에서 동일하기 때문에 시그마에서 상수들을 빼낼 수 있죠
다시 적어보면 1/2M곱하기 시그마r² 이고
ω²도 항상 일정하니 빼낼 수 있습니다
잘 보면 이 항들의 합을 인수분해 하는 겁니다
여기만 봐도 1/2를 항마다 가지고 있습니다
1/2를 인수분해해 빼내고 M1*V1²+M2*V2²+
이런식으로 정리 할 수 있죠
이 식에서도 마찬가지 입니다
1/2와 ω²을 빼낼 수 있죠
이것이 V를 rω로 바꾼겁니다
오메가는 항상 일정함으로 빼낼 수있죠
하지만 아직 질량이 남았습니다 지점마다 질량은 다르죠
또한 질량마다 지점이 달라 r²도 항상 바뀝니다
어떻게 하죠?
이 공식이 보이나요?
이 합계는 물체의 관성 모멘트와 동일한 공식입니다
물체의 관성 모멘트는 m*r² 입니다
어느 점의 관성 모멘트는 m*r²이고
다수의 점의 관성 모멘트는 m*r²들의 합산일 겁니다
이것이 야구공의 총 관성 모멘트입니다
물체의 모양은 상관 없습니다 m*r²의 총합은
총 관성 모멘트와 같습니다
K rot는 총 관성모멘트에 1/2와 ω²을 곱한 것과 같습니다
처음에 생각으로 유추한 공식이 맞았습니다
문제가 없는 공식입니다
1/2*ω² 값은 항상 같습니다 물체의 모양과 무관하게요
이 공식은 회전축에 대한 모든 점에서 회전 운동에너지를 다 합산합니다
하나 못구하는게 있습니다
바로 병진 운동에너지 입니다
야구공이 공기중을 가로지르는 운동에너지는 반영이 안됩니다
야구공이 공기중을 날아가는건 값에 포함되지 않습니다
다른말로 물체의 무게중심 자체가 이동하고 있음은 반영되지 않습니다
하지만 옆에 이 공식으로 구할 수 있죠
이 공식이 병진 운동에너지입니다
일반적 운동에너지 라고도 하지만 세부화해 병진 운동에너지라고 합니다
병진 운동에너지의 공식입니다
무게중심이 이동하는데 있는 운동에너지를 말합니다
또 회전 운동에너지 공식으론 회전으로 가지는 에너지를 구합니다
K rot라고 칭했죠 회전할때 가지는 운동에너지입니다
만약 물체가 이동하고 있으면 병진 운동에너지가 있죠
다른말로 무게중심이 이동 한다는 것입니다
그리고 물체가 이동하고 회전하면 두 종류의 운동에너지를 다 가집니다
물체가 이동하고 회전하면 총 운동에너지를 구해야 합니다
단순히 이 두 값을 더하면 됩니다
병진식 운동에너지를 구해보죠
v는 무게중심의 속도입니다 헷갈릴까봐 말씀드리는겁니다
여기 있는 것들을 좀 지우겠습니다
1/2*m*v²을 하면 야구공의 병진식 운동에너지를 구합니다
그리곤 1/2*I*ω²을 더하면 전체 운동에너지를 구합니다
병진과 회전 운동에너지를 더한 값이지요
좋습니다 이젠 전체 운동에너지를 구할 수 있습니다
한번 실제로 구해보죠
다 지우겠습니다
이 야구공을 누가 던졌다고 합시다
측정기에 따르면 속도는 40 m/s라고 나옵니다
홈플레이트를 향해 40 m/s의 속도로 이동하고 있네요
무게중심의 속도를 말하는 거죠
또한 공을 회전하게 던진다고 생각합시다
각속도는 50 라디안/s 입니다
야구공의 질량은 찾아본 결과 0.145 kg 이라고 합니다
야구공의 반지름은 대략 7cm이죠 약 0.07 m인 겁니다
운동에너지의 총합을 구합시다
회전 운동에너지와 병진 운동에너지를 더해야 합니다
병진식 운동에너지는 1/2*m*v² 입니다
야구공의 질량은 0.145 그리고 속도는 40이었습니다
계산하면 병진 운동에너지는 116 J임을 알 수 있습니다
회전 운동에너지를 구해볼까요
공이 회전하고 있음으로 회전 운동에너지를 가지고 있죠
1/2*I*ω²을 사용해야 합니다
야구공은 구인데요 구의 관성모멘트를 찾아보죠
모든 m*r²을 구할 수는 없으니깐요
수학적인 물리시간에는 책이나 인터넷을 참고하세요
구의 관성 모멘트는 2/5*m*r²입니다
2/5*야구공의 질량* 야구공의 반지름의 ²을 말하죠
구의 관성모멘트입니다
야구공이 완벽한 구라고 가정하긴 한겁니다
일정한 밀도를 가진가죠 물론 그럴수는 없지만
비슷한 수치일 겁니다
각속도의 ²이죠
다시 계산해 보면 1/2*2/5
*야구공의 질량(0.145)
*야구공의 반지름 (0.07) ²
*ω(50)² 까지 곱하면 총 0.355 J이 나옵니다
계산해보니 회전에 포함된 운동에너지는 미미합니다
대부분 병진 운동에너지에 포함되어 있죠
야구공에 맞는다고 하면 회전해서 아픈 것보단
날라와 아픈것이 더 논리적이죠
대부분의 에너지가 병진 운동에너지이기 때문입니다
대부분 병진 운동에너지가 에너지를 차지하기 때문입니다
어쨌든 총 운동에너지를 구하려면 두가지 에너지를 더해야 합니다
K total은 병진운동에너지와 회전운동에너지의 합입니다
116 J + 0.355 J을 계산하면 116.355 J의 총합이 나옵니다
정리하자면 물체가 회전하고 이동하고 있다면
1/2*m*v²으로 병진 운동에너지를 구하고
회전 운동에너지는
1/2*I*ω²인데 물체가
만약 큰 원이라면 I 대신 m*r²을 사용하고
만약 구라면 2/5*m*r²을 사용할 수 있습니다
원통은 1/2*m*r²으로 대신 할 수 있다고 하네요
관성 모멘트는 표를 통해 찾을 수 있습니다
그리곤 각속도 ²을 곱하면 됩니다
그리곤 두 에너지를 더해 물체의 총 운동에너지를 구할 수 있습니다