כאשר שחקן בייסבול בליגה גבוהה זורק
כדור מהיר, לכדור הזה יש ללא ספק אנרגיה קינטית.
אנחנו יודעים את זה כי אם תיכנסו לו בדרך,
זה יבצע עליכם עבודה, זה יכאב.
אתם צריכים להיזהר.
אבל הינה השאלה שלי: האם העובדה שרוב הזריקות,
אלא אם אתם זורקים כדור שרשרת,
האם העובדה שרוב הזריקות מכוונות לקערת הבית
כאשר הכדור מסתובב אומר שלכדור הזה
יש אקסטרה אנרגיה קינטית?
ובכן יש לו, ואיך אנחנו מבררים את זה,
זה המטרה של הוידאו הזה.
איך אנחנו קובעים את אנרגיה הקינטית
הסיבובית של עצם?
ובכן אם הייתי בא לזה בפעם הראשונה,
הניחוש הראשון שלי, אני אומר אוקי,
אני אומר שאני יודע איך אנרגיה קינטית רגילה נראית.
הנוסחא לאנרגיה קינטית רגילה היא
פשוט חצי M V בריבוע.
אז בואו נאמר אוקי, אני רוצה אנרגיה קינטית סיבובית.
תנו לי פשוט לקרוא לזה K סיבובי
ומה זה הולך להיות?
ובכן אני יודע שעצמים שמסתובבים,
הסיבוב השקול של המסה הוא המומנט אינרציה.
אז אני עלול לנחש אוקי במקום מסה,
יהיה לי מומנט אינרציה בגלל שבחוק השני של ניוטון
לתנועה סיבובית אני יודע שבמקום מסה יש שמה
מומנט אינרציה אז אולי אני אחליף את זה
ובמקום מהירות בריבוע, אולי מאחר שיש לי
משהו מסתובב יהיה לי מהירות זוויתית בריבוע.
מסתבר שזה עובד.
אתם יכולים לעיתים קרובות לפשט, זה לא באמת פישוט,
אתם פשוט סוג של מנחשים מושכל אבל אתם יכולים
לעיתים קרובות לקבל נוסחא להקבלה הסיבובית של חלק
מהנוסחאות הקוויות בכך שפשוט תציבו את המקביל הסיבובי
לכל משתנה, אז אם אני מחליף את המסה עם
מסה סיבובית, אני מקבל מומנט אינרציה.
אם אני אחליף מהירות עם מהירות סיבובית,
אני אקבל מהירות זוויתית וזוהי הנוסחא הנכונה.
אז בוידאו הזה הצטרכנו לרכב על זה מכיוון
שזה לא ממש פישוט, אנחנו לא באמת
הוכחנו את זה, רק הראנו שזה נכון.
איך אנחנו מוכיחים שזה האנרגיה הקינטית
הסיבובית של עצם שמסתובב
כמו כדור בייסבול.
הדבר הראשון שצריך להכיר בו הוא שהאנרגיה הקינטית
הסיבובית לא באמת סוג חדש של
אנרגיה קינטית, זה עדיין אותה
אנריגה קינטית רגילה ישנה למשהו שמסתובב.
מה שאני מתכוון בזה זה זה:
דמיינו את הכדור בייסבול הזה מסתובב במעגל.
כל נקודה על הכדור בייסבול נעה במהירות מסוימת,
אז מה שאני מתכוון בזה זה שהנקודה הזאת למעלה
הינה דמיינו את החתיכת עור הקטנה הזאת פה,
תהיה לה מהירות מסוימת קדימה.
אני אקרא למסה הזו M1, לחתיכה הקטנה הזו
של המסה עכשיו ואני אקרא למהירות שלה V1.
באופן דומה, הנקודה הזו על העור כאן,
אני אקרא לה M2, היא תזוז כלפי מטה
כי זה מסתובב במעגל, אז אני אקרא לזה V2
והנקודה הקרובה לציר הולכת לזוז
עם מהירות קטנה יותר כך שהנקודה הזאת פה,
נקרא לה M3, נעה כלפי מטה עם מהירות V3,
היא לא גדולה כמו V2 או V1.
אתם לא יכולים לראות את זה כזה טוב,
אני אשתמש בירוק כהה כך שהמסה M3 פה
קרובה יותר לציר, הציר יהיה בדיוק בנקודה הזו
במרכז, קרובה יותר לציר אז המהירות שלה קטנה יותר
מנקודות שרחוקות יותר מהציר,
אז אתם יכולים לראות שזה די מסובך.
כל הנקודות על הבייסבול הולכות לזוז עם
מהירויות שונות אז נקודות כאן שמאוד
קרובות לציר, בקושי זזות בכלל.
אני אקרא לזה M4 וזה
ינוע במהירות V4.
מה שאנחנו מתכוונים באנרגיה הקינטית הסיבובית
באמת פשוט כל האנרגיה הקינטית הרגילה
למסות הלו יש בערך את המרכז מסה של הכדור בייסבול.
אז במילים אחרות, מה שאנחנו מתכוונים בK סיבובי,
זה שאתם פשוט סוכמים את כל האנרגיות האלו.
יש לכם 1 וחצי, החתיכה הזו של העור
כאן למעלה תהיה חלק מהאנרגיה הקינטית
אז אתם עושים 1 וחצי M1 V1 בריבוע ועוד
ולמסה M2 יש חלק מהאנריגה הקינטית,
אל תדאגו לזה שהיא מכוונת כלפי מטה,
למטה לא משנה לדברים שהם לא וקטורים,
הV הזה עולה בריבוע אז אנריגה קינטית זה לא וקטור
אז זה לא משנה שמהירות אחת מצביעה כלפי מטה
כי זו פשוט המהירות, ובאופן דומה,
אתם תסכמו 1 וחצי M3, V3 בריבוע,
אבל אתם תהיו כזה, זה בלתי אפשרי,
יש אינסוף נקודות על הכדור בייסבול הזה,
איך אני הולך לעשות את זה.
ובכן משהו קסום הולך לקרות,
זה אחד מהפישוטים האהובים עליי,
קצר ומתוק, צפו מה קורה.
K E סיבובי זה פשוט הסכום,
אם אני סוכם את כל אלו, אני יכול לכתוב את זה כהסכום
של כל החצי MV בריבוע של כל נקודה
על הכדור בייסבול הזה אז דמיינו ששוברים את הבייסבול
לחלקים מאוד מאוד קטנים.
אל תעשו את זה פיזית אבל תחשבו על זה מנטלית,
פשוט דמיינו שאנחנו לוקחים בחשבון חלקים מאוד קטנים,
חלקיקים של הכדור בייסבול הזה וכמה מהר הם נעים.
מה שאני אומר זה שאם אני סוכם את כל זה,
אתם תקבלו את האנרגיה הקינטית הסיבובית הכוללת,
זה נראה בלתי אפשר לעשות.
אבל משהו קסום הולך לקרות,
הינה מה שאנחנו יכולים לעשות.
אני יכולים לשכתב, תראו הבעיה פה היא V.
לכל הנקודות האלו יש V שונה,
אבל אנחנו יכולים להשתמש בטריק, טריק שאנחנו אוהבים
להשתמש בפיזיקה, במקום לכתוחב את זה כV,
אנחנו הולכים לכתוב V כ, זוכרים שדברים שנעים
בתנועה סיבובית, V זה פשוט R כפול אומגה.
הרדיוס, כמה רחוק מהציר אתם,
כפול המהירות הזוויתית
נותנת לכם את המהירות הרגילה.
הנוסחא הזו מאוד שימושית, אז אנחנו הולכים להחליף
את V עם אומגה R, וזה יתן לנו R אומגה
ואתם עדיין צריכים להעלות את זה בריבוע ובנקודה זו
אתם כנראה חושבים שזה עוד יותר גרוע,
בשביל מה אנחנו עושים את זה?
ובכן סתכלו, אם אנחנו סוכמים הכל, יהיה לי חצי M
אני אקבל R בריבוע ואומגה בריבוע,
והסיבה שזה עוד יותר טוב היא שאפילו
שלכל נקודה על הכדור הזה יש מהירות שונה V,
לכולם יש את אותה מהירות זוויתית אומגה,
זה מה שהיה טוב למשתנים הזוויתיים
זה שהם אותו דבר בכל נקודה על הכדור בייסבול
לא משנה כמה רחוק אתם מהציר,
ומאחר שהם אותו דבר לכל נקודה אני יכול
להוציא את זה מהסכום אז אני יכול לכתוב
את הסכום הזה ולהביא את כל מה שקבוע
לכל המסות החוצה מהסכום אז אני יכול
לכתוב את זה כחצי כפול הסכום
של M כפול R בריבוע ולסיים את הכמות הזאת,
לסיים את הסכום הזה ופשוט להוציא את האומגה בריבוע החוצה
מכיוון שזה אותו דבר לכל תנאי.
אני למעשה מוציא את זה גורם משותף
תנאים בסכום, זה כמו כאן למעלה,
לכל אלו יש חצי.
אתם יכולים לדמיין להוציא חצי גורם משותף
ופשוט לכתוב את כל הכמות הזו כ
חצי כפול M1 V1 בריבוע ועוד
M2 V2 בריבוע וכך הלאה.
זה מה שאני עושה פה למטה בשביל החצי
ובשביל האומגה בריבוע, אז זה מה שהיה טוב
בזה שהחלפנו את V עם R אומגה.
האומגה היא זהה לכולם,
אתם יכולים להוציא אותה החוצה.
אתם עלולים עדיין להיות מודאגים, אתם תהיו כזה,
אנחנו עדיין תקועים עם הM פה מכיוון
שיש לנו M שונים לכל נקודה.
אנחנו תקועים עם כל הR בריבוע האלו,
לכל הנקודות על הבייסבול הזה יש R שונים,
הן כולם נקודות שונות מהציר,
מרחקים שונים מהציר, אנחנו לא יכולים להביא
אותם החוצה אז עכשיו מה אנחנו עושים, ובכן אם אתם פיקחים
אתם תזהו את המונח הבא.
המונח הסכום הזה הוא כלום חוץ מהמומנט
אינרציה הכולל של העצם.
זוכרים שהמומנט אינרציה של עצם,
למדנו מקודם, זה פשוט M R בריבוע,
אז המומנט אינרציה של מסה נקודתית
זה M R בריבוע והמומנט אינרציה
של כמה נקודות עם מסות זה הסכום של כל
הM R בריבוע וזה מה שיש לנו כאן,
זה פשוט המומנט אינרציה של הכדור בייסבול הזה
או לא משנה מה העצם הזה, זה אפילו לא חייב להיות
בצורה מסוימת, אנחנו סוכמים את כל
הM R בריבוע, זה תמיד יהיה
המומנט אינרציה הכולל.
אז מה שמצאנו זה שהK הסיבובי
שווה לחצי כפול הביטוי הזה,
שהוא I, המומנט אינרציה,
כפול אומגה בריבוע וזה הנוסחא
שקיבלנו כאן למעלה רק מניחוש.
אבל זה למעשה עובד וזה למה זה עובד,
בכלל שאתם תמיד תקבלו את הביטוי הזה כאן למטה,
שהוא חצי I אומגה בריבוע, לא משנה מה
הצורה של העצם.
אז מה שזה אומר לכם, מה הביטוי הזה
נותן לנו זה את האנרגיה הקינטית הסיבובית הכוללת
של כל הנקודות על המסה מהמרכז
של המסה אבל הינה מה שזה לא נותן לך
המונח הזה כאן לא כולל
את האנרגיה הקינטית בתנועה אז העובדה ש
הכדור בייסבול הזה עף באוויר לא אומר
שזה כלול בנוסחא הזו.
לא לקחנו בחשבון את העובדה
שהכדור בייסבול הזה נע באוויר
במילים אחרות, לא לקחנו בחשבון
שהמרכז מסה של הכדור בייסבול הזה
נע באוויר.
אבל אנחנו יכולים לעשות את זה בקלי קלות עם הנוסחא כאן.
זה האנרגיה הקינטית החיצונית.
לפעמים במקום לכתוב אנרגיה קינטית רגילה,
עכשיו כשיש לנו 2, אנחנו צריכים להבהיר שזה
אנרגיה קינטית חיצונית.
יש לנו נוסחא לאנרגיה קינטית חיצונית,
האנרגיה שיש למשהו כנגד העובדה שהמרכז
מסה של העצם הזה נע ויש לנו נוסחא
שלוקחת בחשבון את העובדה שלמשהו יכול להיות
אנרגיה קינטית כתוצאה מהסיבוב שלו.
זה הK הסיבובי, אז אם עצם מסתובב,
יש לו אנרגיה קינטית סיבובית.
אם עצם נע יש לו
אנרגיה קינטית של תנועה,
לדוגמא, אם מרכז מסה נע,
ואם החפץ נע ומסתובב
אז יהיה לו את שני האנרגיות הקינטיות האלו,
שניהם באותו זמן וזה הדבר היפה.
אם עצם נע ומסתובב ואתם רוצים
למצוא את האנרגיה הקינטית הכוללת של כל הדבר,
אתם יכולים פשוט לסכום את שני הדברים האלו.
אם אני פשוט לוקח את החצי M V בריבוע,
וזה יהיה המהירות של המרכז מסה.
אז אתם צריכים להיות זהירים.
בואו נעשה קצת מקום פה, אז תנו לי להיפטר
מכל הדברים פה.
אם אתם לוקחים חצי M כפול המהירות של המרכז מסה
בריבוע, אתם תקבלו את האנריגה הקינטית הכוללת
של הבייסבול.
ואם אנחנו מוסיפים לזה חצי I אומגה בריבוע,
כך שהאומגה נוגעת למרכז מסה, אתם תקבלו
את האנרגיה הקינטית הכוללת, גם רגילה וגם סיבובית,
אז זה מעולה, אנחנו יכולים לקבוע את האנרגיה הקינטית הכוללת
ביחד, תנועה סיבובית ותנועה קווית,
בכך שרק ניקח את שני המונחים האלו ונחבר אותם.
אז איך תהיה דוגמא לזה,
בואו פשוט ניפטר מכל זה.
בואו נאמר שהכדור בייסבול הזה, מישהו זרק אותו,
והרדר הראה שהכדור עף
באוויר במהירות של 40 מטרים לשנייה.
אז הוא נע למגרש הבית ב40 מטרים לשנייה
המרכז מסה של הכדור בייסבול הזה נע
במהירות של 40 מטרים לשנייה לכיוון מגרש הבית.
בואו נאמר שהוא גם, מישהו באמת זרק את הכדור מהר.
הדבר הזה מסתובב עם מהירות זוויתית
של 50 רדיאנים לשנייה.
אנחנו יודעים את המסה של הכדור, בדקתי את זה.
המסה של כדור בייסבול היא בערך 0.145 קילוגרם
והרדיוס של הכדור בייסבול, אז הרדיוס של בייסבול
הוא בערך 7 סנטימטרים, אז במונחים של מטרים
זה יהיה 0.07 מטרים, אז אנחנו יכולים לברר
מהי האנרגיה הקינטית הכוללת, ובכן הולך להיות
אנרגיה קינטית סיבובית והולך להיות
אנריגה קינטית רגילה.
האנרגיה הקינטית הרגילה, תהיה חצי
המסה של הכדור כפול מהירות מרכז המסה
של הבייסבול בריבוע מה שיתן לנו חצי
המסה של הכדור הייתה 0.145 והמהירות מרכז מסה
הייתה 40, זה כמה מהר המרכז מסה
של הבייסבול נע.
אם אנחנו סוכמים את כל זה אנחנו מקבלים 116 ג'אול של אנרגיה קינטית
רגילה.
כמה אנרגיה קינטית סיבובית יש,
אז יהיה לנו אנרגיה קינטית סיבובית
מהעובדה שהכדור גם מסתובב.
כמה, ובכן אנחנו נשתמש בחצי I אומגה בריבוע.
יהיה לי חצי, מה ה I, ובכן הכדור בייסבול הוא
כדור, אם אתם מסתכלים על המומנט אינרציה של כדור
בגלל שאני לא רוצה להיות חייב לעשות סכום של כל
הM R בריבוע, אם תעשו את זה עם אינפי,
אתם תקבלו את הנוסחא הזו.
זה אומר שבאלגברה בשיעור פיזיקה
אתם פשוט צריכים לחפש את זה, זה או במחברת שלכם
או בשולחן או שאתם תמיד יכולים להסתכל באינטרנט.
לכדור המומנט אינרציה הוא 2 חמישיות M R בריבוע
במילים אחרות 2 חמישיות המסה של הכדור בייסבול
כפול הרדיוס של הבייסבול בריבוע.
זה פשוט I, זה המומנט אינרציה של כדור.
אז אנחנו מניחים שהכדור בייסבול הזה הוא כדור מושלם.
יש לו צפיפות לא אחידה, זה לא לגמרי אמיתי.
אבל זו הנחה די טובה.
ואז אנחנו מכפילים באומגה בריבוע הזה,
המהירות הזוויתית בריבוע.
אז מה אנחנו מקבלים, אנחנו מקבלים חצי כפול
2 חמישיות, המסה של הכדור הייתה 0.145
הרדיוס של הכדור היה בערך, מה אמרנו,
0.07 מטרים, אז ה0.07 מטרים בריבוע ואז לבסוף
אנחנו מכפילים באומגה בריבוע שזה
50 רדיאנים לשנייה ואנחנו מעלים בריבוע
וזה נסכם ל0.355 ג'אול
אז בקושי חלק מהאנרגיה הקינטית של הבייסבול
באה מהסיבוב.
כמעט כל האנריגה באה מהתנועה
וזה די הגיוני.
זה העובדה שהכדור נע קדימה
לכיוון מגרש הבית זה יהיה כואב אם זה יפגע בכם
בניגוד לעובדה שזה הסתובב כאשר
זה פגע בכם, זה לא באמת גורם כזה נזק
כמו העובדה שהאנרגיה הקינטית של הכדור
היא בעיקר בצורה של אנרגיה קינטית רגילה.
אבל אם תרצו את האנרגיה הקינטית הכוללת של הבייסבול,
אתם תסכמו את שני התנאים האלו.
K כולל יהיה האנרגיה הקינטית הרגילה
ועוד האנרגיה הקינטית הסיבובית.
זה אומר שהאנרגיה הקינטית הכוללת שהיא ה116 ג'אול
ועוד 0.355 ג'אול שנותן לנו
116.355 ג'אול.
אז לסיכום אם עצם גם מסתובב
וגם נע באוויר, אתם יכולים למצוא את האנרגיה
הקינטית הרגילה בכך שתשתמשו בחצי M המהירות של
המרכז מסה של העצם בריבוע ואתם יכולים
למצוא את האנרגיה הקינטית הסיבובית בכך שתשתמשו
בחצי I, המומנט אינרציה.
לא משנה איזה צורה זה,
אם זה מסה נקודתית שנעה במעגל ענק
אתם יכולים להשתמש ב M R בריבוע, אם זה כדור
שמסתובב סביב במרכז שלו אתם יכולים להשתמש ב2 חמישיות
M R בריבוע, לצילינדר יש חצי M R בריבוע,
אתם יכולים להסתכל על אלו בטבלאות כדי לברר
איזה I אתם צריכים כפול המהירות
הזוויתית בריבוע של העצם סביב המרכז מסה שלו.
ואם אתם סוכמים את 2 אלו אתם מקבלים
את האנרגיה הקינטית הכוללת של העצם הזה.