Böyük liqa beysbolçusu topu sürətlə
atanda,o topun mütləq kinetik enerjisi olur.
Bunu bilirik ki, əgər topun qarşısına çıxsanız
o sizin üzərinizdə iş görəcək. Sizi incidə bilər.
Diqqət etməlisiniz.
Amma mənim sualım belədir: Əksər meydançalarda,
sizin topu atmadığınız halda,
sadəcə topun öz özünə fırlanması ilə
əsas lövhəyə doğru yönəlməsi, sizcə topun əlavə
kinetik enerjiyə malik olması deməkdir mi?
Yaxşı bunu necə başa düşə bilərik?
Bu videonun əsas məqsədi budur.
Bir cismin fırlanma kinetik enerjisinin nə
olduğunu necə müəyyənləşdirə bilərik?
Əgər mən bu işi ilk dəfə etsəydim,
düşünərdim ki,
adi kinetik enerjinin necə olduğunu bilirəm.
Adi kinetik enerjinin düsturu
1/2 m v kvadratdır.
Deyək ki, mənə fırlanma kinetik enerji lazımdır.
Gəlin, bunu k fırlanma adlandırım
və bu nə olacaq?
Yaxşı, mən fırlanan obyektləri bilirəm,
kütlənin fırlanma ekvivalenti ətalət momentidir.
Beləliklə, mən kütlə əvəzinə
ətalət momentini yazacağam. Çünki
fırlanma üçün Nyutonun 2-ci qanununda kütlə əvəzinə
ətalət momenti yazılır, yəni əvəz etmək mümkündür.
Sürətin kvadratının əvəzinə də, fırlanan bir cisimdir deyə
bucaq sürətinin kvadratı kimi yaza bilərəm.
Belə çıxır ki, bu doğrudur.
Siz tez-tez törəmə edə bilərsiniz, bu, həqiqətən bir törəmə deyil,
sadəcə bir növ məntiqli şəkildə təxmin edirsiniz,
amma bəzən xətti ifadələrin fırlanma qarşılığı üçün düsturu
hər bir dəyişəni fırlanma qarşılığı ilə
əvəz edərək ala bilərsiniz.
Beləliklə, mən kütləni fırlanma kütləsi ilə əvəzləyib ətalət momentini almışam.
Sürəti fırlanma sürəti ilə əvəz etsəm,
bucaq sürətini alıram və bu düzgün düsturdur.
Beləliklə, bu videoda bizim ehtiyacımız olan şey
bunun əslində həqiqi törəmə olmadığını göstərməkdir
çünki bunu sübut etmədik, sadəcə bunun həqiqi olduğunu göstərdik.
Bu beysbol topu kimi fırlanan bir cismin
fırlanma kinetik enerjisi olduğunu
necə sübut edək?
Bilməli olduğumuz ilk şey budur ki, bu fırlanma
kinetik enerjisi əslində yeni bir növ
kinetik enerji deyil, fırlanan bir şey üçün
hələ də eyni köhnə adi kinetik enerjidir.
Demək istədiyim budur.
Təsəvvür edin ki, bu top bir dairədə fırlanır.
Topun hər bir nöqtəsi müəyyən bir sürətlə hərəkət edir,
demək istədiyim odur ki,
topun ən yuxarı hissəsini kiçik bir dəri parçası
kimi təsəvvür etsək, o irəli doğru sürət alacaq.
Mən bu kiçik kütləli hissəni M bir və onun
sürətini V adlandıracağam.
Eynilə, dəri üzərindəki bu nöqtəni, mən M iki
adlandıracağam. Bu, fırlanan bir dairə olduğu üçün aşağıya
doğru hərəkət edəcək, beləliklə, bunu da V iki adlandıracağam
və oxa yaxın olan nöqtələr daha kiçik sürətlə hərəkət
edəcək, buna görə də bu nöqtəni biz M üç
adlandıracağıq, V üç sürəti ilə aşağı hərəkət edəcəyik,
amma bu V iki və ya V bir qədər böyük deyil.
Siz bunu yaxşı görə
bilmirsiz, mən daha tünd yaşıl rəngdən istifadə edəcəyəm.
Oxa yaxın hissə M üçdür. Deyək ki, mərkəz də bu
nöqtədir. Oxa daha yaxın olduğundan bunun sürəti
oxdan uzaq nöqtələrdə olanlara nisbətən kiçikdir.
Bir az qarışıqdır.
Bu topun bütün nöqtələri fərqli sürətlə
hərəkət edəcək, belə ki, buradakı nöqtələr oxa çox
yaxındır və demək olar ki, hərəkət etmir.
Mən bunu M dörd adlandıracağam və o
V dörd sürəti ilə hərəkət edəcək.
Fırlanma kinetik enerji dedikdə,
əslində, bu kütlələrin topun kütlə
mərkəzinə aid olduğu bütün adi kinetik enerji nəzərdə tutulur.
Başqa sözlə, K fırlanma, sizin bütün
bu enerjiləri cəmləməli olduğunuzu bildirir.
Əmsalda 1/2 var, buradakı kiçik dəri hissəsinin
bir az kinetik enerjisi olacaq,
ona görə də 1/2 M bir, V bir kvadratı üstəgəl M iki V iki kvadratı
M ikinin də müəyyən kinetik enerjisi olduğuna görə cəmlədik.
Narahat olmayın. O aşağıya doğru olsa da
vektor olmadığı üçün əhəmiyyət kəsb etmir.
Bu V kvadrat olur, ona görə də kinetik enerji vektorial deyil,
ona görə də V iki sürətinin aşağı doğru olmasının
əhəmiyyəti yoxdur, çünki bu, sadəcə, sürətdir və
buna bənzər şəkildə, 1/2 M üç V üç kvadratını əlavə edirsiniz,
amma ola bilsin düşünə bilərsiniz ki, bu
mümkün deyil, çünki bu topda sonsuz sayda nöqtə
var, mən bunu necə edəcəyəm?
Yaxşı, sehrli bir şey olacaq,
bu mənim sevimli kiçik törəmələrimdən biridir.
Nə baş verdiyini izləyin.
Bütün bunları toplasam, K fırlanma
bütün bunların cəmidir. Mən, bu topun hər bir
nöqtəsini 1/2 M V kvadratlarının cəmi kimi yaza bilərəm.
Bu beysbol topunu çox, çox kiçik parçalara ayırdığınızı
təsəvvür edin.
Bunu fiziki olaraq etməyin,ancaq zehni olaraq,
sadəcə, bu topun çox kiçik hissələrini,
hissəciklərini nə qədər sürətlə getdiyini nəzərə alaraq təsəvvür edin.
Demək istədiyim odur ki, bütün bunları əlavə etmək və
ümumi fırlanma kinetik enerjisini almaq,
qeyri-mümkün görünür.
Amma sehrli bir şey baş verəcək,
Bunu burada edəcəyik.
Biz yenidən yaza bilərik, burda problem V-dir.
Bütün bu nöqtələrin V sürəti fərqlidir,
lakin biz bunu V olaraq yazmaq əvəzinə
fizikada etməyi sevdiyimiz bir hiylədən istifadə
edə bilərik, biz V kimi yazmaq yerinə, bilirik
ki, fırlanan şeylər üçün V sadəcə R vur omeqadır.
Radius, hansı ki, oxdan nə qədər uzaq olduğunuzu
bildirir, vurulsun bucaq sürəti. Bu da sizə
normal sürəti verir.
Bu düstur həqiqətən çox əlverişlidir, ona görə də biz V-ni
R vur omeqa ilə əvəz edəcəyik, bu bizə R omeqa verəcək
və siz hələ onu kvadratlaşdırmalısınız və düşünə bilərsiniz ki,
bunu belə hesablamaq pisdir, yaxşı
bunun üçün nə edirik.
Baxın, bunu əlavə etsək, 1/2 M,
R kvadratı və omeqa kvadratı alacağam
və bunun əslində daha yaxşı olmasının səbəbi
odur ki, bu topda hər bir nöqtə fərqli V sürətinə malik olsa da,
onların hamısı eyni bucaq sürəti yəni omeqaya malikdir.
Bu bucaq kəmiyyətlərinin yaxşı cəhəti odur ki, oxdan nə
qədər uzaq olmağınızdan asılı olmayaraq, topun hər
nöqtəsi üçün eynidir
və onlar hər nöqtə üçün eyni olduğuna görə mən
onu toplamadan mötərizə xaricinə çıxara bilərəm. Bu cəmi yenidən
yazsaq, ümumiyyətlə, bütün kütlələr olan sabitləri
mötərizə xaricinə çıxara bilərəm, buna görə də bunu
M vur R kvadratının cəminin yarısı kimi yaza bilərəm.
Bu toplamanı
bitirmək üçün omeqanı kvadrat şəklində mötərizə xaricinə
çıxarıram, çünki hər bir termin üçün eynidir.
Mən, əsasən, bütün bu şərtləri toplamada
əmsallaşdırıram, burada olduğu kimi,
bunların hamısı 2-yə bölünür.
Təsəvvür edin ki, 1/2-i
ayırıb bu bütöv
kəmiyyəti 1/2 M bir V bir kvadrat
üstəgəl M iki və V iki kvadrat və s. kimi yazıram.
Mən burada bunu 1/2, omeqa kvadratı
üçün edirəm, ona görə də,
V-ni R vur omeqa ilə əvəz etmək daha yaxşıdır.
Omeqa hamısı üçün eynidir,
bunu çıxara bilərsiniz.
Siz hələ də narahat ola bilərsiniz,
deyə bilərsiniz ki, hələ də M-də problem var,
çünki fərqli nöqtələrdə M-lər fərqlidir.
Biz burada bütün bu R kvadratlarında ilişib
qalmışıq, topdakı bütün bu nöqtələrin R-ləri fərqlidir,
hamısı oxdan fərqli nöqtələrdir,
oxdan fərqli məsafələrdir. Biz bunları xaricə
çıxara bilmirik. Bəs nə edək? Əgər zirəksinizsə,
bu ifadəni tanımalısınız.
Bu ifadə cismin ümumi ətalət momentindən
başqa bir şey deyil.
Unutmayın ki, əvvəllər öyrəndiyimiz bir cismin
ətalət momenti sadəcə M vur R kvadratıdır.
Buna görə də nöqtənin ətalət momenti
M R kvadratıdır və bu nöqtələrin hamısının
kütləsinin ətalət momenti bütün M R kvadratlarının cəmidir.
Bizim burada əldə etdiyimiz, sadəcə,
topun ətalət momentidir.
Hər hansı obyektin xüsusi formada olmasına
ehtiyac yoxdur, biz bütün M R
kvadratlarını cəmləyəcəyik, bu həmişə ümumi
ətalət momenti olacaq.
Beləliklə, tapdığımız budur ki, K fırlanma bu
kəmiyyətin yarısına bərabərdir,
yəni I, ətalət momenti vur omeqa
kvadratı. Düstur budur. Biz buraya qədər
ancaq təxmin edərək gəldik,
amma, əslində, bu, düzdür,
çünki siz həmişə bu kəmiyyəti
buradan alırsınız, yəni obyektin forması nə olursa
olsun omeqa kvadratının yarısıdır.
Beləliklə, bu sizə nə deyir? Bu
kəmiyyətin bizə verdiyi şey, kütlənin mərkəzindəki
bütün nöqtələrin ümumi fırlanma kinetik enerjisidir,
lakin burada sizə verilmir.
Buradakı bu ifadəyə çevrilmə kinetik
enerjisi daxil deyil, ona görə də bu
topunun havada uçması faktı
bu düstura daxil edilmir.
Topun havada hərəkət etməsini
nəzərə almadıq, başqa sözlə desək,
bu topun faktiki kütlə
mərkəzinin havada çevrildiyini
nəzərə almadıq.
Ancaq bu düsturla bunu asanlıqla edə
bilərik. Bu çevrilmə kinetik enerjisidir.
Bəzən adi kinetik enerjini yazmaq əvəzinə,
bunun həqiqətən də çevrilmə kinetik
enerjisi olduğunu müəyyən etməliyik.
Bir şeyin enerjisini, o cismin kütlə mərkəzinin hərəkət etməsi ilə bağlayan
çevrilmə kinetik enerjisi üçün bir düstur var və
bu düstura görə
fırlanan bir cism kinetik enerjiyə
sahibdir.
Bu K fırlanmadır, ona görə də cisim fırlanırsa,
onun fırlanma kinetik enerjisi var.
Bir cisim çevrilirsə, onun
çevrilmə kinetik enerjisi var,
yəni kütlə mərkəzi hərəkət edirsə,
və cisim çevrilirsə və ya fırlanırsa, bu kinetik enerjilərin hər ikisinə
sahib olacaq. Hər ikisinə eyni
anda və bu gözəl şeydir.
Əgər obyekt çevrilirsə və fırlanırsa və siz bütün şeyin ümumi
kinetik enerjisini tapmaq istəyirsinizsə, sadəcə olaraq
bu iki ifadəni toplaya bilərsiz.
Əgər yalnız çevrilmənin 1/2 M V kvadratını götürsəm,
bu kütlə mərkəzinin sürəti olacaq.
Buna görə diqqətli olmalısınız.
İcazə verin, burada bir az yer ayırım
bütün bunlardan qurtarım.
Kütlə mərkəzinin sürətinin kvadratı vur 1/2 M götürsəniz,
topun ümumi çevrilmə kinetik
enerjisini əldə edəcəksiniz.
Və buna 1/2 omeqa kvadratını əlavə etsək,
(kütlə mərkəzinin omeqası) siz tam kinetik enerjini,
həm fırlanma, həm də çevrilməni alacaqsınız.
Bu əladır, ümumi kinetik enerjini təyin edə bilərik,
fırlanma hərəkəti, çevrilmə hərəkəti, yalnız bu iki
ifadəni götürüb topladıq.
Buna misal olaraq nə ola bilər
gəlin bütün bunları silim.
Tutaq ki, bu beysbol topu, kimsə bu şeyi atdı
və cihazla bu beysbolun saniyədə 40 metr
sürətlə havaya atıldığını öyrəndik.
Topun kütlə mərkəzi
saniyədə 40 metr sürətlə
mərkəzə doğru gedir.
Deyək ki, kimsə həqiqətən sürətlə topu atır.
Bu şey saniyədə 50 radyan bucaq
sürəti ilə fırlanır. Biz
topun kütləsini bilirik, ona baxmışam.
Topun kütləsi təxminən 0,145 kiloqramdır,
radiusu isə
təxminən yeddi santimetrdir, buna görə də metr baxımından
bu 0,07 metr olacaqdır, beləliklə, biz ümumi kinetik
enerjinin nə olduğunu tapa bilərik, bu, fırlanma
kinetik enerjisi və çevrilmə kinetik
enerjisi olacaq.
Çevrilmə kinetik enerjisi topun kütləsinin
yarısı vurulsun topun kütlə mərkəzinin sürətinin
kvadratıdır və o bizə 1/2 verəcəkdir.
Topun kütləsi 0.145 , kütlə mərkəzinin sürəti
isə 40-dır, bu topun kütlə mərkəzi
belə sürətlə hərəkət edir.
Bütün bunları toplasaq, 116 coul sabit
çevrilmə kinetik enerjisi alırıq.
Orada nə qədər fırlanma kinetik enerjisi var,
topun da döndüyünə görə fırlanma
kinetik enerjimiz olacaq.
Nə qədər? Omega kvadratı yarısını
istifadə edəcəyik. Məndə 1/2
olacaq, l nədir, yaxşı ki, top kürədir, əgər sferanın
ətalət momentinə baxsanız, mən bütün M R
kvadratlarının cəmini etmək istəmirəm, əgər bunu etsəniz hesablamadan istifadə
edərək bu düsturu əldə edirsiniz.
Bu o deməkdir ki, cəbrə əsaslanan fizika dərsində sadəcə olaraq
buna baxmaq lazımdır, bu ya kitabda qrafikdə, ya
cədvəldə var, ya da onlayn olaraq internetdən axtara bilərsiniz.
Bir kürə üçün ətalət momenti beşdə iki M R
kvadratıdır, yəni topun kütləsinin beşdə ikisi vur
radiusunun kvadratına bərabərdir.
Bu I kürənin ətalət momentidir.
Biz topun mükəmməl bir kürə olduğunu fərz edirik.
Onun vahid forması var ki, bu tamamilə doğru deyil.
Amma olduqca yaxşı bir təxmindir.
Sonra bu omeqa kvadratını bucaq sürətinin
kvadratına vururuq.
Beləliklə, biz nə alacağıq, 1/2 vur 2 böl
5 vur, topun kütləsi hansı k,i o 0.145 idi
vur topun radiusu, təxminən 0.07 metr
yəni 0.07 metr kvadrat və nəhayət, vur omeqa kvadratı
və bu da, 50 radyan böl
saniyə edəcək və biz onu kvadrata alırıq ki,
bu da 0,355 Couldur.
Çətin ki, bu topun enerjilərindən biri onun
fırlanması andında olsun.
Demək olar ki, bütün enerji çevrilmə enerjisi
şəklindədir, bu bir növ məna kəsb edir.
Bu beysbol topu mərkəzə doğru
atılanda, o sizə dəysə sizi incidəcək.
Əksinə, o sizə dəydikdə fırlansa
çox da incitməyəcək.
Çünki topun kinetik enrjisinin çox hissəsi
çevrilmə kinetik enerjisi şəklindədir.
Ancaq beysbolun ümumi kinetik enerjisini istəsəniz,
bu şərtlərin hər ikisini toplayırsınız.
Ümumi K çevrilmə kinetik enerjisi və fırlanma
kinetik enerjisinin cəmi olacaqdır.
Bu, 116 Coul üstəgəl
0.355 Coul, yəni 116.335 Coul ümumi
kinetik enerji deməkdir.
Beləliklə, əgər bir cisim həm fırlanır,
həm də çevrilirsə, o cismin
M kütlə mərkəzinin sürətinin kvadratından istifadə
edərək çevrilmə kinetik enerjisini tapa bilərsiniz və fırlanma kinetik
enerjisini 1/2 I, ətalət momentindən istifadə
etməklə tapa bilərsiniz.
Onun hansı formada olmasından asılı
olmayaraq nəticə çıxaracağıq, əgər
bu nəhəng bir çevrədə gedən nöqtənin kütləsidirsə,
MR kvadratından istifadə edə bilərsiniz. Əgər mərkəzi
ətrafında fırlanan bir kürədirsə, MR kvadratının beşdə ikisini
istifadə edə bilərsiniz. Silindrlər 1/2 MR kvadratdır,
I-nin nə olduğunu tapmaq üçün cədvəllərə baxa bilərsiniz. Sonra
lazım olan kütlə mərkəzinə aid obyektin bucaq sürətinin kvadratı ilə vurursunuz.
Bu iki ifadəni toplasanız, həmin
obyektin ümumi kinetik enerjisini alırsız.