ترجمة عبدالله السويطي عندما يرمي لاعب كرة بيسبول
بسرعة كبيرة، حتما فإن الكرة تكتسب طاقة حركية
ونعلم أنه إذا كنت في طريق الكرة
فإنها تؤثر عليك بشغل وقد تؤذيك
فعليك توخي الحذر
ولكن سؤالي هل في الحقيقة معظم الرميات
هل في الحقيقة أن معظم الرميات باتجاه المرمى
وبدوران كرة البيسبول تعني أن للكرة
طاقة حركية إضافية؟
نعم لديها، وكيف نكتشف ذلك؟
هذا هو هدف الفيديو
كيف يمكن تحديد الطاقة الحركية
الدورانية للجسم؟
حسناً إذا تعرضنا لهذه الفكرة لأول مرة
فإننا نتوقع بدايةً
حسناً نقول ماهي الطاقة الحركية
إن معادلة الطاقة الحركية هي
نصف الكتلة ضرب مربع السرعة
هذه هي الطاقة الحركية فماذا عن الحركية الدورانية
نفرض k الدورانية
وماذا تساوي؟
حسناً نعلم أنه للأجسام الدورانية
أن الدوران المعادل للكتلة هو عزم القصور الذاتي
إذاً عوضاً عن الكتلة
لدينا عزم القصور الذاتي وذلك بسبب قانون نيوتن الثاني
في حالة الدوران نعلم أنه عوضاً عن الكتلة
يكون عزم القصور الذاتي
وبسبب دوران الجسم فعوضاً عن مربع السرعة
يكون مربع السرعة الزاوية
يمكنك غالباً الاشتقاق، ليس بالتحديد
ولكنه نوع من التخمين العلمي، فيمكنك
استنتاج صيغة معادلة للدوران من
معادلة خطية وذلك فقط عن طريق التعويض
عن كل متغير، فإذا عوضنا عن الكتلة
بالكتلة الدورانية، نحصل على عزم القصور الذاتي
وإذا عوضنا عن السرعة بالسرعة الدورانية
نحصل على السرعة الزاوية وهذه هي صيغة معادلة صحيحة.
وفي هذا الفيديو نحتاج إلى الأخذ بهذا السبب
لأنه ليس اشتقاقاً فعلياً ، فإننا لم نثبت ذلك
إنما فقط وضحنا أن ذلك ممكناً.
كيف يمكن إثبات أن هذه هي الطاقة
الحركية الدورانية لجسم ما يدور
ككرة البيسبول.
يجب علينا أن ندرك أولاً أن هذه
الطاقة الحركية الدورانية هي ليست نوع جديد
من الطاقة الحركية إنما هي نفس الطاقة
الحركية لجسم ما يدور.
أعني بذلك
تخيل أن كرة البيسبول تدور في دائرة
وكل نقطة من هذه الكرة تتحرك بنفس السرعة
أعني أن هذه النقطة في الأعلى
تخيل قطعة من جلد الكرة هنا
وتوجد سرعة ما في هذا الاتجاه
وأسمي هذه القطعة بـ M1 ، فلدينا
كتلة وسرعتها V1
وبالمثل هذه النقطة من جلد الكرة هنا
نسميها M2 وتتحرك باتجاه الأسفل
بسبب دوران الكرة في دائرة، وسرعتها V2
أما النقاط القريبة من المحور فإنها تتحرك
بسرعة أقل من هذه النقطة
وأسميها M3 وتتحرك باتجاه الأسفل بسرعة V3
والتي تقل عن السرعتين V2 وV1
الخط ليس واضحاً هنا
أستخدم لون أخضر أغمق، إذاً M3
قريبة من المحور، والذي يوجد عند هذه النقطة تحديداً
في المنتصف، وبما أنها قريبة من المحور فإن سرعتها تكون أقل
من النقاط التي تبعد عن المحور
إذا تعتقد انه معقداً نوعاً ما
فكل النقاط على كرة البيسبول تتحرك
بسرعات مختلفة، فهذه النقاط
القريبة من المحور بالكاد تتحرك على الإطلاق
أسمي هذه النقطة بـ M4
وتتحرك بسرعة V4
المقصود بالطاقة الحركية الدورانية هو
حقيقةً مجمل الطاقة الحركية القياسية
التي تملكها كل هذه النقاط حول مركز الكرة
إذاً بمعنى آخر يقصد بـ K الدورانية
فقط حاصل جمع طاقة كل النقاط
لدينا نصف، إن لقطعة جلد الكرة
هنا طاقة حركية
إذاً نكتب نصف الكتلة1 ضرب السرعة1 تربيع زائد
وأيضاً M2 تملك طاقة حركية
ولاتقلق بشأن اتجاهها إلى الأسفل
فالاتجاه لا يعنينا للكميات الغير متجهة
ضرب مربع السرعة، بما أن الطاقة الحركية ليست متجه
فلا يعنينا إذا كانت سرعة تتجه إلى الأسفل
لأنها فقط مقدار وبالمثل
نضيف نصف الكتلة3 ضرب السرعة3 تربيع
ربما قد تفكر أن ذلك مستحيلاً
لأنه يوجد عدد لا نهائي من النقاط على كرة البيسبول
فكيف يمكنني حل ذلك
حسناً أمر عجيب على وشك الحدوث الآن
وهذا من الاشتقاقات المفضلة لدي
بسيطة وسهلة ، تابع ماذا يحدث
K الدورانية هي في الحقيقة
حاصل جمع كل هذه الكميات، نكتب
محصلة نصف الكتلة ضرب السرعة تربيع لكل نقطة
على كرة البيسبول، إذاً تخيل تفكيك الكرة إلى
العديد من القطع الصغيرة
لن نقوم بذلك فعلياً ولكن فكر فيه ذهنياً
معتبراً العديد من الجزيئات والقطع
الصغيرة جداً من كرة البيسبول ومدى سرعة حركتها
ما أريد قوله إذا جمعت كل النقاط
تحصل على مجمل الطاقة الحركية الدورانية
وهذا يبدو مستحيلاً
ولكن أمراً عجيبا على وشك الحدوث
فيمكننا هنا
إعادة الكتابة، فالمشكلة هنا السرعة
لأن كل النقاط تتحرك بسرعات مختلفة
ولكن يمكن استخدام حيلة نفضلها
في الفيزياء، بدلاً من كتابة السرعة
نكتب السرعة بدلالة ، وتذكر في الأجسام
الدورانية السرعة تساوي r ضرب أوميجا
ونصف القطر هو المسافة التي تبعد عن المحور
ضرب السرعة الزاوية
وهذه الصيغة عملية كثيراً، إذا نستبدل السرعة
بنصف القطر ضرب أوميجا
ومازال علينا التربيع، وعند هذه النقطة
ربما تفكر ان الأمر ازداد سوءاً
فكيف يمكن حل ذلك
حسناً محصلة نصف الكتلة
وأكتب نصف القطر تربيع وأوميجا تربيع
والسبب في أن الكتابة بهذه الصورة أفضل أن
كل نقطة على الكرة لديها سرعة مختلفة V
ولكن نفس السرعة الزاوية أوميجا
وهذا مايعتبر جيداً بالنسبة للكميات الزاوية
أنها متساوية لكل نقطة على كرة البيسبول
وبغض النظر عن المسافة التي تبعدها عن محور الكرة
وبما أن اوميجا متساوية لكل النقاط يمكنني
التخلص منها من عملية الجمع، إذاً أعيد
كتابة المحصلة مع إبقاء جميع الثوابت
لكل النقاط خارج عملية الجمع، إذاً
أكتب نصف ضرب محصلة
الكتلة ضرب نصف القطر تربيع وأغلق القوس
وأضيف مربع أوميجا خراج القوس
لأنها ثابتة
إنني فقط أحلل هذا العامل من جميع
الرموز في المحصلة ، كما هو موضح بالأعلى
العامل المشترك هنا هو نصف
نبسط العبارة بأخذ نصف عامل مشترك
ونكتبها ككمية واحدة
نصف الكتلة1 ضرب السرعة1 تربيع زائد
الكتلة2 ضرب السرعة 2 تربيع وهكذا
وهذا ما أفعله هنا بالنسبة للنصف
ومربع أوميجا، فمايعتبر جيدا
بالنسبة لاستبدال السرعة بأوميجا ضرب نصف القطر
أن أوميجا لها نفس القيمة لكل النقاط
فيمكن أخذها كعامل مشترك
ربما مازلت قلقاً
بسبب وجود الكتلة فلدينا
كتل مختلفة في نقاط مختلفة
لم نتخلص بعد من جميع أنصاف الأقطار تربيع
فكل النقاط لديها أنصاف أقطار مختلفة
كلهن نقاط مختلفة
تبعد بمسافات مختلفة عن المحور فلا يمكننا
اعتبارها عاملاً مشتركاً، حسناً إذا كنت نبيهاً
تنتبه إلى هذه العبارة
المحصلة هنا ماهي إلا محصلة عزم
القصور الذاتي للجسم
تذكر أن عزم القصور الذاتي للجسم
والذي تعلمناه سابقاً هو الكتلة ضرب نصف لقطر تربيع
إذاً عزم القصور الذاتي لكتلة نقطية هو
الكتلة ضرب مربع نصف القطر وعزم القصور الذاتي
لمجموعة كتل نقطية هو حاصل جمع
الكتلة ضرب مربع نصف القطر، وهذا مايوجد لدينا هنا
وماهو إلا عزم القصور الذاتي لكرة البيسبول
أو أي جسم آخر، فلا يجب أن يكون
ذو شكل معين، إذاً نضيف مجموع
الكتلة ضرب مربع نصف القطر وهو دائماً يساوي
مجموع عزم القصور الذاتي
إذاص توصلنا إلى K الدورانية
تساوي نصف ضرب هذه القيمة
وهي I عزم القصور الذاتي
ضرب أوميجا تربيع وهذه هي الصيغة
التي استنتجناها سابقاً بالتخمين
ولكنها في الحقيقة فعالة وسبب ذلك
أننا دائما نحصل على هذه الكمية
التي تساوي نصف أوميجا تربيع، وبغض النظر
عن شكل الجسم
إذاً ماتدل عليه هذه الكمية هو
مجموع الطاقة الحركية الدورانية
لجميع النقاط على الجسم حول محور
الجسم ، ولكننا لم نحصل عليها
فإن هذه العبارة لا تحتوي
على الطاقة الحركية الانتقالية، فالحقيقة هي
أن كرة البيسبول كانت طائرة في الهواء ولم
تندمج في صيغة هذه المعادلة
لم نأخذ في الاعتبار حقيقة
تحليق كرة البيسبول في الهواء
وبمعنى آخر لم نأخذ في الاعتبار
أن مركز كتلة كرة البيسبول
كان منتقلاً عبر الهواء
ولكن يمكن حساب ذلك في هذه الصيغة هنا
هذه هي الطاقة الحركية الانتقالية
في بعض الأحيان بدلاً من كتابة الطاقة الحركية الخطية
وبما انه لدينا طاقتين ، فيجب علينا تحديد
الطاقة الحركية الانتقالية
إذاً نحصل على صيغة الطاقة الحركية الانتقالية
إن الطاقة تعود إلى حقيقة ان مركز
كتلة الجسم متحرك، ولدينا الصيغة
التي تعتبر الأجسام لديها
طاقة حركية بسبب دورانها.
وهذه هي K الدورانية، فإذا كان الجسم يدور
فإنه يمتلك طاقة حركية دورانية
وإذا كان الجسم متنقل فإنه يمتلك
طاقة حركية انتقالية
وذلك يعني أن مركز الكتلة متحرك
وإذا كان الجسم متنقلاً ودورانياً
فإنه يمتلك كلا الطاقتين الحركية
في نفس الوقت وهذا الشيء يعد جميلاً
فإذا كان الجسم متنقلاً ودورانياً ونريد
حساب مجموع الطاقة الحركية لكل الجسم
فإننا نجمع كلا العبارتين هنا
فإذا اخذنا الانتقالية على حدة نصف الكتلة ضرب مربع السرعة
تكون سرعة مركز الكتلة
إذا يجب عليك الانتباه
أترك مساحة فارغة، أتخلص من جميع
الكتابة هنا
إذاً نصف الكتلة ضرب سرعة مركز
الكتلة تربيع، نحصل على مجموع الطاقة
الحركية الانتقالية لكرة البيسبول
وإذا أضفنا نصف عزم القصور الذاتي ضرب أوميجا تربيع
وأوميجا حول مركز الكتلة نحصل على
مجموع الطاقة الحركية، الانتقالية والدورانية معاً
إذاً هذا رائعاً فيمكننا تحديد كل الطاقة الحركية
بالإجمال الحركة الدورانية والحركة الانتقالية
فقط من خلال جمع هاتين العبارتين
نأخذ مثال على ذلك
أتخلص من كل هذا
نفرض رجلاً رمى كرة البيسبول
وتوضح بالكاميرا أن الكرة رميت
في الهواء بسرعة 40 م/ث
إذاً تتجه الكرة نحو المرمى بسرعة 40 م/ث
إن مركز كتلة الكرة يتجه
بسرعة 40 متر في الثانية باتجاه المرمى
نفرض رجلاً آخر رمى الكرة بسرعة كبيرة
مما نتج عن دوران الكرة بسرعة زاوية
مقدارها 50 راديان في الثانية
بعد البحث عرفت كتلة كرة البيسبول
إن كتلة الكرة تقريباً 0.145 كيلو جرام
ومقدار نصف قطر الكرة
تقريباً 7 سنتيميتر، أو بدلالة المتر يساوي
0.07 متر، إذاً يمكن استنتاج
مجمل الطاقة الحركية، التي تتكون من
طاقة حركية دورانية و
طاقة حركية انتقالية
إن الطاقة الحركية الانتقالية تساوي نصف
الكتلة ضرب مركز سرعة كتلة
الكرة تربيع وهذا يساوي نصف
الكتلة التي مقدارها 0.145 ومركز
السرعة يساوي 40، وهو مايدل على مدى سرعة
تحرك مركز كتلة الكرة
وعند حساب ذلك نحصل على 116 جول وهو
مقدار الطاقة الحركية الانتقالية
وكم الطاقة الحركية الدورانية الموجودة
إذاً نكتب الطاقة الحركية الدورانية
والناتجة عن دوران الكرة
نكتب نصف عزم القصور الذاتي ضرب مربع أوميجا
إذاً نصف ، وماهو I ، حسناً بما أن الكرة
جسم كروي، وإذا بحثت عن عزم القصور الذاتي للجسم الكروي
لأنني لا أرغب بجمع كل
نواتج الكتلة ضرب نصف القطر تربيع، إذا فعلنا ذلك باستخدام التفاضل
نحصل على هذه الصيغة
أعني في علم الجبر الفيزيائي
عليك البحث عن ذلك إما في كتابك
في رسم بياني او جدول، او يمكنك البحث عبر الإنترنت
إذاً عزم القصور الذاتي لجسم كروي يساوي 2/5 ضرب الكتلة ضرب مربع نصف القطر
بمعنى آخر 2/5 كتلة الكرة
ضرب ارتفاع الكرة تربيع
وهذا هو عزم القصور الذاتي لجسم كروي
إذاً نفرض كرة البيسبول كروية تماماً
أي أنها ذات كثافة منتظمة وهذا ليس صحيحاً كلياً
ولكنه تقريب جيد
نكمل الصيغة بالضرب في مربع أوميجا
أي السرعة الزاوية تربيع
إذاص نحصل على نصف ضرب
2/5 ضرب كتلة الكرة ومقدارها 0.145
ونصف قطر الكرة يساوي تقريباً
0.07 متر تربيع وأخيراً
ضرب أوميجا تربيع والتي بوحدة
راديان / ثانية إذاً 50 تربيع
والناتج يساوي 0.355 جول
إذا بالكاد تكون طاقة كرة البيسبول
في دورانها.
فإن معظم الطاقة على هيئة طاقة
انتقالية، وهذا منطقي
لأن الكرة في الحقيقة ألقيت باتجاه
المرمى، وتسبب لك الأذى في حال اصطدامك بها
بعكس الحقيقة عند دورانها
واصطدامها بك فلن تتسبب بأذىً كبيراً
وذلك يعود إلى أن معظم طاقة كرة البيسبول الحركية
على هيئة طاقة حركية انتقالية
ولكن إذا أردت حساب مجمل الطاقة الحركية للكرة
تجمع كلتا العبارتين
مجمل k تساوي الطاقة الحركية الانتقالية
زائد الطاقة الحركية الدورانية
إذاً مجمل الطاقة الحركية يساوي 116 جول
زائد 0.355 جول والناتج
116.355 جول
إذا للتلخيص إذا كان الجسم دوراني
ومتحرك يمكنك حساب الطاقة
الحركية الانتقالية باستخدام نصف الكتلة ضرب سرعة
مركز الكتلة تربيع ويمكنك
حساب الطاقة الحركية الدورانية باستخدام
نصف عزم القصور الذاتي (I)
حسناً نفرض أي شكل للجسم
فإذا كانت كتلة نقطية تتحرك في دائرة كبيرة
إنستخدم الكتلة ضرب مربع نصف القطر ، وإذا كانت كروية
تدور حول المركز نستخدم 2/5
الكتلة ضرب مربع نصف القطر، للإسطوانة نستخدم نصف الكتلة في مربع نصف القطر
يمكنك البحث في الجداول لإيجاد
قيمة عزم القصور الذاتي، ضرب مربع السرعة
الزاوية للجسم حول مركز الكتلة
وعند جمع العبارتين نحصل على
مجمل الطاقة الحركية للجسم