1
00:00:00,441 --> 00:00:07,657
In diesem und folgenden Videos werden wir ein paar Berechnungen mit diesem Datensatz hier machen.

2
00:00:07,657 --> 00:00:12,608
Und hoffentlich gibt euch diese Übung ein Gefühl dafür, worum es bei der Varianzanalyse geht.

3
00:00:12,608 --> 00:00:18,941
Als erstes möchte ich die gesamte Quadratsumme berechnen.

4
00:00:18,941 --> 00:00:27,455
Die sogenannte SST ("sums of squares total").
Ihr könnt das als den Zähler ansehen, wenn es an die

5
00:00:27,455 --> 00:00:31,576
Berechnung der Varianz geht. Wir nehmen also die Distanz zwischen jedem dieser Datenpunkte

6
00:00:31,576 --> 00:00:36,078
und den Mittelwert all dieser Datenpunkte, quadrieren sie und summieren sie auf. Wir teilen

7
00:00:36,078 --> 00:00:40,732
nicht durch den Freiheitsgrad, wie man es normalerweise bei der Berechnung der Stichprobenvarianz macht.

8
00:00:40,763 --> 00:00:45,279
Wie gehen wir das an? Zuerst müssen wir den Mittelwert

9
00:00:45,279 --> 00:00:49,692
all dieser Zahlen berechnen. Ich werde das "grand Mittel" nennen.

10
00:00:49,692 --> 00:00:53,359
Ich werde das "grand Mittel" nennen. Und gleich seht ihr, dass es das gleiche ist,

11
00:00:53,359 --> 00:00:59,013
wie der Mittelwert der Mittelwerte dieser Datensätze.

12
00:00:59,013 --> 00:01:16,152
Also lasst uns das "grand Mittel" (den übergeordneten Mittelwert) berechnen.

13
00:01:16,152 --> 00:01:22,102
Insgesamt sind das neun Datenpunkte, also werden wir durch neun teilen.

14
00:01:22,102 --> 00:01:30,354
Was kommt dabei raus, wenn wir die Zahlen addieren? 3+2+1...

15
00:01:30,385 --> 00:01:43,944
...+5+6+7 = 36

16
00:01:43,944 --> 00:01:50,241
Und 36 geteilt durch 9 = 4. Und das ist der Mittelwert der Mittelwerte der drei Datensätze.

17
00:01:50,302 --> 00:01:57,056
Der Mittelwert dieser grünen Gruppe hier links

18
00:01:57,056 --> 00:02:03,856
ist 3 + 2 + 1 = 6. Und 6 geteilt durch 3 Datenpunkte ist gleich 2.

19
00:02:03,856 --> 00:02:12,677
Der Mittelwert der Gruppe 2... Die Summe hier ist 12, denn 5 plus 3 plus 4 ist 12.

20
00:02:12,677 --> 00:02:21,846
Und 12 geteilt durch 3 ist 4. Denn wir haben drei Datenpunkte. Und der Mittelwert der Gruppe 3: 5 + 6 + 7 = 18.

21
00:02:21,846 --> 00:02:27,256
18 geteilt durch 3 ist 6. Also, wenn wir den Mittelwert der Mittel nehmen wollen

22
00:02:27,256 --> 00:02:31,015
also das "grand Mittel", dann haben wir 2+4+6 = 12

23
00:02:31,015 --> 00:02:35,892
Und 12 geteilt durch 3 ist 4 - wie wir vorhin schon gerechnet haben..

24
00:02:35,892 --> 00:02:38,933
Man kann es also als übergeordneten Mittelwert über alle Daten sehen

25
00:02:38,933 --> 00:02:43,600
oder als Mittelwert der Mittelwerte jeder Gruppe. Und da wir den MIttelwert jetzt berechnet haben

26
00:02:43,600 --> 00:02:48,836
können wir nun die Quadratsummen berechnen. 
Los geht's.

27
00:02:48,836 --> 00:02:57,887
SST ("sums of squares total") entspricht 3 -4... diese 4, die wir gerade berechnet haben... zum Quadrat

28
00:02:57,887 --> 00:03:05,667
SST = (3-4)^2 + (2 - 4)^2 + (1-4)^2...und jetzt kommen die lila Zahlen...

29
00:03:05,667 --> 00:03:16,031
...+ (5-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2

30
00:03:16,031 --> 00:03:20,667
...+ (5-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2
Jetzt fehlen noch die letzten drei....

31
00:03:20,667 --> 00:03:32,887
...+ (5-4)^2 + (6-4)^2 + (7-4)^2. 
Und was kommt dabei raus?

32
00:03:32,887 --> 00:03:38,436
Das erste hier, 3 minus 4, ist gleich 1....

33
00:03:38,436 --> 00:03:42,200
...also eigentlich gleich -1, 
und das zum Quadrat ist 1.

34
00:03:42,200 --> 00:03:51,000
Plus -2 zum Quadrat ist gleich 4, 
plus -3 zum Quadrat ist 9.

35
00:03:51,000 --> 00:03:57,698
Und hier in Magenta haben wir: 5-4=1, zum Quadrat immer noch 1. (3-4)^2 ist 1.

36
00:03:57,698 --> 00:04:03,210
Und 4-4 ist 0, also schreiben wir die 0 hier hin

37
00:04:03,210 --> 00:04:06,985
nur um zu sehen, dass wir das wirklich gerechnet haben. Und jetzt zu den letzten Datenpunkten.

38
00:04:06,985 --> 00:04:16,667
5 minus 4 zum Quadrat ist 1. 6 minus 4 zum Quadrat ist 4. 7 minus 4 ist 3, ...

39
00:04:16,667 --> 00:04:24,952
...zum Quadrat ist 9. Wir haben also 1 plus 4 plus 9.

40
00:04:25,629 --> 00:04:33,436
Und 1 plus 4 plus 9, also 5 plus 9, das gibt 14.

41
00:04:33,436 --> 00:04:39,638
Genau, 14. Und wir haben noch mal 14 genau hier, denn hier haben wir auch 1 plus 4 plus 9.

42
00:04:39,638 --> 00:04:43,632
also ist das hier auch 14. Und dann haben wir hier noch 2

43
00:04:43,632 --> 00:04:55,056
14 mal 2, also 14 plus 14 ist 28, plus 2 ist 30. Unser SST ("sums of squares total") ist also 30.

44
00:04:55,056 --> 00:04:59,561
Und um die Varianz zu berechnen, würden wir das einfach durch die Freiheitsgrade teilen.

45
00:04:59,561 --> 00:05:05,551
Und das hier ist ein Vielfaches der Freiheitsgrade hier. Sagen wir also, wir haben

46
00:05:05,551 --> 00:05:11,031
sagen wir wir haben m Gruppen hier. Und ich

47
00:05:11,031 --> 00:05:14,236
werde hier nicht den kompletten Beweis führen, aber

48
00:05:14,236 --> 00:05:18,740
ich will euch zeigen, wo diese seltsamen Formeln herkommen, die in Statistik auftauchen.

49
00:05:18,740 --> 00:05:25,667
Ich will nicht den kompletten Beweis führen, sondern euch nur ein Gefühl dafür geben. Wir haben also m Gruppen

50
00:05:25,667 --> 00:05:34,344
und jede Gruppe hat n Elemente. Wie viele Elemente haben wir also insgesamt?

51
00:05:34,344 --> 00:05:41,498
Nun, wir haben m mal n oder 9, richtig? 3 mal 3 Elemente. an Freiheitsgraden

52
00:05:41,498 --> 00:05:47,800
haben wir also genauso viele wie Datenpunkte minus 1 Freiheitsgrad.

53
00:05:47,800 --> 00:05:52,800
Denn wenn ihr den Mittelwert der Mittelwerte kennen würdet, also angenommen, ihr würdet ihn kennen,

54
00:05:52,800 --> 00:05:59,323
dann würdet ihr nur durch 9 minus 1, also durch 8 dieser Datenpunkte neue Informationen erhalten

55
00:05:59,323 --> 00:06:04,471
denn den neunten Datenpunkt könnten ihr aus den anderen selbst errechnen.

56
00:06:04,471 --> 00:06:09,824
denn den neunten Datenpunkt könnten ihr aus den anderen selbst errechnen.

57
00:06:09,824 --> 00:06:16,600
Den 9. könntet ihr über den MIttelwert der Mittelwert und die anderen acht berechnen. Es gibt also nur

58
00:06:16,600 --> 00:06:22,883
acht unabhängige Messwerte hier. Oder genereller gesprochen: Es gibt

59
00:06:22,883 --> 00:06:30,397
m mal n (also die Gesamtzahl der Datenpunkte) minus 1 Freiheitsgrade.

60
00:06:33,720 --> 00:06:41,810
Und um die Varianz zu berechnen, würden wir einfach die 30 durch m mal n -1 teilen.

61
00:06:41,810 --> 00:06:47,077
Oder anders gesagt: Ihr teilt die 30 durch die 8 Freiheitsgrade

62
00:06:47,077 --> 00:06:53,000
und damit habt ihr die varianz für diese gesamte Gruppe an neun Messwerten.

63
00:06:53,000 --> 00:06:58,533
Ich belasse es in diesem Video dabei. Im nächsten Video versuchen wir herauszufinden, wie viel dieser

64
00:06:58,533 --> 00:07:08,333
Gesamtvarianz, also dieser gesamten Quadratsummen, der gesamten Abweichung durch die Variation

65
00:07:08,333 --> 00:07:14,313
innerhalb dieser Gruppen versus der Variation zwischen der Gruppen kommt. Und ich denke

66
00:07:14,313 --> 00:07:19,667
ihr werdet ein Gefühl dafür bekommen, worum es bei dieser Varianzanalyse geht. Es gibt Varianz innerhalb

67
00:07:19,667 --> 00:07:24,800
der gesamten Stichprobe (also der neun Datenpunkte), aber ein Teil der Varianz könnte

68
00:07:24,800 --> 00:07:31,267
auch daher kommen, dass die drei Gruppen unterschiedlich sind. Es geht also darum, die Varianz innerhalb der Gruppen

69
00:07:31,267 --> 00:07:34,564
und die Varianz zwischen den Gruppen zu berechnen. Und wenn wir das machen, werden wir sehen, dass sie sich

70
00:07:34,579 --> 99:59:59,999
zu unserer Gesamtvarianz aufsummieren.