RKA4 - Fala galera da Khan Academy!
Então, neste vídeo continuaremos a falar um pouco sobre fatoração polinomial.
Desta vez nós iremos abordar a fatoração por substituição. Vamos lá.
O seguinte exercício nos pede que fatoremos a expressão
(x mais 7)² mais 2y² vezes (x mais 7) mais y⁴.
O exercício também nos diz que podemos fatorar a expressão como (u mais v)²,
onde "u" e "v" são valores constantes
ou expressões de apenas uma variável cada.
Então, neste momento eu peço que você pause o vídeo
e tente resolver por conta própria.
Vamos lá. Primeiramente, nós temos que olhar a expressão polinomial dada pelo exercício
e nos perguntar como nós a vemos em termos de (u mais v)².
Bom, um jeito de facilitar o desenvolvimento desse exercício
é desenvolver este binômio aqui, (u mais v)².
Nós já vimos muitas vezes esse tipo de expressão.
Então, esse (u mais v)² será u²
mais 2 vezes o primeiro vezes segundo, ou seja, mais 2uv,
mais 2 vezes o quadrado do segundo, v².
A pergunta que fica é: essa expressão aqui do quadrado do binômio
realmente corresponde de alguma forma ao nosso polinômio?
Podemos começar a ver que sim a partir deste primeiro termo aqui,
já que (x mais 7)² for igual a u²,
então teremos que u é igual a x mais 7.
Aplicando essa mesma linha de raciocínio para o último termo,
nós chegaremos na nossa resposta.
Então de acordo com o desenvolvimento do nosso binômio aqui de cima,
este último termo, y⁴, deve ser igual a v².
Então temos que o nosso v será y².
Agora este método de fatoração nos permite, no caso do binômio,
confirmar os nossos resultados com o termo aqui no meio,
já que sabemos que esse termo aqui deve ser igual a 2 vezes u vezes v,
que é justamente o 2y² vezes (x mais 7).
Então concluímos aqui que essa expressão polinomial, de fato,
corresponde ao padrão proposto pelo exercício.
Agora, usando esse u e esse v que nós achamos, podemos fatorar a expressão.
Então usando o binômio como base, teremos (x mais 7)
(e eu até vou utilizar e parênteses aqui)
mais y², tudo elevado ao quadrado.
Vale lembrar que nós poderíamos escrever essa função sem utilizar os parênteses, pois seria a mesma coisa.
Vamos, então, fazer outro exemplo.
Aqui novamente o exercício nos propõe a fatoração de uma expressão,
expressão essa que é 4x² menos 9y².
Só que dessa vez o exercício nos diz
que a fatoração pode ser realizada como (u mais v) vezes (u menos v),
e não pelo quadrado binômio, como foi lá no exemplo anterior,
e lembrando que u e v são valores constantes ou expressões de apenas uma variável.
Como sempre, eu peço que você pause esse vídeo
e tente resolver por conta própria.
Pronto? Vamos lá!
Assim como no exercício anterior, nós iremos olhar primeiro para essa expressão aqui
e tentar ver como ela encaixa na expressão em função de u e v que o exercício nos deu.
Sabemos que essa expressão que o exercício nos deu
nada mais é do que uma diferença de quadrados,
já que essa multiplicação vai dar justamente a diferença do quadrado de u pelo quadrado de v.
Então, sabendo disso, podemos dizer que 4x² será u²
e 9y² será v².
Com isso, u é igual 2x, que a raiz quadrada de 4x²,
e da mesma forma v será 3y.
Com isso temos a primeira parte do exercício feita,
então podemos agora realmente fatorar a expressão.
(u mais v) seria (2x mais 3y)
e (u menos v) seria (2 x menos 3y).
Então está aí a forma fatorada da expressão polinomial que o exercício nos deu:
(2x mais 3y) vezes (2 x menos 3y).
Então, galera, neste vídeo nosso fatoramos duas expressões
um tanto quanto complexas de forma muito fácil
utilizando a fatoração pelo método da substituição.
Então é isso, galera. Nós nos vemos aqui pela Khan!