1
00:00:00,000 --> 00:00:00,730
.

2
00:00:00,730 --> 00:00:03,550
Vi har en trekant.

3
00:00:03,550 --> 00:00:05,900
Det her er vores trekant.

4
00:00:05,900 --> 00:00:08,550
Vi kender kun længderne på trekantens sider.

5
00:00:08,550 --> 00:00:12,490
Den her side har en længde a, den her side har en længde b,

6
00:00:12,490 --> 00:00:14,360
og den her side har en længde c.

7
00:00:14,360 --> 00:00:17,480
Vi skal finde arealet af trekanten.

8
00:00:17,480 --> 00:00:21,870
Det eneste vi ved er, at arealet af en trekant

9
00:00:21,870 --> 00:00:26,930
er lig med en halv gange trekantens grundlinje

10
00:00:26,930 --> 00:00:30,380
gange trekantens højde.

11
00:00:30,380 --> 00:00:33,570
På den måde vi har tegnet trekanten,

12
00:00:33,570 --> 00:00:39,060
er siden c grundlinjen, men vi kender ikke højden.

13
00:00:39,060 --> 00:00:41,900
Højden er det h lige her,

14
00:00:41,900 --> 00:00:43,750
men vi ved ikke, hvad h er.

15
00:00:43,750 --> 00:00:45,200
Hvad er h?

16
00:00:45,200 --> 00:00:48,360
Spørgsmålet er, hvordan vi finder

17
00:00:48,360 --> 00:00:49,660
arealet af trekanten.

18
00:00:49,660 --> 00:00:51,150
I den sidste video så vi,

19
00:00:51,150 --> 00:00:52,440
hvordan vi bruger Herons formel.

20
00:00:52,440 --> 00:00:55,910
I den her video vil vi bevise Herons formel.

21
00:00:55,910 --> 00:00:59,530
Vi finder h ved at bruge

22
00:00:59,530 --> 00:01:00,970
Pythagoras læresætning.

23
00:01:00,970 --> 00:01:04,190
Når vi har fundet h, kan vi bruge formlen til

24
00:01:04,190 --> 00:01:07,100
at udregne arealet af trekanten.

25
00:01:07,100 --> 00:01:11,370
Den her kalder vi h.

26
00:01:11,370 --> 00:01:13,120
Vi definerer endnu en variabel her.

27
00:01:13,120 --> 00:01:15,880
.

28
00:01:15,880 --> 00:01:19,270
Det her ser vi ofte i geometri.

29
00:01:19,270 --> 00:01:24,990
Vi definerer x, som er skrevet med lilla,

30
00:01:24,990 --> 00:01:29,990
og den blå farve er c minus x.

31
00:01:29,990 --> 00:01:33,710
Hele længden er c.

32
00:01:33,710 --> 00:01:37,560
Hvis den her del er x, er den her del c minus x.

33
00:01:37,560 --> 00:01:41,060
Da vi har 2 rette vinkler,

34
00:01:41,060 --> 00:01:44,250
og det ved vi, da det her er højden,

35
00:01:44,250 --> 00:01:46,600
kan vi opstille 2 ligninger med Pythagoras læresætning.

36
00:01:46,600 --> 00:01:50,890
Det første vi kan gøre med den venstre side er, at vi kan skrive

37
00:01:50,890 --> 00:01:57,880
x i anden plus h i anden er lig med a i anden.

38
00:01:57,880 --> 00:02:00,690
Det får vi her fra den venstre trekant.

39
00:02:00,690 --> 00:02:05,000
Fra den højre trekant får vi

40
00:02:05,000 --> 00:02:14,030
c minus x i anden plus h i anden er lig med b i anden.

41
00:02:14,030 --> 00:02:17,760
Vi går ud fra, at vi kender a, b og c,

42
00:02:17,760 --> 00:02:18,950
og derfor har vi 2 ligninger med 2 ubekendte.

43
00:02:18,950 --> 00:02:22,290
De ubekendte er x og h.

44
00:02:22,290 --> 00:02:24,220
Vi skal huske, at det er h, som vi gerne vil finde,

45
00:02:24,220 --> 00:02:25,270
da vi allerede kender længden på c.

46
00:02:25,270 --> 00:02:27,540
Hvis vi kender h, kan vi anvende formlen for en trekants areal.

47
00:02:27,540 --> 00:02:28,900
Hvordan kan vi så gøre det?

48
00:02:28,900 --> 00:02:32,200
Først substituerer vi h for at finde x.

49
00:02:32,200 --> 00:02:36,360
Når vi siger det, så mener vi, at vi løser for h i anden.

50
00:02:36,360 --> 00:02:38,890
Når vi løser for h i anden, trækker vi x i anden fra

51
00:02:38,890 --> 00:02:40,320
på begge sider af ligningen.

52
00:02:40,320 --> 00:02:44,540
Vi skriver,

53
00:02:44,540 --> 00:02:51,720
at h i anden er lig a i anden minus x i anden.

54
00:02:51,720 --> 00:02:53,770
Nu kan vi tage den her information og indsætte

55
00:02:53,770 --> 00:02:56,640
den herovre.

56
00:02:56,640 --> 00:03:02,030
Den nedereste ligning bliver derfor c minus x i anden

57
00:03:02,030 --> 00:03:04,990
plus h i anden.

58
00:03:04,990 --> 00:03:08,610
h i anden kender vi fra den venstre side af ligningen.

59
00:03:08,610 --> 00:03:11,620
h i anden vil være lig med

60
00:03:11,620 --> 00:03:19,160
a i anden minus x i anden er lig med b i anden.

61
00:03:19,160 --> 00:03:21,650
Vi erstatter værdien af det,

62
00:03:21,650 --> 00:03:23,280
vi har herinde.

63
00:03:23,280 --> 00:03:25,860
Vi skriver udtrykket ud.

64
00:03:25,860 --> 00:03:29,750
c minus x i anden. Det er c i anden minus

65
00:03:29,750 --> 00:03:34,320
2cx plus x i anden.

66
00:03:34,320 --> 00:03:38,200
Vi har plus a i anden

67
00:03:38,200 --> 00:03:44,280
minus x i anden er lig med b i anden.

68
00:03:44,280 --> 00:03:47,660
.

69
00:03:47,660 --> 00:03:50,060
Nu har vi x i anden minus x i anden her,

70
00:03:50,060 --> 00:03:51,610
så de udligner hinanden.

71
00:03:51,610 --> 00:03:54,680
.

72
00:03:54,680 --> 00:03:58,790
Vi lægger 2cx til på begge sider af ligningen.

73
00:03:58,790 --> 00:04:01,930
Nu er vores ligning c i anden

74
00:04:01,930 --> 00:04:04,720
plus a i anden.

75
00:04:04,720 --> 00:04:06,490
Vi lægger 2cx til på begge sider.

76
00:04:06,490 --> 00:04:10,440
Når vi lægger 2cx til her, får vi,

77
00:04:10,440 --> 00:04:13,580
at 0 er lig med b i anden plus 2cx.

78
00:04:13,580 --> 00:04:16,370
Det eneste vi har gjort her er at udligne x i anden

79
00:04:16,370 --> 00:04:19,600
og lægge 2cx til på begge sider af ligningen.

80
00:04:19,600 --> 00:04:22,130
Vores mål er at løse for x.

81
00:04:22,130 --> 00:04:24,580
Når vi har løst for x, kan vi løse for h

82
00:04:24,580 --> 00:04:26,350
og bruge formlen.

83
00:04:26,350 --> 00:04:29,090
For at løse for x trækker vi b i anden fra

84
00:04:29,090 --> 00:04:30,040
på begge sider.

85
00:04:30,040 --> 00:04:36,200
Nu har vi c i anden plus a i anden minus b i anden

86
00:04:36,200 --> 00:04:41,020
er lig med 2cx.

87
00:04:41,020 --> 00:04:46,160
Hvis vi dividerer begge sider med 2c, får vi c i anden plus a i anden

88
00:04:46,160 --> 00:04:52,600
minus b i anden over 2c er lig med x.

89
00:04:52,600 --> 00:04:54,880
Her har vi lige løst for x.

90
00:04:54,880 --> 00:04:57,290
Nu vil vi gerne løse for højden,

91
00:04:57,290 --> 00:04:59,930
så vi kan tilføje en halv gange grundlinjen gange højden.

92
00:04:59,930 --> 00:05:04,120
For at gøre det går vi tilbage til den her ligning

93
00:05:04,120 --> 00:05:07,040
og løser den for højden.

94
00:05:07,040 --> 00:05:10,800
.

95
00:05:10,800 --> 00:05:16,290
Vi ved, at højden i anden er lig med

96
00:05:16,290 --> 00:05:20,520
a i anden minus x i anden.

97
00:05:20,520 --> 00:05:23,330
I stedet for, at vi bare skriver x i anden, substituerer vi.

98
00:05:23,330 --> 00:05:27,430
Vi får minus x i anden.

99
00:05:27,430 --> 00:05:32,880
c i anden plus a i anden minus b i anden

100
00:05:32,880 --> 00:05:36,670
over 2c i anden.

101
00:05:36,670 --> 00:05:39,320
Det er det samme som x i anden.

102
00:05:39,320 --> 00:05:41,090
Derfor løser vi det i forhold til det.

103
00:05:41,090 --> 00:05:47,950
h er lig med kvadratroden af alt det her,

104
00:05:47,950 --> 00:05:51,610
.

105
00:05:51,610 --> 00:06:00,070
altså a i anden minus c i anden plus a i anden minus b i anden.

106
00:06:00,070 --> 00:06:02,150
Alt sammen i anden.

107
00:06:02,150 --> 00:06:04,800
.

108
00:06:04,800 --> 00:06:06,720
.

109
00:06:06,720 --> 00:06:13,980
Kvadratroden af

110
00:06:13,980 --> 00:06:20,130
a i anden minus alt der her i anden, altså c i anden

111
00:06:20,130 --> 00:06:25,800
plus a i anden minus b i anden over 2c.

112
00:06:25,800 --> 00:06:27,670
Det er højden på vores trekant.

113
00:06:27,670 --> 00:06:30,310
Den trekant, som vi startede med heroppe.

114
00:06:30,310 --> 00:06:33,360
Vi kigger lige på vores trekant igen,

115
00:06:33,360 --> 00:06:36,070
så vi kan huske, hvad vi snakker om.

116
00:06:36,070 --> 00:06:41,600
.

117
00:06:41,600 --> 00:06:43,300
Vi indsætter den her.

118
00:06:43,300 --> 00:06:45,210
Vi ved, at højden er den her

119
00:06:45,210 --> 00:06:46,830
indviklede formel.

120
00:06:46,830 --> 00:06:51,180
Højden i forhold til a, b og c er det, vi har her.

121
00:06:51,180 --> 00:06:54,570
Hvis vi vil finde trekantens areal,

122
00:06:54,570 --> 00:06:58,270
.

123
00:06:58,270 --> 00:07:03,772
bruger vi formlen en halv gange grundlinjen,

124
00:07:03,772 --> 00:07:09,850
som er hele længden c, gange vores højde,

125
00:07:09,850 --> 00:07:13,260
som er det udtryk, vi har lige her.

126
00:07:13,260 --> 00:07:15,680
Det indsætter vi her.

127
00:07:15,680 --> 00:07:21,390
.

128
00:07:21,390 --> 00:07:24,450
Vi ganger altså med højden.

129
00:07:24,450 --> 00:07:27,910
Det her er nu udtrykket for arealet.

130
00:07:27,910 --> 00:07:29,810
Når vi kigger på det, ligner det

131
00:07:29,810 --> 00:07:32,790
umiddelbart ikke Herons formel.

132
00:07:32,790 --> 00:07:35,360
Det ligner ikke Herons formel,

133
00:07:35,360 --> 00:07:37,820
men i den næste video finder vi ud af,

134
00:07:37,820 --> 00:07:39,230
at det her i bund og grund er Herons formel.

135
00:07:39,230 --> 00:07:43,050
Det her er en version af Herons formel, som er sværere at huske.

136
00:07:43,050 --> 00:07:46,000
Vi vil tilføje en masse algebra for i bund og grund

137
00:07:46,000 --> 00:07:47,260
at forenkle det her til Herons formel.

138
00:07:47,260 --> 00:07:49,430
Den her virker dog også.

139
00:07:49,430 --> 00:07:51,520
Hvis vi kan huske den her,

140
00:07:51,520 --> 00:07:53,050
er Herons meget lettere at huske.

141
00:07:53,050 --> 00:07:56,300
Kan vi bare huske det her, og kender vi a, b og c,

142
00:07:56,300 --> 00:08:00,700
kan vi anvende den her formel

143
00:08:00,700 --> 00:08:04,940
til at finde trekantens areal.

144
00:08:04,940 --> 00:08:07,290
Vi prøver at anvende den her for at vise,

145
00:08:07,290 --> 00:08:09,710
at det i det mindste giver det samme tal som Herons formel.

146
00:08:09,710 --> 00:08:15,920
I den forrige video havde vi sider med længderne 9, 11 og 16,

147
00:08:15,920 --> 00:08:22,350
og ved at bruge Herons formel fik vi, at arealet er lig med 18

148
00:08:22,350 --> 00:08:26,290
gange kvadratroden af 7.

149
00:08:26,290 --> 00:08:29,780
Lad os se, hvad vi får, når vi bruger den her formel.

150
00:08:29,780 --> 00:08:36,260
Vi får, at arealet er lig med en halv gange 16 gange kvadratroden

151
00:08:36,260 --> 00:08:40,300
af noget i anden.

152
00:08:40,300 --> 00:08:49,330
Vi har 81 minus c i anden, det vil sige 16 i anden, som er 256

153
00:08:49,330 --> 00:08:58,020
plus a i anden, det vil sige 9 i anden, som er 81 minus b i anden,

154
00:08:58,020 --> 00:09:02,250
det vil sige 11 i anden, som er 121.

155
00:09:02,250 --> 00:09:04,120
Alt det her er i anden.

156
00:09:04,120 --> 00:09:09,530
Alt er over 2 gange c, altså over 32.

157
00:09:09,530 --> 00:09:12,150
Vi prøver at reducere det lidt.

158
00:09:12,150 --> 00:09:15,770
81 minus 121, det er lig med minus 40.

159
00:09:15,770 --> 00:09:18,790
Her får vi 216 over 32.

160
00:09:18,790 --> 00:09:22,470
Arealet er derfor lig med en halv gange 8 er lig med 8.

161
00:09:22,470 --> 00:09:24,530
.

162
00:09:24,530 --> 00:09:38,820
En halv gange 18 er lig med 8 gange kvadratroden af 81 minus 256.

163
00:09:38,820 --> 00:09:41,370
81 minus 121, det er lig med minus 40.

164
00:09:41,370 --> 00:09:43,370
256 minus 40 er lig med 216.

165
00:09:43,370 --> 00:09:48,270
216 over 32 i anden.

166
00:09:48,270 --> 00:09:50,630
Det er en masse matematik, så her

167
00:09:50,630 --> 00:09:51,870
anvender vi vores lommeregner.

168
00:09:51,870 --> 00:09:54,140
Det vi ser er, at de her 2 tal

169
00:09:54,140 --> 00:09:57,440
skal give os det samme tal.

170
00:09:57,440 --> 00:10:01,290
Vi bruger lommeregneren.

171
00:10:01,290 --> 00:10:02,440
Først finder vi lige ud af,

172
00:10:02,440 --> 00:10:03,420
hvad 18 kvadratrod 7 er lig med.

173
00:10:03,420 --> 00:10:07,590
18 gange kvadratroden af 7. Her skal vi bruge

174
00:10:07,590 --> 00:10:08,580
Herons formel.

175
00:10:08,580 --> 00:10:11,100
Vi får 47,62.

176
00:10:11,100 --> 00:10:13,160
Vi tjekker om det her er 47,62.

177
00:10:13,160 --> 00:10:26,700
Vi har 8 gange kvadratroden af 81 minus 216

178
00:10:26,700 --> 00:10:35,140
divideret med 32 i anden.

179
00:10:35,140 --> 00:10:37,990
Vi får det præcis samme tal.

180
00:10:37,990 --> 00:10:39,890
Her kan vi se,

181
00:10:39,890 --> 00:10:41,580
at vi får præcis det

182
00:10:41,580 --> 00:10:43,310
samme tal som før.

183
00:10:43,310 --> 00:10:47,170
Vores formel gav os den samme værdi

184
00:10:47,170 --> 00:10:48,350
som Herons formel.

185
00:10:48,350 --> 00:10:54,030
Det vi skal lære i den næste video er at bevise, hvordan vi

186
00:10:54,030 --> 00:10:57,690
kan reducere det algebraisk til Herons formel.

187
00:10:57,690 --> 00:10:58,990
.